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上海四大名校整式方程与二元二次方程习题汇总整式方程 等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二次方程、简单的高次方程大纲要求1. 理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；2. 理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程；3. 会推导一元二次方程的求根公式，理解公式法与用直接开平方法、配方法解一元二次方程的关系，会选用适当的方法熟练地解 一元二次方程；4. 了解高次方程的概念，会用因式分解法或换元法解可化为一元一次方程和一元二次方程的简单的高次方程；5. 体验“未知”与“已知”的对立统一关系。内容分析1方程的有关概念 含有未知数的等式叫做方程使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解(只含有个未知数的方程的解，也叫做根)2一次方程(组)的解法和应用 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成13.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 形如(mx+n)2=r(ro)的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法 (2)把一元二次方程通过配方化成 (mx+n)2=r(ro) 的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法 (3)公式法 通过配方法可以求得一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式： 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 (4)因式分解法 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于O，这两个因式至少有一个为O，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法考查重点与常见题型考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有关习题常出现在填空题和选择题中。考查题型1方程x2 = x +1的根是（ ）(A)x = ( B) x = (C) x = (D) x = 2方程 2 x2 + x = 0 的解为（ ）(A) x1 = 0 x 2= (B) x1 = 0 x 2= - 2 (C) x = - (D) x1 = 0 x 2 = - 3 p x2 3x + p2 p= 0 是关于x的一元二次方程，则（ ）（A） p=1 （B） p0 （C）p0 （D） p为任何实数4下列方程中，解为x = 2的是（ ） （A）3x = x+3 （B）- x + 3 = 0 （C） 2 x = 6 (D) 5 x 2 = 85 关于x的方程x2- 3 m x + m2 m = 0 的一个根为-1，那么m的值是_。6 已知2 x 3和1 + 4x 互为相反数，则x =。 7解下列方程：（1） x - x (x 9) = (x9) （2）x2 12 x = 3 (配方法) （3）y3 2 y2 = 5 y 10 （4）3x2 5 x 2 = 0 （5） x2 6x + 1=0考点训练：1. 关于x的一元二次方程(2-m)x2=m(3-x)-1的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ，对m的限制是 。2. 当x = _ 时, x - 的值等于1。3. 方程a x2 + b x + c = 0, 当a 0, b2 4 a c 0 时，其实根x = 4.X的20 % 减去15的差的一半等于2 ,用方程表示_ 5.将方程(2 X +1) (3 X 2 ) = 3 (X2 2 ) 化成一元二次方程的一般形式得_6若方程a - (7 5 x ) = 5 - x 的解是x = - ，则a = 7代数式 与代数式 k +3 的值相等时，k 的值为（ ） （A） 7 （B） 8 （C） 9 （D） 108若 m + 1与 互为相反数，则m的值为（ ） （A） （B） （C）- （D）- 9方程 a x2 + b x = 0 ( a 0 ) 的二根是( ) (A) X1 = X2 = 0(B)X1 = 0 ,X2 = -(C) X1 = 0, X2 = (D) X1 = , X2 = 10解下列方程： (1) - = 1 (2) 14.5 - = - (3) 2 x (5x 2 )= x(75 x)+14 (4) 2 t2 4 = 7 t (5) 3(2x 1)2 = 75 (6) x3 + 8 x2 + 15 x = 0 (7) (x2 x )2 4 (2 x2 2 x 3 ) = 04解关于x的方程x2+x 2+k(x2+2x)=0 （对k要讨论）中考数学辅导之简单的二元二次方程组一、 学习目标1、 了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。2、 掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组、由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。3、 通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元、降次”的数学方法，获得对事物可以相互转化的进一步认识。二、 基础知识及应注意的问题1、 对于二元二次方程、二元二次方程组的概念的学习，应注意联系二元一次方程、二元一次方程组的意义，在对比中加深对概念的理解。2、 解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解(或者说明这个方程组无解)；解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次；其目的就是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解。3、 对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，通常用“代入消元法”进行消元、降次，这是把二元方程转化为一元方程的基本途径。4、 对于形如 xya的方程组，不仅可以用代入法来解，而且可以联系 xyb已学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解。5、 对于由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，求解时应注意把握如下三点：(1) 分析方程组，找出可以分解因式的那个二元二次方程的特点，并把它变形为两个二元一次方程。(2) 把两个二元一次方程分别与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组。(3) 用代入法分别解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的这两个二元二次方程组。 三、 例题例1：解方程组 x2y225 4x3y0 分析： (1)这是一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，与解二元一次方程组类似，可以用代入法来解。(2) 方程是一个二元一次方程，把这个方程变形为，就可把未知数x用未知数y的代数式来表示。(3) 把代入方程，即可消去未知数x，得到一个关于y的一元二次方程，解这个方程即可得y的值，再把y的值代入，就可求出未知数x的值，从而得到方程组的解。解：由得： 把代入得，()2y225 解这个方程得：y14, y2-4把y1代入得：x13把y2代入得：x2-3 原方程组的解为： x13 x1-3 y14， y1-4；例2：解方程组 xy12 xy7 (解法一)由得：x12y 把代入得：y(12y)7 即：y212y7=0解得：把代入得：把代入得：原方程组的解为 ， ；(解法二)根据一元二次方程根与系数的关系可把x、y看成一元二次方程的两根解得；原方程组的解为 ， ；例3：解方程组 xy12 (解法一)：2得：(xy)249 xy7 2得：(xy)21 xy1 由可组成以下四个二元一次方程组 xy7 xy7 xy7 xy7 xy1 xy1 xy1 xy1解这四个方程组得原方程组的解为：x14 x23 x33 x44 y13 y24 y34 y43(解法二)：2得：(xy)249 xy7 由可组成以下两个方程组： xy7 和 xy-7 xy12 xy12以下如例2的(解法二)，分别解出这两个方程组可得出原方程组的四组解(下略)(解法三)由得，代入消去x可得关于y的特殊的四次方程，用换元法解得y的各值再分别代入即可求得原方程组的四组解(只写了思路，具体解题过程略)(解法四)由得：，令ux2，vy2则有 uv25 再如例2的(解法二)求出u、v；最后再求出原方程组的四组解。(只写了思路，具体解题过程略)例4、 解方程组 解：由得 原方程组可化为以下两个方程组： 分别解这两个方程组得原方程组的解为 x14 x2-4 x3-3 x44 y13 y23 y34 y4-3例5：解方程组： 解：由得： xy3 由得：(x+2y+2)(x+2y-1)=0 即：x+2y+2=0或x+2y-1=0原方程组可化为以下四个方程组： x-y=3 x-y=3 x-y=-3 x-y=-3 x+2y+2=0 x+2y-1=0 x+2y+2=0 x+2y-1=0 解这四个方程组，得原方程组的解为： 例题注释：解二元二次方程组的基本思想方法是“降次”和“消元”。初中阶段主要是熟练掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。前者由上述例1、例2说明用代入消元法解；后者由上述例3、例4、例5说明用降次化为几个二元一次方程组或前者形式的方程再消元求解。有一种常用的降次方法是利用分解二次多项式为两个一次式乘积而把一个二元二次方程化为两个二元一次方程的，这种降次方法一定要熟悉，对其它的降次方法如例3的(解法一)、(解法二)、(解法四)也需了解并能使用。例2的(解法二)是利用根与系数关系构造一新未知数的一元二次方程求解的简便方法，对此特殊解法也需熟悉。总之，消元和降次是数学中两种重要的常见的转化方法，利用消元可把多元转化为少元，通过降次能把高次转化为低次。整式方程课后习题：1、 方程的解是 2、 方程的解的个数有 个3、 如果是方程的根，那么 4、 如果是方程的一个解，那么 5、 方程的解为 6、 方程的解为 7、 若是方程组的解，则 8、 若满足，那么的值为 9、 在方程中，当时，的值为 10、一元二次方程的根的判别式= 11、若是方程的一个根，则的值等于 12、方程的根为 13、若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 14、若一元二次方程无实数根，则 15、方程的根的判别式= 16、若一元二次方程的二次项系数为1，它的两个根为1，-2，则这个方程是 17、在方程（ ）括号内填上一个数，使这个方程中有一个实数根为1。18、把二元二次方程化为两个二元一次方程为 19、方程组的解是 20、方程组的解是 21、三角形三边的比是：2，则最大角的度数为 22、某工程甲独做要8天完成，乙独做要6天完成，两人合做则天完成，根据题意列得方程 四、 练习及作业选择题：1、 下列各组中x、y的值是方程组 x2+y2=5的解为： x+y=3A、 x=-1 B、 x=1 C、 x=2 D、 x=-2 y=-2 y=2 y=-1 y=12、 解方程 一般应先( ) x2+y2=25 A、 消去一个未知数 B、消去二次项 C、把方程的左边分解因式 D、由得y2=25-x2并代入3、 方程组 x+y=3 中的x、y可以看成是一个一元二次方程的两个根， xy=10这个方程是( )A、 B、 C、 D、4、 若方程x2+y2-16=0和x2-3y+12=0有一个公共解，则y应取的值为( )A、 7 B、4 C、7和4 D、不小于45、 已知方程组 x2+2y2=6 有一组实数解，则m的值为( ) mx+y=3A、 1 B、1 C、1 D、2填空题：7、 方程中，二次项是_，一次项是_，常数项是_。8、 二元二次方程xy=10的整数解为_。9、 方程组 (x-1)(y+3)=0的解有_组。 y=x210、 方程化成两个二元一次方程为_。解答题：11、解方程组 x=y+4 x2-5xy+6y2=012、 解方程组 x2-5xy+6y2=0 13、 用两种不同的方法解方程组： ；五、 答案及提示：1、 B 2、C 3、C 4、B 5、C 6、C 4、提示：求两个方程的公共解可解由这两个方程组成的方程组，由方程，得，代入方程消去未知数x，得；解得y1=4，y2=-7；由y1=4得x2=0。由y2=-7得x2=-33，无实数解。只能取y=45、 提示：由方程mx+y=3得y=3-mx，代入方程x2+2y2=6得一系数中含有m的关于x的一元二次方程，令，则可得m =16、 提示：将 x=1代入原方程组可解得 ，从而将原方程组变为 y=2 即 ，解得 7、8、 9、 110、 2x-y+1=0,x-y-2=0提示：先将原方程化为，再化成：则有：11、 x1=6 x2=8 y1=2 y2=412、 13、 解：令，则原方程组可化为 (方法一)由u+v=4得：u=4-v，代入，得：即：v2-4v+3=0 v1=1,v2=3代回u=4-v，得： 即： x2=1 y11 y2=9(方法二)根据一元二次方程根与系数的关系，可把u、v看成是关于t的一元二次方程t2-4t+3=0的两个实数根t1=1,t2=3可得 u1=1 u2=3，以下解法同(解法一)。 v1=3 v2=18
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