资源描述
第3讲数列的综合问题,专题三数列与不等式,板块三专题突破核心考点,考情考向分析,1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点，也是一个难点，主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,热点一利用Sn，an的关系式求an,1.数列an中，an与Sn的关系,2.求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.,(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).,例1(2018浙江)已知等比数列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中项.数列bn满足b11，数列(bn1bn)an的前n项和为2n2n.(1)求q的值；,解答,解由a42是a3，a5的等差中项，得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48.,因为q1，所以q2.,(2)求数列bn的通项公式.,解答,解设cn(bn1bn)an，数列cn的前n项和为Sn.,由(1)可得an2n1，,当n1时，b11也满足上式，,给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.,跟踪演练1已知数列an的前n项和Sn满足：a1anS1Sn.(1)求数列an的通项公式；,解答,解由已知a1anS1Sn，,当n2时，由已知可得a1an1S1Sn1，,若a10，则an0，此时数列an的通项公式为an0.,即此时数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，故an2n(nN*).综上所述，数列an的通项公式为an0或an2n(nN*).,解答,解因为an0，故an2n.,由n50，解得n5，所以当n4或n5时，Tn最小，,数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.,热点二数列与函数、不等式的综合问题,(1)若x0时，f(x)0，求的最小值；,解答,解由已知可得f(0)0，,若0，则当x0时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)f(0)0，不合题意；,则当x0时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0时，f(x)f(0)0，符合题意.,证明,以上各式两边分别相加可得,解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视.(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.(3)不等关系证明中进行适当的放缩.,跟踪演练2设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；,解答,解由题设fn(x)12xnxn1，所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，则2fn(2)2222(n1)2n1n2n，由得，fn(2)12222n1n2n,所以fn(2)(n1)2n1.,证明,证明因为fn(0)10，,又fn(x)12xnxn10，,热点三数列的实际应用,数列与不等式的综合问题把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了关于证明不等式、求不等式中的参数取值范围、求数列中的最大(小)项、比较数列中项的大小等问题，求解方法既要用到不等式知识，又要用到数列的基础知识，经常涉及到放缩法和数学归纳法的使用.,例3(2018浙江省名校协作体联考)已知数列an中，a11，an12an(1)n(nN*).,证明,证明an12an(1)n，,证明,证明,数列中的不等式问题主要有证明数列不等式、比较大小或恒成立问题，解决方法如下：(1)利用数列(或函数)的单调性.(2)放缩法：先求和后放缩；先放缩后求和，包括放缩后成等差(或等比)数列再求和，或者放缩后用裂项相消法求和.(3)数学归纳法.,跟踪演练3(2018杭州质检)已知数列an满足a11，an1an(c0，nN*).(1)证明：an1an1；,证明,证明因为c0，a11，,下面用数学归纳法证明an1.当n1时，a111；假设当nk时，ak1，,所以当nN*时，an1.所以an1an1.,证明,证明由(1)知当nm时，anam1，,证明,真题押题精练,真题体验,1.(2018全国)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1，则S6_.,解析,答案,63,解析Sn2an1，当n2时，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2).当n1时，a1S12a11，得a11.数列an是首项a11，公比q2的等比数列，,S612663.,2.(2017浙江)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*).证明：当nN*时，(1)0xn1xn；,证明,证明用数学归纳法证明xn0.当n1时，x110.假设当nk(kN*)时，xk0，那么当nk1时，若xk10，则00，因此xn0(nN*).所以xnxn1ln(1xn1)xn1，因此0xn1xn(nN*).,证明,证明由xnxn1ln(1xn1)得，xnxn14xn12xn,记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0).,函数f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)f(0)0，,证明,证明因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，,押题依据数列与不等式的综合是高考重点考查的内容，常以解答题的形式出现，也是这部分的难点，考查学生的综合能力.,解答,押题依据,(1)求b2的值；,解由已知得a23a128，,押题预测,解答,(2)求证：数列an1为等比数列，并求出数列an的通项公式；,解由条件得an13an2，,所以数列an1是以a11为首项，3为公比的等比数列.即an1(a11)3n13n，所以数列an的通项公式为an3n1(nN*).,证明,所以原不等式成立；,先证明不等式左边，当n2时，,再证明不等式右边，当n2时，,综上所述，不等式成立.,
展开阅读全文