二次方程与二次函数

华英教育个性化辅导教案一、一元二次方程的概念： 问题（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是_，宽是_，根据题意，得：_ 整理，得：_ 归纳： （1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）整式方程 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项 例1将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项 练习:判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0例3求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程 练习: 一、选择题 1在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-=0 A1个 B2个 C3个 D4个 2方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，63px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp为任意实数 二、填空题 1方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_ 2一元二次方程的一般形式是_ 3关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是_ 三、综合提高题 1、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？ 2、关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 3、方程（2a4）x22bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 4、当m为何值时,方程(m+1)x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程二、一元二次方程的解：复习：方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根） 例1下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值例3你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0三、一元二次方程的解法（一）、直接开平方法 问题1填空（1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？ 方程x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1 例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率 解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程这种思想称为“降次转化思想” 由应用直接开平方法解形如x2=p（p0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=，达到降次转化之目的若p0则方程无解 练习：一、选择题 1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程3x2+9=0的根为（ ） A3 B-3 C3 D无实数根 二、填空题 1若8x2-16=0，则x的值是_ 2如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_ 3如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_ 三、综合提高题 1解关于x的方程（x+m）2=n （二）、配方法 1、解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7 上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0） 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗? 2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？ 转化： x2+6x-16=0移项x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 x2+6x+32=16+9左边写成平方形式 （x+3）2=25 降次x+3=5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-pq；如果q0,方程无实根 例1用配方法解下列关于x的方程 （1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0 例2解下列方程 （1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0例3求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0 例4、用配方法解方程 ：ax2+bx+c=0（a0） 练习： 一、选择题 1将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-3 2已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） 3如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或94配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ） A（x-）2= B（x-）2=0 C（x-）2= D（x-）2=5下列方程中，一定有实数解的是（ ） Ax2+1=0 B（2x+1）2=0 C（2x+1）2+3=0 D（x-a）2=a 6已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ） A1 B2 C-1 D-2 二、填空题 1方程x2+4x-5=0的解是_2代数式的值为0，则x的值为_3如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是_ 4已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为_ 三、综合提高题1用配方法解方程（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x 2已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值3已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长 4如果x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值 5、求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数 （三）公式法 由上例4可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根A x2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 例1用公式法解下列方程 （1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 例2某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题 若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程 应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。 练习： 一、选择题 1用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）Ax= Bx= Cx= Dx= 2方程x2+4x+6=0的根是（ ）Ax1=，x2= Bx1=6，x2=Cx1=2，x2= Dx1=x2=- 3（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ） A4 B-2 C4或-2 D-4或2 二、填空题 1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，条件是_ 2当x=_时，代数式x2-8x+12的值是-4 3若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_ 三、综合提高题 1用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0 2设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1x2=； （2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 四、因式分解法:例题：Eg1、3x2x=0 Eg2、 Eg3、 Eg4、 Eg5、 Eg6Ex1、(1)x2=(1+)x ex2、 ex3、 ex4、2x2+7x=4五、选用适当的方法: 2(x1)2=8 2x2+4x=0 4(2x+1)2=3(4x21) (x5)(x+3)+(x2)(x+4)=49 (x2x+1)(x2x+2)=12 x2+12x15=0六、综合题:1、已知x23xy4y2+=0，求3x+6y的值。2、方程 , m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解。二次函数的三种表达方式1二次函数列表表示法 二次函数列表法对于表中已有的自变量的每一个值，可以直接找到对应的函数值，使用起来很方便，不足之处在于很难把自变量与函数的全部对应值都列出来，且从表中也不容易发现自变量与函数值之间的对应规律 2二次函数图象表示法 图象法非常直观，函数的变化情况和某些性质在图象上很直观地显示出来了，它的不足之处在于从图象上找出自变量与函数的对应值时，不很准确 3二次函数解析式表示法 解析法简单明了，通常能从解析表达式了解到整个变化过程中自变量与函数间的全部相依关系，适合于作理论分析和推导计算，不足之处在于求对应值要逐个计算，有时很麻烦，而且，并不是所有的函数关系都能用解析式表示如气象站记录的一天的气温与时间之间的函数关系等；二次函数解析式有三种形式： （1）一般式：； （2）顶点式：； （3）两根式： 说明：（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式，抛物线的顶点坐标是，当时，抛物线的顶点在轴上；当时，抛物线的顶点在轴上；当且时，抛物线的顶点在原点上 （2）当抛物线与轴有交点时，即对应二次方程有实数根存在时，根据二次三项式的分解公式，二次函数可转化为两根式 要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数（常数），由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件 当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式，求解；当已知抛物线与轴交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式，求解【经典例题】例1 根据下列条件，求抛物线的解析式（1）经过点（0，-1），（1，），（-2，-5）；（2）经过点（-3，2），顶点是（-2，3）；（3）与轴两交点坐标分别为、，并且与轴交于点（0，-2）例2 已知抛物线与轴只有一个公共点，坐标为，求此抛物线的解析式例3 已知二次函数的最大值是2，图像顶点在直线上，并且图像经过点（3,-6），求的值例4 抛物线与轴交于，对称轴是直线，顶点到轴的距离是12，求此抛物线的解析式例5设二次函数，当x=4时取得最大值16，且它的图象在x轴上截得的线段长4，求其解析式。例6如果抛物线与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴，B点在x轴的负半轴，OA的长是a，OB的长是b。 （1）求m的取值范围。 （2）若a：b=3：1，求m的值，并写出抛物线的解析式。例7已知抛物线与直线相交于点A（1，）、B（4，8），与轴交于坐标原点O和点C（1）求直线和抛物线解析式（2）在轴上方的抛物线是否存在D点，使得如果存在，求出所有符合条件的点；如果不存在，说明理由【课堂练习】一、选择题： 1二次函数的图象经过两点，则的值为（ ）. A、 B、C、 D、 2二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）. A、2 B、1 C、0 D、0或2 3若二次函数的最小值是2，则的值是（ ） A、4 B、3 C、-1 D、4或-1 4二次函数的图象的顶点坐标为，与轴交于点，则此二次函数的解析式为（ ） A、 B、 C、 D、 5抛物线不经过（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 6抛物线的图象与轴的交点坐标是（ ） A、 B、 C、 D、 7已知二次函数的图象如图所示，下列结论：，其中正确结论的个数是（ ） A、1 B、2C、3 D、4 8如果以轴为对称的抛物线的图象如图所示，那么下列代数式正确的是（ ） A、 B、 C、 D、不能确定 9满足下列关系的二次函数是（ ）-5-4-3-10142-21434 A、 B、C、 D、10二次函数的图象如图所示，下列结论：，其中正确结论的个数是（ ） A、1 B、 C、3 D、4课后作业1抛物线经过点则该抛物线与轴交点的纵坐标为 .ABC2如图，是二次函数的图象上的三点，根据图中给出的三点位置情况可得 0， 0（填“”,“”，“”3二次函数满足下列表格中的关系01234-12040-12 则其图象开口 ，对称轴为 ，顶点坐标 与轴的交点坐标为 ，与轴交点坐标为 .4已知抛物线的顶点横坐标是2，则 .二解答题：1已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，。求抛物线解析式及顶点D的坐标。2已知抛物线的顶点为D，它与x轴交于A（，0）和B（，0）两点（00；当x满足条件_时，；当x满足条件_时，；当x满足条件_时，=；三.练习与检测1.一次函数y2x1与二次函数yx24x3的图象交点( )A只有一个 B恰好有两个 C可以有一个，也可以有两个D无交点2.已知直线y5xk与抛物线yx23x5交点的横坐标为1，则k_，交点坐标为_3.直线y4x1与抛物线yx22xk有唯一交点，则k是( )A0B1C2D14. yx2kx1与yx2xk的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k值为( )A0B1C2D5. 当m取何值时，抛物线yx2与直线yxm.(1)有公共点；(2)没有公共点6.已知抛物线yax2bxc与x轴的两个交点的横坐标是方程x2x20的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式二 次 函 数 与 实 际 问 题1、理论应用 （基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用 （求最值、最大利润、最大面积等）解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积()与路宽(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积()与它与墙平行的边的长(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?设销售单价为x元，(0x13.5)元，那么（1） 销售量可以表示为_；（2） 销售额可以表示为_；（3） 所获利润可以表示为_；（4） 当销售单价是_元时，可以获得最大利润，最大利润是_。变式练习2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有哪些变量？其中自变量是_,因变量是_.（2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_棵橙子树,这时平均每棵树结_个橙子.（3）如果橙子的总产量为y个，请你写出x与y之间的关系式_.（4）果园里种_棵橙子树橙子的总产量最多，最多是_。例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。变式练习3：如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面宽米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？ 变式练习4：如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。（精确到0.1米）例四：一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本.据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1x12）的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90,第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平。 （1）设使用回收净化设备后的1至x月（1x12）的利润和为y,写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等？ （3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。变式练习5：一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数，用y(元)表示该店日净收入(日净收入每天的销售额套餐成本每天固定支出)求y与x的函数关系式；若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？ 例题五：心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系（04黄冈）（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到180，那么经过适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？例题六：如图，等腰RtABC的直角边AB，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。(1)设 AP的长为x，PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；(2)当AP的长为何值时，SPCQ= SABC 变式练习6：在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于8cm2（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；t为何值时S最小？求出S的最小值。CDQBPA课后练习：一，利润问题：1某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？二，面积问题：2，如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上(1)设长方形的一边ABx m，那么AD边的长度如何表示？(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？3.如图1，RtPMN中，P90，PMPN，MN8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令RtPMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与PMN重叠部分的面积为y。求y与x之间的函数关系式。二次函数的综合应用一、典例精析考点一：二次函数与圆3（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(，0)，点C(0，3)，点B是x轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C（1）求ACB的度数；（2）已知抛物线yax2bx3经过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使BOD为等腰三角形若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由解： (1) 以AB为直径的圆恰好经过点C ACB=(2) AOCABC A(，0)，点C(0，3)， B(4,0) 把 A、B、C三点坐标代入得 (3) OD=OB , D在OB 的中垂线上，过D作DHOB,垂足是H 则H 是OB 中点。DH= D BD=BO 过D作DGOB,垂足是G OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 OG:4=1:5 DG:3=1:5 OG= DG= D(,)2（2010昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作M的切线l ，且l与x轴的夹角为30，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） 解：（1）解析式为： 3分（2）存在 抛物线的顶点坐标是，作抛物线和M（如图），设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与M相切于点C连接MC，过C作CD x 轴于D MC = OM = 2, CBM = 30, CMBCBCM = 90 ，BMC = 60 ，BM = 2CM = 4 , B (-2, 0) 在RtCDM中，DCM = CDM - CMD = 30DM = 1, CD = = C (1, )设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得： 解得： 切线BC的解析式为：点P为抛物线与切线的交点由 解得： 点P的坐标为：， 8分 抛物线的对称轴是直线此抛物线、M都与直线成轴对称图形于是作切线 l 关于直线的对称直线 l(如图)得到B、C关于直线的对称点B1、C1l满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点： ，即为所求的点.这样的点P共有4个：， 12分3.（2011桂林）已知二次函数的图象如图.（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若ACB=90，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作D，试判断直线CM与D的位置关系，并说明理由. 解: （1）由得 1分（，）2分（2）方法一:如图1, 设平移后的抛物线的解析式为 3分则C OC= 令 即 得 4分A，B5分6分即: 得 (舍去) 7分抛物线的解析式为 8分方法二: 顶点坐标设抛物线向上平移h个单位,则得到,顶点坐标3分平移后的抛物线: 4分当时, , 得 A B5分ACB=90 AOCCOBOAOB6分 得 ,7分平移后的抛物线: 8分（3）方法一:如图2, 由抛物线的解析式可得A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(，0) ，M 9分过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H,则 在RtCOD中,CD=AD 点C在D上 10分 11分CDM是直角三角形，CDCM直线CM与D相切 12分方法二:如图3, 由抛物线的解析式可得A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(，0) ，M 9分作直线CM,过D作DECM于E, 过M作MH垂直y轴于H,则, , 由勾股定理得DMOC MCH=EMDRtCMHRtDME 10分 得 11分由(2)知 D的半径为5 直线CM与D相切 12分考点二：二次函数与相似形4、(09安顺)如图，已知抛物线与交于A(1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。 求抛物线的解析式； 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； AOB与DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。5、（09年遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由3、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；AABBOOxxyy图图(3) 连接OA、AB，如图，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP与OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。二、能力提升1、（08昆明）如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C ,过点C的直线交x轴的负半轴于点D(9，0) (1) 求A、C两点的坐标; (2) 求证直线CD是M的切线(3) 若抛物线经过M、A两点，求此抛物线的解析式； (4) 连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F。如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得，若 存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。 (注意：本题中的结果均保留根号) 2.（09长沙）如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等（1）求实数的值；（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由yOxCNBPMA3、（09湖南怀化）如图11，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为设的外接圆的圆心为点（1）求与轴的另一个交点D的坐标；（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值 解得