特征值特征向量的应用

特征值特征向量的应用1 )求方阵的高次幕一般说，求矩阵的高次幕比较困难，但若矩阵A可以对角化，即存在可逆矩阵P使1 P AP diag(2丄，Q.其中1, 2,n是A的全部特征值且A P P 1，则对任意正整数k有Ak( PP1)k=( PP1PP1LPP1)=PkP1 .所以可通过A的相似对角阵来求Ano例1作为计算矩阵高次幕的一个实例，考察如下问题：设某城市共有30万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持 不变，而社会调查表明：(1)在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业,9万人从事工业,6万人经 商;(2)在从农人员中，每年约有20%改为从工，10%改为经商；(3)在从工人员中，每 年约有20%改为从农,10%改为经商;(4)在从商人员中，每年约有10%改为从农,1 0% 改为从工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多之后，从事各业人员总 数之发展趋势。解:若用3维向量乂表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知15X9,而欲求)C X并考察在n-X时灯的发展趋势，引进3阶矩阵6A=aj用以刻IMI从事这三种职业人员间的转移，例如:a23=0.1表明每年有10%0.7 0.2 0.1的从工人员改去经商。于是有 A= 0.2 0.7 0.1 ,由矩阵乘法得0.1 0.1 0.812.9X 1 =ATX= AX = 19.97.2X 2 = A X 1= A2X 011.7310.238.04所以 Xn = AXn1=AnX要分析xn就要计算A的n次幕An，可先将A对角化0.70.21即 A E =0.20.7。1 =(1- )(0-7-)(0.5-)0.1 0.1 0.8特征值为 1=1,2=0.7,3=0.5分别求出对应的特征向量qi,q 2 ,q 3并令Q= q i,q 2 ,q 3 ,则有A= QBQ100100从而有An =CBQ 1，再由xn=AnX , B=00.70JB00.7n0000.5000.5“100100可知nx时Bn将趋于000 ,故知An将趋!于Q000Q1，因而X将000000趋于一确定常量x J因而Xn 1亦必趋于X*J由Xn=AXn 1知）e必满足1tX*=AX*,故X*是矩阵A属于特征值1 = 1的特征向X * =1 t=t ,t +t1t+t =3 =30,t=10,照次规律转移，多年之后，从事这三种职业的人数将趋于相等 均为10万人。2求方阵A的多项式的行列式的值设n阶方阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使Ak PkP1，其中diag(i,2,L,n) ai aE)P1,2, n是A的全部特征值.因此对方阵A的多项式f( A) amAm Lai A aE ,有f(A) P( amm Lai1a)P 1.即f(A) amAm La* aE P(amm Lam m L 印 a diag( f( 1), f( 2)丄,f( Q) f( 1)f(2)Lf( n).例1设n阶实对称矩阵A满足A2=A且A的秩为r,试求行列式的值。解：设AX= X X工0,是对应于特征值的特征向量，因为A2 = A，则X = A X =A2X= 2X,从而有(2-) X=0,因为 XmO 所以 (-1) =0,即=1或0,又因为A是实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵，A的秩为r,故存在可逆矩阵P使得P1AP= Er0=B,其中E是r阶单位矩阵，从而002E A = 2PP1 PBP1 =2EB=2nr3由特征值与特征向量反求矩阵若矩阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使P 1AF= B，其中B为对角矩阵，则A2 = 3=1 ,对应于1的特征向量=PBP1例1设3阶实对称矩阵A的特征值为1 =-1,0为P1=1，求矩阵力1解：因为A是实对称矩阵，所以A可以对角化，即A有三个线性无尖的特征向量,设对应于2= 3=1的特征向量为P=怡,它应与特征向量P 1正交X31，即P,匕=0Xi4-X2+X3=0,该齐次方程组的基础解系为P2=0,00P 3= 11，它们即是对应于2= 3=1的特征向量。0 10100取 P =(P 1,P 2,P 3)= 101 ,B= o101 01001则P 1AP= B，于是0 1 010001/21/210 0A=PBP 1= 101010 100 =00 11 0 1001 01/21/201 04判断矩阵是否相似例1下述矩阵是否相似200210201A 1= 0 2 0,A2 =021 ,A 3=020003003003解：矩阵A i,A 2,A 3的特征值都是=2(二重)，厂3淇中Ai已是对角阵，所以只需判 断A 2, As是否可对角化先考查A2,对于特征值i=2，解齐次线性方程组(2EA 2) X=0得其基础1解系为a匸0 ,由于i=2是A2的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故A02不可对角化或者说A 2与A 1不相似。再考查A 3,对于特征值1=2,解齐次线性方程组(2EA 3, ) X=0得基础解系；对于特征值2=3解齐次线性方程组(3EA 3,) X=0,得基础解系由于A 3,有三个 线性无尖的 特征向量，所以A 3,可对角化，即A 3,与从相似。5求特殊矩阵的特征值例1设A为阶实对称矩阵，且A2 =2A,X r(A)= rvn，求(1) A的全部特征值;行列式的值。解:(1)设为A的任一特征值，为A的对应于特征值的特征向量，所以A=，有 A2 =A =2 ，又因为A2=2A,所以A?=2A =2 ，所以2=2，由此可得B=20=2或0,因为A是实对称矩阵，所以A必能对角化即As ，且r( A)=r( B),故2的个数为A的秩数，即A的特征值为r因为由可得A s B,即存在可逆矩阵C使得C 1AC = B，故有A = CBC1E A= E CBC 1 = CEC 1 CBC 1 =C E B C 1 = E B-(-1)