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第二课时函数的最大(小)值,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,【情境导学】 导入如图所示是某市房管局公布的2013年10月2014年9月该市房价走势图:,想一想 1:从导入图中能否得出2013年10月2014年9月房价的最大值?,(在2014年5月,房价达到最大值,约为27 000元),想一想 2:从导入图中能否得出2013年10月2014年9月房价的最小值?,(在2013年12月,房价达到最小值,约为25 400元),知识探究,1.最大值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: 对于任意的xI,都有f(x) M; 存在x0I,使得 . 那么,称M是函数y=f(x)的最大值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最 点的 坐标. 探究:若函数f(x)M,则M一定是函数的最大值吗? 答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.,f(x0)=M,纵,高,2.最小值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: 对于任意的xI,都有f(x) M; 存在x0I,使得 . 那么,称M是函数y=f(x)的最小值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最 点的 坐标.,f(x0)=M,低,纵,【拓展延伸】 最值的求法 (1)作出函数的图象,尤其是分段函数或解析式含有绝对值的函数,从图象直接观察可得最值. (2)求出函数的值域,其边界即为最值,此时要注意边界值能否取到(即最值是否存在). (3)利用函数的单调性求最值,以下可以作为结论使用: 若函数在闭区间a,b上是减函数,则f(x)在a,b上的最大值为f(a),最小值为f(b); 若函数在闭区间a,b上是增函数,则f(x)在a,b上的最大值为f(b),最小值为f(a).,自我检测,1.(最大值)函数f(x)=3-x2的最大值为( ) (A)3 (B)2 (C)0 (D)4,A,2.(最小值)函数y=-x2+2x-1在0,3上的最小值为( ) (A)0 (B)-4 (C)-1 (D)以上都不对,B,B,4.(最值的应用)若函数y=ax+1在1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是.,答案:2,5.(最值)函数f(x)在-2,+)上的图象如图所示,则函数的最小值为 . ;最大值为.,答案:不存在3,题型一,图象法求最值,课堂探究素养提升,解:(1)函数的图象如图所示. 由图象可知f(x)的单调递增区间为(-,0) 和0,+),无递减区间.,(2)根据函数的图象求出函数的最小值.,解:(2)由函数图象可知, 函数的最小值为f(0)=-1.,方法技巧 利用图象求函数最值的方法:画出函数y=f(x)的图象; 观察图象,找出图象的最高点和最低点; 写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.,即时训练1-1:用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)= min4x+1,x+4,-x+8的最大值是.,解析:在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的图象,如图所示. 由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6. 答案:6,【备用例1】 已知函数f(x)= 求f(x)的最大值、最小值.,题型二,单调性法求最值,【例2】 已知函数f(x)= . (1)判断函数在区间(-1,+)上的单调性,并用定义证明你的结论;,(2)求该函数在区间2,4上的最大值和最小值.,方法技巧 (1)由函数单调性结合函数图象找出最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值. (2)分段函数的最大(小)值是函数整体上的最大(小)值.,即时训练2-1:已知函数f(x)= ,x3,5. (1)判断函数在区间3,5上的单调性,并给出证明;,(2)求该函数的最大值和最小值.,【备用例2】 求函数y=2x-1- 的最大值.,题型三,二次函数的最值,【例3】 已知函数f(x)=3x2-12x+5,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值. (1)xR;,解:f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7. (1)当xR时,f(x)=3(x-2)2-7-7, 当x=2时,等号成立. 即函数f(x)的最小值为-7,无最大值.,(2)0,3; (3)-1,1.,解:(2)函数f(x)=3(x-2)2-7的图象如图所示, 由图可知,函数f(x)在0,2)上递减, 在2,3上递增,并且f(0)=5, f(2)=-7,f(3)=-4, 所以在0,3上,f(x)max=f(0)=5, f(x)min=f(2)=-7. (3)由图象可知,f(x)在-1,1上单调递减, f(x)max=f(-1)=20, f(x)min=f(1)=-4.,变式探究:(1)若本例函数解析式不变,求此函数在0,a上的最大值和最 小值;,解:(1)由题意知a0,f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7, 故此函数的对称轴为x=2, 当0a2时,f(x)min=f(a)=3a2-12a+5, f(x)max=f(0)=5, 当2a4时,f(x)min=f(2)=-7, f(x)max=f(0)=5, 当a4时,f(x)min=f(2)=-7, f(x)max=f(a)=3a2-12a+5.,(2)若将函数“f(x)=3x2-12x+5”变为“f(x)=x2-2ax+2”,则函数在-1,1上的最小值如何?,解:(2)f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,其图象开口向上,对称轴为x=a, a1时,f(x)在-1,1上单调递减,f(x)min=f(1)=3-2a, 综上,f(x)min=,即时训练3-1:已知函数f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时,f(x)a恒成立,求a的取值范围.,解:因为f(x)=(x-a)2+2-a2,所以此二次函数图象的对称轴为x=a. 当a(-,-1)时,f(x)在-1,+)上单调递增, 所以f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)a恒成立,只需f(x)mina, 即2a+3a,解得a-3,即-3a-1. 当a-1,+)时,f(x)min=f(a)=2-a2. 要使f(x)a恒成立,只需f(x)mina,即2-a2a, 解得-2a1,即-1a1. 综上所述,实数a的取值范围为-3,1.,【备用例3】 已知函数f(x)=x2-2x-3,若xt,t+2,求函数f(x)的最值.,解:因为对称轴为x=1, 当1t+2即t-1时,f(x)max=f(t)=t2-2t-3,f(x)min=f(t+2)=t2+2t-3.,题型四 函数最值的实际应用,【例4】 经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(单位:件)与单个商品的价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且销售量近似满足g(t)= 80-2t,单个商品的价格近似满足于f(t)= (1)试写出该种商品的日销售额y关于时间t(0t20)的函数解析式;,(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.,解:(2)由(1)知当0t10时,y=-t2+10t+1 200=-(t-5)2+1 225, 函数图象开口向下,对称轴为直线t=5, 该函数在(0,5上单调递增,在(5,10上单调递减, 所以ymax=1 225(当t=5时取得),ymin=1 200(当t=10时取得). 当10t20时,y=t2-90t+2 000=(t-45)2-25, 图象开口向上,对称轴为直线t=45, 该函数在(10,20上单调递减,ymax1 200(当t=10时取得),ymin=600(当t=20时取得). 由知,ymax=1 225(当t=5时取得),ymin=600(当t=20时取得).,方法技巧 函数的单调性在实际生活中的应用问题,大多涉及最值的求解,如利润最大、用料最省等.解题的关键是先由题意确定函数的解析式,然后借助函数单调性求出最值.但要注意函数的自变量的值要使实际问题有意义.,即时训练4-1:某工厂拟建造一座平面图为如图矩形且面积为200 m2的三级污水处理池,由于地形限制,该污水处理池的长、宽都不能超过16 m.如果池外墙建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且无池盖),求当污水处理池的长和宽各为多少米时,池的总造价最低,并求出最低总造价.,谢谢观赏！,
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