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第三章 图像变换,3.1 引言 3.2 连续与离散的傅立叶变换 3.3 二维离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform：DFT)性质 3.4 快速傅立叶变换 3.5 离散余弦变换(Discrete Consine Transform：DCT),3.1 引言3.1.1 概述,图像表示,像素的二维阵列（矩阵）,看成一组正交基合成,傅立叶变换（Fourier Transform) 属于第二种表示, 把图像看成一组正弦、余弦谐波合成。, 为什么要在频率域研究图像增强 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。 可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。 有时也可以通过频率域试验，再选择空间滤波，实施在空间域进行。,3.1.1 概述,3.1.1 概述,由于变换的目的是为了使图像处理简化，因而对图像变换有以下三方面的要求： 1. 变换必须是可逆的，它保证了图像变换后，还可以变换回来。 2. 变换应使处理得到简化。 3. 变换算法本身不能太复杂。 图像变换的理论很多，如离散的傅立叶变换(DFT)，沃尔什(Walsh)变换，离散余弦变换(DCT)及哈特林(Hoteling)变换。其中最常用的是傅立叶变换，是各种滤波的基础，在图像处理中广泛应用。,图像变换图像转换到另一种空间处理，特有性质 图像处理和分析的数学基础,3.1.1 概述,3.1.2 线性系统,1.系统的定义： 接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。 系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。,3.1.2 线性系统,2.线性系统的定义： 1) 对于某特定系统，有：,3.1.2 线性系统,2)线性系统移不变性的定义： 对于某线性系统，有：,当输入信号沿时间轴平移T，有：,则称该线性系统具有移不变性 线性系统作为一个运算，应满足以上两个条件。,3.2 连续与离散的傅立叶变换 3.2.1 连续傅立叶变换,要研究波形由哪些频率组成的，需要把输入信号用一维傅立叶变换成频率域的信号，这是在处理和分析时间波形等一维信号方面的一个重要手段。,3.2.1 连续傅立叶变换,1.一维连续傅立叶变换： 定义 设 f(x)为实变量x的连续函数， f(x)的傅立叶变换表示为Ff(x),即：,3.2.1 连续傅立叶变换,如果给定F(u),f(x)可以由傅立叶逆变换得到：,3.2.1 连续傅立叶变换,几个概念 假设函数f(x)为实函数。但一个实函数的傅立叶变换可能为复函数： F(u) = R(u) + jI(u) （1） f(x)的傅立叶模（傅立叶谱）记为： |F(u)| |F(u)| = R2(u) + I2(u)1/2 （2） f(x)的傅立叶模平方（能量谱）记为： P(u) P(u) = |F(u)|2 = R2(u) + I2(u),3.2.1 连续傅立叶变换,（3）f(x)的傅立叶相位记为： (u) (u) = tan-1 (I(u) / R(u)把F(u)写成指数形式：F(u)=F(u)ej(u) （4）傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量 这个名称源于尤拉公式中的指数项 exp-j2ux = cos2ux - jsin2ux 如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和的极限，则易推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中u的每个值决定了其相应cos, sin函数对的频率。,3.2.1 连续傅立叶变换,2. 二维连续傅立叶变换 对于二维信号的图像信息来讲，一方面研究输入图像由哪些空间频率成分构成，另一方面在空间频率域中进行各种处理。对于空间频率域来讲，有时也把图像本身叫做空间域（space domain)。 空间频率（space frequency)表示单位长度上的正弦浓淡变化的重复次数。用在横轴和纵轴上分别对应于x轴方向和y轴方向的空间频率为u, v的二维平面（空间频率域）来表示。,3.2.1 连续傅立叶变换,3.2.1 连续傅立叶变换,3.2.1 连续傅立叶变换,二维连续傅立叶变换： 如果f(x,y)连续可积，并且F(u,v)可积，则存在以下傅立叶变换对，其中u,v为频率变量：,3.2.1 连续傅立叶变换,二维傅立叶模、相位和模平方分别为： 模（傅立叶谱）： |F(u,v)| = R2(u,v) + I2(u,v)1/2 相位： (u,v) = tan-1 (I(u,v) / R(u,v) 模平方（能量谱）： P(u,v) = |F(u,v)|2 = R2(u,v) + I2(u,v),3.2.2 卷积,这一节研究两个傅立叶变换之间的关系，它构成了空间域和频率域之间的基本关系，这些关系称为卷积。它们对深入理解在傅立叶变换基础上的图像处理技术是十分重要的。,3.2.2 卷积,卷积定理： 如果f(x)的傅立叶变换是F(u)，并且g(x)的傅立叶变换是G(u)，那么,即f(x)*g(x)的傅立叶变换是F(u)G(u) 一个类似的结果是，在频域中的卷积归结为在x 域中的乘积，即,以上两个结论称为卷积定理。,3.2.2 卷积,二维卷积公式：,其中, 是伪积分变量。,卷积定理：,式中f(x,y)的傅立叶变换是F(u,v)，g(x,y)的傅立叶变换是G(u,v),3.2.3 离散傅立叶变换(discrete Fourier transform：DFT),为了能用数字计算机计算傅立叶变换，对信号与频谱应有如下要求： (1) 它们都应是离散的； (2) 空域与频域都应为有限的。,1.一维离散傅立叶变换 假设连续函数f(x),通过取N个x单位的采样点，被离散化为一个序列： f(x0),f(x0+x),f(x0+2x),f(x0+N1 x) 这里定义： f(x) = f(x0+ xx) 其中假设x现在的离散值是：0,1,2, ,N-1。 f(x0),f(x0+x),f(x0+2x),.,f(x0+N1x) 表示相对与连续函数的任意N个均匀的空间采样。,3.2.3 离散傅立叶变换,当f(x)的取样始于原点，就可以用 f(0),f(1),f(2), . , f(N1)来表示 f(x0), f(x0+x) , f(x0+2x), ,f(x0+(N1) x)的等间隔的采样值序列。,3.2.3 离散傅立叶变换,函数f(x0+xx)的离散傅立叶变换对有： 正变换,u=0,1,2,.N-1,x=0,1,2,.N-1,逆变换,3.2.3 离散傅立叶变换,注意：式中u=0,1,2, ,N-1, 这也类似于x, F(u)也是一个取N个等量间隔u取样后的离散函数，它可表示为F(u) = F(u0+ uu), 若F(u)的取样始于原点，则相应为u,2 u, ,(N-1) u , 即F(u)=F(u u)。,最终形成傅立叶变换对： f(x) F(u),3.2.3 离散傅立叶变换,2.二维离散傅立叶变换 正变换,u=0,1,2,M-1; v=0,1,2,.N-1,x=0,1,2,.M-1; y=0,1,2,.N-1,逆变换,3.2.3 离散傅立叶变换,若M=N 正变换,u,v=0,1,2,.N-1,x,y= 0,1,2,.N-1,逆变换,3.2.3 离散傅立叶变换,式中 u,v = 0,1, , N-1,式中 x, y = 0,1, , N-1,或： 令 则,几点说明： 以上式子不是唯一的表示式 1) 前面的系数也可以在逆变换前面加 1/N2, 还可以正、反变换前各加 1/N。如：,或,3.2.3 离散傅立叶变换, 傅立叶的正变换核为：,2) 指数项也可以用相反的正、负号。,3.2.3 离散傅立叶变换,经常用亮度函数，通过对傅立叶变换模的显示，来显示傅立叶变换图像。由于模的值域可能大于显示的值域，因此要进行动态值域的压缩。 另外，因为图像的亮度（灰度）正比于|F(u,v)|的幅度。但是，许多图像的傅立叶谱随着频率的增加而迅速减小，使高频项变得愈来愈不清楚。基于上述原因，为了提高视觉效果，常用下面的D(u,v)函数来代替|F(u,v)|，即： D(u,v) = c log(1 + |F(u,v)|) 其中： c = 255 / k; k = max(log(1 + |F(u,v)|),离散傅立叶变换的显示, 矩阵表示（当M=N 时） 正变换：,即：,这里,逆变换：,即：,3.2.3 离散傅立叶变换,3.离散卷积 离散一维卷积,离散二维卷积的定义,-相关的定义,记为：h(t)=f(t)g(t),小结 卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带。,3.2.3 离散傅立叶变换,