2010固体物理复习习题课内容

第一章 晶体结构习题 例1、晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？ 解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵基元实际晶体结构例2、.以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。解：以下给出了了二维有心长方晶格示意图：由上图，我们可给出其固体物理学原胞如下图（a）所示，结晶学原胞如下图（b）所示： （a） （b）从上图（a）和（b）可以看出，在固体物理学原胞中，只能在顶点上存在结点，而在结晶学原胞中，既可在顶点上存在结点，也可在面心位置上存在结点。例3、倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？解：倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间（波矢K空间），在晶体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。设一种晶体的正格基矢为、，根据倒格子基矢的定义：式中是晶格原胞的体积，即，由此可以唯一地确定相应的倒格子空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一对应的关系。例4、各类晶体的配位数（最近邻原子数）是多少？解：7种典型的晶体结构的配位数如下表1.1所示：晶体结构配位数晶体结构配位数面心立方六角密积12氯化钠型结构6体心立方8氯化铯型结构8简立方6金刚石型结构4例5.在立方晶体中画出晶面。第二章习题例题1. 若NaCl晶体的马德隆常数=1.75，晶格常数a=5.64，幂指数n=9。晶体拉伸而达到稳定极限时，求：离子间距增加多少？解：当2个原子由相距很远而逐渐接近时，2个原子间引力和斥力都开始增大，但首先引力大于斥力，总的作用为引力，而相互作用势能逐渐减小；当2个原子慢慢接近到平衡距离时，此时，引力等于斥力，总的作用为零，而相互作用势能达到最小值；当2个原子间距离继续减小时，由于斥力急剧增大，此时，斥力开始大于引力，总的作用为斥力，而相互作用势能也开始急剧增大。设该NaCl晶体的含有个离子，则其相互作用势能为 （1）上式中的指NaCl晶体中相邻两离子间的距离。又设NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为，则有。由平衡条件可知 （2） 由（2）式可得：。当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值，即有 （3）将代入（3）式可得 因而离子间距增加了例题2、对于由个惰性气体原子组成的一维单原子链，设平均每2个原子势为：。求：（1）原子间的平均距离； （2）每个原子的平均晶格能； （3）压缩系数。解：（1）在平衡时，有下式成立 （1） 由上式可得（2）设该个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为，那么有 （2）设为2个原子间的最短距离，则有，那么（2）式可化为 （3）其中（3）式中，。那么每个原子的平均晶格能为 （3）根据压缩系数的定义可知 （4）将（3）式代入（4）式得： 第五章习题例、金属自由电子论和布洛赫单电子能带论的比较。性质索末菲自由电子论布洛赫单电子能带论单电子波函数波矢k的电子的波函数带指标n，波矢k的布洛赫波量子数及其取值范围量子数为k取值于整个k空间，周期边条件的许可值量子数n能带指标K波矢，取分立正整数K独立的取值，限在倒格子空间中第一布里渊区内。取周期边条件的许可值单电子能量E(k)没有简单的形式，但有普遍的规律，在倒格子空间中的周期性和偶函数（反演对称性）. En(k)是k的多值函数，形成能带。电子平均速度准经典近似电子质量包含了晶格内部周期场的作用，是k的函数，一般情况是一个张量。例1、一维周期场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。若晶格常数为，电子的波函数为（1）；（2）；（3）（其中为某个确定的函数）。试求电子在这些状态的波矢。解：布洛赫函数可写成，其中，或写成（1）故 显然有 故的波矢是。（2）所以 显然有 故的波矢。（3）故 故的波矢为0。要说明的是，上述所确定的波矢并不是唯一的，这些值加上任一倒格矢都是所需的解。因为空间中相差任一倒格矢的两个值所描述的状态是一样的。例2、已知电子在周期场中的势能为其中：，为常数。（1）画出势能曲线，并求出其平均值；（2）用近自由电子模型求出此晶体的第1及第2个禁带宽度。解：（1）该周期场的势能曲线如下所示：UO其势能平均值为：（2）根据近自由电子模型，此晶体的第1及第2个禁带宽度为 其中和表示周期场的展开成傅立叶级数的第一和第二个傅立叶系数。于是有故此晶体的第1及第2个禁带宽度为 例4、一矩形晶格，原胞边长，。（1）画出倒格子图；（2）画出第一布里渊区和第二布里渊区；（3）画出自由电子的费米面。解：由题意可取该矩形晶格的原胞基矢为，由此可求得其倒格子基矢为，由此可做出此矩形晶格的倒格子图如下图所示：1.571010m-1O 矩形晶格的倒格子（2）该矩形晶格的第一布里渊区和第二布里渊区如下图所示：矩形晶格的第一和第二布里渊区（3）设该二维矩形晶格晶体含有个电子，由于费米面是空间占有电子与不占有电子区域的分界面，所以有下式成立 由此得 上式中为该二维晶格晶体的电子密度。于是可求得该二维晶格晶体的费米面的半径为 由此可做出自由电子的费米面如下图中圆面所示： 二维矩形晶格的费米面圆第六章习题例题1、已知一维金属晶体共含有个电子，晶体的长度为，设K。试求：（1）电子的状态密度；（2）电子的费米能级；（3）晶体电子的平均能量。解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为(K空间电子能带为？)： （1） 考虑在空间中，在半径为和的两线段之间所含的状态数为： （2） 又由于 所以 （3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为： （4） （2）由于电子是费米子，服从费米狄拉克统计，即在平衡时，能量为的能级被电子占据的几率为： （5） 于是，系统中的电子总数可表示为： （6） 由于K，所以当，有，而当，有，故（6）式可简化为： 由此可得： （7）（3）在K时，晶体电子的平均能量为： 例题2、求出二维自由电子气体的能态密度和基态时的费米能级。解答.金属自由电子关系为二维等能面是圆电子数目相应于二维平面上半径为，宽度为的圆环内的状态数目，设二维金属面积为S由自由电子色散关系，代入得常数在绝对零度时，费米能级以下的量子态全部被电子占据，所以有其中n是电子密度。15