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第3讲数列的综合问题,专题三数列与不等式,板块三专题突破核心考点,考情考向分析,1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围.3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点,也是一个难点,主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,热点一利用Sn,an的关系式求an,1.数列an中,an与Sn的关系,2.求数列通项的常用方法(1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式.(2)在已知数列an中,满足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an.,(4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).,例1(2018浙江)已知等比数列an的公比q1,且a3a4a528,a42是a3,a5的等差中项.数列bn满足b11,数列(bn1bn)an的前n项和为2n2n.(1)求q的值;,解答,解由a42是a3,a5的等差中项,得a3a52a44,所以a3a4a53a4428,解得a48.,因为q1,所以q2.,(2)求数列bn的通项公式.,解答,解设cn(bn1bn)an,数列cn的前n项和为Sn.,由(1)可得an2n1,,当n1时,b11也满足上式,,给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.,跟踪演练1已知数列an的前n项和Sn满足:a1anS1Sn.(1)求数列an的通项公式;,解答,解由已知a1anS1Sn,,当n2时,由已知可得a1an1S1Sn1,,若a10,则an0,此时数列an的通项公式为an0.,即此时数列an是以2为首项,2为公比的等比数列,故an2n(nN*).综上所述,数列an的通项公式为an0或an2n(nN*).,解答,解因为an0,故an2n.,由n50,解得n5,所以当n4或n5时,Tn最小,,数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化.,热点二数列与函数、不等式的综合问题,(1)若x0时,f(x)0,求的最小值;,解答,解由已知可得f(0)0,,若0,则当x0时,f(x)0,f(x)单调递增,f(x)f(0)0,不合题意;,则当x0时,f(x)0,f(x)单调递减,当x0时,f(x)f(0)0,符合题意.,证明,以上各式两边分别相加可得,解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数,函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视.(2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件.(3)不等关系证明中进行适当的放缩.,跟踪演练2设fn(x)xx2xn1,x0,nN,n2.(1)求fn(2);,解答,解由题设fn(x)12xnxn1,所以fn(2)122(n1)2n2n2n1,则2fn(2)2222(n1)2n1n2n,由得,fn(2)12222n1n2n,所以fn(2)(n1)2n1.,证明,证明因为fn(0)10,,又fn(x)12xnxn10,,热点三数列的实际应用,数列与不等式的综合问题把数列知识与不等式的内容整合在一起,形成了关于证明不等式、求不等式中的参数取值范围、求数列中的最大(小)项、比较数列中项的大小等问题,求解方法既要用到不等式知识,又要用到数列的基础知识,经常涉及到放缩法和数学归纳法的使用.,例3(2018浙江省名校协作体联考)已知数列an中,a11,an12an(1)n(nN*).,证明,证明an12an(1)n,,证明,证明,数列中的不等式问题主要有证明数列不等式、比较大小或恒成立问题,解决方法如下:(1)利用数列(或函数)的单调性.(2)放缩法:先求和后放缩;先放缩后求和,包括放缩后成等差(或等比)数列再求和,或者放缩后用裂项相消法求和.(3)数学归纳法.,跟踪演练3(2018杭州质检)已知数列an满足a11,an1an(c0,nN*).(1)证明:an1an1;,证明,证明因为c0,a11,,下面用数学归纳法证明an1.当n1时,a111;假设当nk时,ak1,,所以当nN*时,an1.所以an1an1.,证明,证明由(1)知当nm时,anam1,,证明,真题押题精练,真题体验,1.(2018全国)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1,则S6_.,解析,答案,63,解析Sn2an1,当n2时,Sn12an11,anSnSn12an2an1(n2),即an2an1(n2).当n1时,a1S12a11,得a11.数列an是首项a11,公比q2的等比数列,,S612663.,2.(2017浙江)已知数列xn满足:x11,xnxn1ln(1xn1)(nN*).证明:当nN*时,(1)0xn1xn;,证明,证明用数学归纳法证明xn0.当n1时,x110.假设当nk(kN*)时,xk0,那么当nk1时,若xk10,则00,因此xn0(nN*).所以xnxn1ln(1xn1)xn1,因此0xn1xn(nN*).,证明,证明由xnxn1ln(1xn1)得,xnxn14xn12xn,记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0).,函数f(x)在0,)上单调递增,所以f(x)f(0)0,,证明,证明因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1,,押题依据数列与不等式的综合是高考重点考查的内容,常以解答题的形式出现,也是这部分的难点,考查学生的综合能力.,解答,押题依据,(1)求b2的值;,解由已知得a23a128,,押题预测,解答,(2)求证:数列an1为等比数列,并求出数列an的通项公式;,解由条件得an13an2,,所以数列an1是以a11为首项,3为公比的等比数列.即an1(a11)3n13n,所以数列an的通项公式为an3n1(nN*).,证明,所以原不等式成立;,先证明不等式左边,当n2时,,再证明不等式右边,当n2时,,综上所述,不等式成立.,
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