工科数分答案(A)

北京邮电大学20082009学年第一学期工科数学分析期末考试试题卷)参考评分标准一、填空(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 0时，f (x) = jx(t-12)dt 的最大值是.0解答：163. 设当x T 0时，(1 -cosx)ln(1 + x2)是比x- sinxn高阶的无穷小，而 x - sinxn是比ex2-1高阶的无穷小，则正整数n等于.解答：2ex4.已知 df (x) = - dx 贝gf (x) =.(x解答：2e；+ C5.极限lim Jns1-xdx =0 1 + x 2解答：06. j2 f (x) + f (-x) tan xdx=.-2解答：07. 设 f (x)是连续函数，且 f (x)=x + x2 j 1 f (t)dt，则 f (x)=0解答：Jx + x28. 方程(x +1)y- 2y = (x +1)4 的通解是(1一解答:(x +1)2 - (x +1)2 + C .V2J9. jdx =.1 + sin x + cos x一x 解答：ln 1 + tan + C210. j+8 arc四 dx=.01 + x2n2解答： 二、(6分)设F(x)是f(x)的原函数，且F=-兀，当x 0时，有arctan、x 、 f (x)F(x) =(1 + )，试求 f (x).解：由 f (x) = F(x)，知 F(x)F(x)=忏S x , v x (1 + x)即 j F (x)dF (x)= 2arctan &d arctan S,解出 上 F 2( x) = arctan2 Jx + C, 2v2一代入初始条件F=寸兀，即得C = 0，故F(x) = t2 arctan *x.由此得f (x)=(x 0).x:，并求1-9 2x22 k x (1 + x)三、(8分)对I x ! 1,证明存在9 e (0,1),使得arcsin x =证明：由Taylor公式，对任意I x I 1,存在0 e (0,1),使得x arcsin x = arcsin 0 + (arcsin x) I。x = /-尤3, 、 ,八、又因为 arcsinx = x + + 0(x3), (x 0).6xx3,、故当x 0时有：=x + 7 + 0(x3),由此知侦10 2 x 262 + 0( x 2)0 2 =X1x2(、x 2 1 + + o( x 2)x2+ 0( x 2)两边取极限得lim0 2 = lim一/x 0x01 x?x 2 1 + 丁 + 0( x 2)6)故 lim 0 =x0四、(10分)设抛物线y = ax2 + bx + c过原点，且当0 x 0. 又知该抛物线与直线x = 0,x = 1及x轴所围成的图形面积是3 .求a,b,c 使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积V最小.解：由于抛物线y = ax2 + bx + c过原点，所以c=0.由围成图形的面积可知1(ax2 + bx)dx =,整理得三 + s = n ,即 b = (1 a).于是旋 033233转体体积V =兀 j1 (ax2 + bx)2 dx0a211a214 ,=兀(ab + b 2)=兀(a (1-a) +(1-a)2).5 23532721 28 ,令 V =兀注 + - a- (1 一 a) = 0,a 53 32753得唯一驻点 a = -,b =-,I5,3 八又知该问题存在最小值，故当a = -,b = -,c = 0时旋转体体积最小.I五、(7分)设f (x), g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f (a) = f (b) = 0 .求证：毛 6( a, b )使得 f，(&) + f (&) g ) = 0.证明：令 F(x) = f (x)eg(x),F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且F(a) = F(b) = 0 ,故由罗尔定 理：3 e (a,b),使得F)=(广&) + f (E) g) )eg (&) = 0，而eg(匀丰0,因此f&) + f (&) g 化)=0.六、(7分)设x 0,证明ln(1+ x) 罕三三.证 明： 设f (x) = (1+ x)ln(1 + x) 一 arctan x,f(x) =ln(1+ x) +1 一 .1 + x 2当x 0时f (x) 0,因此函数f (x)严格单调递增，且 f (x) f (0) = 0.从而当x 0时，ln(1+W 罕呸.1 + x七、(12分)(本大题共两个小题，每小题6分)f x = a (t sin t)(1)求摆线第一拱 0,0 t 2兀)的长度.I j = a(1 cos t)2a j 2 兀 sin dt = 8a.02解：L = j 2：(xt)2 +(y t)2dt 0=j次、;a2(1-cos t)2 + a2 sin2 tdt =0(2)判别积分j +8 tan2 x_dx的敛散性.0 ( x + 1)p x5 tan2 x ,解：x = 0为的奇点.(x + 1)气 x5j+8 tan2 x_dx = j 1 tan2 Xdx + j+8 tan2 x_dx.0 (x + 1)px50 (x + 1)寸x51 (x + 1)x/x5因为 lim tan2L云=lim tan； = 1，而 j 】-dx 收敛，故 xT0+ (x + 1)tx5xT0+ (x + 1)x20 wx1 tan2 xj1-1p=dx 收敛；又因为 Vx G (1, +8)，tan2V 彳 ，且 j+8_，dx 收(x + 1)、x54 x(x51 x. x5敛，所以j+8tan dx绝对收敛.1 (x + 1)、； x5综上所述，可知j+8tan dx收敛.0 (x + 1)w x5八、(10分)求微分方程y-2 j + 2j = 2x2 3exsin2x的通解，以及满足 条件y(0) = 0,矿(0) = 0的特解.解：(1)特征方程人2 2X + 2 = 0，特征根人=1 + i,气=1一，故所对应的齐次线性方程的通解为y = Cex cos x + C2ex sin x.注意到自由项的形式，由线性方程特解的叠加原理，先设方程特解为y * = y * + y *其中y *, y *分别为方程 1212y -2 y + 2 y = 2x2(2)y 一 2 y + 2 y = 3exsin2x,的特解.(i) 由于0不是特征根，故设y-2 y + 2 y = 2x2的特解为y* = ax 2 + bx + c,则(y*) = 2ax + b,(y*) = 2a,代入(1)比较系数得a = 1,b = 2,c = 1于是的特解为 y* = x 2 + 2 x +1.由于人=1 2i不是特征根，故设y 一 2y + 2y = 3exsin2x,的特解为y; = ex (A cos 2x + B sin 2x),代入(2)比较系数得 A = 0, B = 1,于是得 特解为y* = ex sin 2x.故原方程的通解为y = y + y* = C ex cos x + C ex sin x + (x2 + 2x +1)+ ex sin 2x. 将y(0) = 0, y(0) = 0代入方程的通解中易知C1 =-1, C2 = -3,满足条件y(0) = 0，矿(0) = 0的特解为 y = -ex cos x 一 3ex sin x + (x2 + 2x +1)+ ex sin 2x.