信号与线性系统题解第四章

第四章 习题答案收集自网络4.1 由于复指数函数是LTI系统的特征函数，因此傅里叶分析法在连续时间LTI系统分析中具有重要价值。在正文已经指出：尽管某些LTI系统可能有另外的特征函数，但复指数函数是唯一能够成为一切LTI系统特征函数的信号。在本题中，我们将验证这一结论。(a) 对单位冲激响应的LTI系统，指出其特征函数，并确定相应的特征值。(b) 如果一个LTI系统的单位冲激响应为，找出一个信号，该信号不具有的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为1。再找出另外两个特征函数，它们的特征值分别为1/2和2，但不是复指数函数。 提示：可以找出满足这些要求的冲激串。(c) 如果一个稳定的LTI系统的冲激响应是实、偶函数，证明和实该系统的特征函数。(d) 对冲激响应为的LTI系统，假如是它的特征函数，其特征值为，确定应满足的微分方程，并解出。 此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。解：(a) 的LTI系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值为1。 (b) ，。如果是系统的特征函数，且特征值为1，则应有。满足这一要求的冲激序列为。 若要找出特征值为1/2或2的这种特征函数，则可得： ， 特征值为1/2。 ， 特征值为2。 (c) 为实、偶函数 同理可证。 (d) 于是 4.2 求下列信号的傅里叶级数表示式。(a) (b) 是以2为周期的信号，且(c) 如图P4.2(a)所示。 (d) 如图P4.2(b)所示。(e) 如图P4.2(c)所示。 (f) 如图P4.2(d)所示。 图P4.2解：(a) ，取，则有 (b) , 则 (c) ，是奇函数， (d) ，可求得 (e) ，是偶函数， (f) ，可求得 4.3 已知某LTI系统的单位冲激响应为 对下列输入信号，求输出响应的傅里叶级数表示式。(a)(b)(c)(d) 如图P4.3所示。 图P4.3解：设则其中分别是和的傅里叶级数系数。 (a) 其余 ，其余 (b) ； (c) ; (d) 由图P4.3所示可得： 4.4 (a) 证明:以T为周期的信号如果是偶函数,即,则其三角函数形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量；如果是奇信号，即，则其三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。(b) 如果以T为周期的信号同时满足 则称为偶谐信号；如果同时满足 则称为奇谐信号。证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含偶次谐波；奇谐信号的傅里叶级数只包含奇次谐波。 (c) 如果是周期为2 的奇谐信号，且，画出的波形，并求出它的傅里叶级数系数。解： (a) ， 若，则 若，则 (b) 若，则 当k为偶数时， 当k为奇数时， 只有偶次谐波 同理可证奇谐信号只包含奇次谐波。 (c) 奇谐信号， 如图PS4.4所示。 图PS4.4 ，（k为奇数） ， （k为偶数）4.5 假如图P4.5所示的信号和有如下三角函数形式的傅里叶级数表示式 画出信号 图P4.5解： 而 4.6 设是一个周期信号，其基波周期为，傅里叶级数的系数为，用表示下列信号的傅里叶级数系数。此题证明了表4.2中所列的傅里叶级数的有关性质。(a) (b) (c) (d) ,（假设）(e) (f) （要先确定该信号的周期）解： (a) (b) (c) (d) 为周期信号 (e) 因此以T为周期 (f) 该信号周期为4.7 已知某周期信号的前四分之一周期的波形如图P4.7所示。就下列情况画出一个周期（）内完整的波形。 图P4.7 (a) 是偶函数，只含有偶次谐波。 (b) 是偶函数，只含有奇次谐波。 (c) 是偶函数，含有奇次和偶次谐波。 (d) 是奇函数，只含有偶次谐波。 (e) 是奇函数，只含有奇次谐波。 (f) 是奇函数，含有偶次和奇次谐波。解：(a) 且，如图PS4.7(a)所示。 (b) 且，如图PS4.7(b)所示。 (c) ，如图PS4.7(c)所示。 (d) 且，如图PS4.7(d)所示。 (e) 且，如图PS4.7(e)所示。 (f) ，如图PS4.7(f)所示。 图PS4.74.8 计算下列信号的傅里叶变换： (a) (b) ，其中 (c) 如图P4.8(a)所示。 (d) 如图P4.8(b)所示。 (e) (f) 如图P4.8(c)所示。 (g) 如图P4.8(d)所示。 图P4.8解：(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 4.9 确定下列傅里叶变换所对应的连续时间信号： (a) (b) (c) (d) 如图P4.9(a)所示。 (e) 如图P4.9(b)所示。 (f) 的模和相位如图P4.9(c)(d)所示。 图P4.9解： (a) 设 即 (b) 故有 (c) 即 (d) (e) (f) 由图P4.9(c)、(d)知， 4.10 先求出图P4.10所示各信号的频谱，再用表示图中信号的频谱。 图P4.10解： 4.11 设是图P4.11所示信号的频谱，不求出而完成下列计算：(a) 求(b) 求(c) 计算(d) 计算(e) 画出Re对应的信号。 图P4.11解： (a) (b) (c) (d) (e) ，如图PS4.11所示。 图PS4.114.12 一个实连续时间信号的傅里叶变换为且，如果已知 是(a) 偶时间函数；(b) 奇时间函数。求。解： (a) 即 (b) 4.13 如果图P4.13所示的实信号存在傅里叶变换，试判断哪些信号的傅里叶变换满足下列性质之一。 (a) Re (b) Im (c) 可以找到一个实数，使得是实函数。 (d) (e) (f) 是周期的。 图P4.13解： (a) Re 为奇函数 因而图P4.13(a),(b)满足条件。 (b) Im 为偶函数 因而图P4.13(d),(f)满足条件。 (c) 由已知可得，平移后为偶函数 因而图P4.13(a),(c),(d),(f)满足条件。 (d) 因而图P4.13(a),(b),(c),(e),(f)满足条件。 (e) 因而图P4.13 (c),(d),(e),(f)满足条件。(f) 由条件可知(c)满足。4.14 求图P4.14所示周期信号的傅里叶变换。 图P4.14解： 4.15 假设周期信号是某个LTI系统的输入，的傅里叶级数表示式为系统的频率响应为 为了该系统的输出至少具有在一个周期内平均能量的90，必须取多大？解： 根据帕斯瓦尔定理，可得信号的平均能量为： 设的取值使系统能通过的第次谐波，则系统输出的平均能量为由题意应有 即： 即： 能保证输出至少具有一个周期平均能量的90。本题中，得 4.16 (a) 如果信号满足，那么的傅里叶变换具有什么性质？ (b) 如果一个系统的输入为，输出为，且，试用的傅里叶变换表示的傅里叶变换 (c) 如果和是两个任意信号，其傅里叶变换分别为和，证明帕斯瓦尔定理的一般形式 解： (a) 设，由共轭对称性有 由尺度变换性有 而，表明是实函数。 (b) 设， (c) 4.17 在第3章我们指出LTI系统可以由它的单位冲激响应完全表征。在本章中我们又指出LTI系统可以由它的频率响应完全表征。但这并不意味着单位冲激响应或频率响应不同的LTI系统，对任何同样的输入信号所产生的响应都一定不同。 (a) 为了说明这一点，可以证明3个LTI系统对具有完全相同的输出响应，这3个系统的单位冲激响应分别为： (b) 找出对也会产生同样响应的另一个LTI系统的单位冲激响应。解： (a) 可见， (b) 由(a)可知，只要把(a)中三个系统的冲激响应线性组合起来，就可以构成满足题意要求的LTI系统。例如： 就是满足要求的另一个LTI系统。同样地， 等等，都是满足要求的LTI系统。4.18 (1) 假定信号 是对具有如下单位冲激响应的LTI系统的输入，试确定每种情况下的输出。 (a) (b) (c) (2) 某LTI系统的冲激响应为 对下列输入信号，分别求系统的输出。 (a) 是图P4.18(a)所示的周期性方波信号。 (b) 是图P4.18(b)所示的方波信号。 (c) (d) (e) 是实信号，的模对如图P4.18(c)所示，对 有恒定相位。 图P4.18解： (1) (a) (b) ，则有，如图PS4.18-1所示。其中： (c) ，则有。如图PS4.18-2所示。其中： (2) (a) 其中为的傅里叶级数系数， (b) ，其中 (c) (d) (e) 由图P4.18(C)及相位条件，可得出的一个周期为： 4.19 图P4.19所示4个LTI系统互联，其中：(a) 确定，并粗略画出其图形。(b) 求整个系统的单位冲激响应。(c) 当输入为时，求系统输出。 图P4.19解： (a) ，如图PS4.19所示。 图PS4.19(b) 而 (c) 利用(b)的结果，由可得 也就是： 4.20 对图P4.20所示电路，求出系统的传输函数，欲使该系统不失真传输信号，试确定和。 图P4.20解： 4.21 (1) 已知的频谱为，是一个周期信号，其傅里叶级数表示式为 其中，为基波频率。如果，试问的傅里叶变换是什么? (2) 如果如图P4.21(a)所示，对下列画出的频谱。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 如图P4.21(b)所示。 图P4.21解： (1) (2) (a) ，如图PS4.21(a)所示。 (b) ，如图PS4.21(b)所示。 (c) ，如图PS4.21(c)所示。 (d) ，如图PS4.21(d)所示。 (e) ，如图PS4.21(e)所示。 (f) ，如图PS4.21(f)所示。 图PS4.214.22 (a) 如果单位冲激响应为和的两个LTI系统是彼此互逆的，它们的频率响应分别为和，试问与之间有什么关系。 (b) 逆系统被广泛用于干扰抵消。假定一个有回声的大厅，将其声学结构作为一个LTI系统来建立其模型。该系统的单位冲激响应由一系列冲激组成，其中第个冲激表示第次反射。在此情况下，单位冲激响应表示为 其中表示第次反射时的阻尼。为了获得高质量的音响效果，必须对检测到的声音进行处理，借以消除回波的干扰。假定代表LTI系统的频率响应，该系统被用来处理检测到的音响信号，试确定，使得回波干扰能完全消除。 (c) 一个最初松弛且由下列微分方程描述的LTI系统 该系统的逆系统也是最初松弛的，求出描述该逆系统的微分方程。并求出原系统的单位冲激响应和逆系统的单位冲激响应。 解： (a) 若和互逆，则有 (b) (c) 两边傅里叶变换 逆微分方程： 4.23 (a) 某连续时间LTI系统的频率响应为 其中，求出和相位，并求出系统的单位冲激响应。这样的系统称为全通系统。 (b) 如果对(a)中所给的系统输入信号为 当时，输出是什么？当时，又是什么？ 比较与，即可看出尽管系统对输入信号的各个频率分量在幅度上一视同仁，但由于系统相位特性的非线性，致使不同频率的分量产生不同的时延，从而导致输出信号发生了失真。这种失真即是所谓的相位失真。解： (a) (b) ；当时有 当时， 4.24 某LTI系统对输入信号 的响应为 (a) 求该系统的频率响应。(b) 求该系统的单位冲激响应。(c) 写出描述系统的微分方程，并用直接II型结构实现该系统。解： (a) (b) (c) 其直接II型结构如图PS4.24所示。4.25 某因果LTI系统由下列微分方程描述 (a) 确定该系统的频率响应和单位冲激响应。(b) 如果，求系统的输出响应。(c) 如果输入的傅里叶变换分别为： 重新求系统的输出响应。解： (a) (b) (c) 4.26 如果连续时间LTI系统的冲激响应是实、因果函数，其频率响应可以完全由它的实部来确定；如果是实因果函数，且在不包含奇异函数，那么也可以由它的虚部完全确定。本体研究的就是这一特性。(a) 考查的偶部，指出如何由得到，进而证明可以完全由它的实部来确定。(b) 如果因果系统的频率响应的实部为，试确定，并进而确定。(c) 如果在不包含任何奇异函数，由于是因果的，除了以外，有 且上式两边的傅里叶变换必然恒等，根据傅里叶变换的调制特性，证明：(d) 利用上式导出用的虚部表示实部以及用表示的关系式。这表明，因果LTI系统的冲激响应是实信号时（这正是工程实际中应用的情况），系统频率响应的实部和虚部是互相制约的。从而系统的幅频特性与相频特性也是相互制约的。由和互相表示的这种约束关系称为希尔伯特（Hilbert）变换。解： (a) ，且为实函数。 又 是因果的， 由的实部可完全确定；由又可完全确定。从而可以完全由它的实部来确定。(b) (c) ，当为因果函数时有 因此，除了一点外，可以由得到。 如果在不包含奇异函数，而且，则有 因而将不会因为为任何有限值而改变。这表明与的值无关。 由 可得 于是，由可以确定。再根据（除 外），可由求得。因此可以完全由其虚部确定。 由此得 (d) 令 ，则有 4.27 在图P4.27所示系统中是理想低通滤波器，其截止频率为，群时延为常数，试对和两种情况求输入为时，系统的输出响应。 图P4.27解： 而 因此，当时， 当时， 4.28 求图P4.28所示已调信号的频谱。 图P4.28解： ，其中如图PS4.28所示。 图PS4.28 ：调制周期为的方波，同 ：调制周期为的方波， 同，可计算及。4.29 图P4.29所示系统中，已知输入信号的频谱为，如图所示。试确定并粗略画出的频谱。 图P4.29解： 4.30 在4.8节讨论同步解调时，我们从频谱图直观地说明了调制器和解调器所用的载波应该同频。由于通信系统中调制和解调常常是在相距很远的两地进行的，因此做到这一点比较困难。本题讨论两个载波不同频但频率同步的情况。假定在DSB调制中，载波频率为，解调器的载波频率为，它们的频率差为，同时假定是带限的，即时，；同步解调时理想低通滤波器的截止频率满足下列条件： (a) 证明此时解调器中理想低通滤波器的输出正比于 如果不随时间变化，即和是同步的，我们就可以通过二次解调得到。 (b) 如果的频谱如图P4.30所示，请绘出同步解调器输出的频谱。 图P4.30解： 设解调器输出为 带限于， 上式第二项的频谱在频率范围 即： 而，因此频谱完全在低通滤波器的通带之外。但的频谱位于范围内，因此完全在低通滤波器通带中，由此可得 这就证明了：解调器的输出正比于。 二次解调有 因此，可以得到，即得到。 (b) 如图PS4.30所示。 4.31 在讨论幅度调制时，调制和解调都是由乘法器完成的，但在工程实际中，由于乘法器往往难以实现，所以很多实际系统中都采用非线性器件。图P4.31给出了这样一个幅度调制系统。假定是带限的，当时，试确定带通滤波器的参量和，使得，并给出和的必要约束条件。 图P4.31解： 为了使，就必须使带通滤波器滤除，且要求参量 带限于， 带限于2。 而，其频谱位于和处；的频谱位于范围内，因此，带通滤波器应满足如下要求： 欲使这两个条件都满足，对和应有如下约束： 4.32 图P4.32所示的调制解调系统中，解调器所用的载波是一个方波信号，它与调制器的载波具有相同的零点，如图所示。是带限信号，其最高频率，频谱的实部和虚部如图所示。(a) 分别画出和的傅里叶变换和的实部与虚部，并加以标注。(b) 画出使的滤波器的，并加以标注。 图P4.32解： (a) 由图P4.32可得：如图PS4.32-1所示。 图PS4.32-1 由图P4.32可求得的傅里叶级数系数为 如图PS4.32-2所示。 如图PS4.32-3所示。 图PS4.32-3 (b) 由可以得出：使的滤波器的应如图PS4.32-4所示。 4.33 在DSB调制中，已调信号的带宽是原始信号带宽的两倍，我们把高于载频的部分称为上边带，低于载频的部分称为下边带。由于上下边带是以载频对称的，这在频带利用上是不经济的。为了更充分地利用频带，在通信中还采用单边带调制(SSB)技术。图P4.33给出了利用移相法产生单边带信号的系统。(a) 绘出图中的频谱示意图。(b) 绘出的频谱，说明此时是只保留了下边带的信号；如果，则只保留了上边带。(c) 从频域分析单边带信号如何同步解调，绘出解调系统及相关的频谱图。 图P4.33解： (a) ； 各频谱分别如图PS4.33(a)-(1)、(2)、(3)所示。 (b) 如图PS4.33(b)-(1)、(2)所示。 (c)4.34 一个AM调幅波为 其中：；。求：(a) 该调幅波的幅度调制指数。(b) 如果我们对调制信号的各个谐波分量分别定义调制指数，并将其称为部分调幅指数，试求该调幅波的部分调幅指数。(c) 绘出调制信号与已调信号的频谱图。此调幅波的带宽是多少？解： (a) (b) ; (c) 频谱图如图PS4.34所示。带宽 图PS4.344.35 图P4.35是一个脉冲幅度调制（PAM）系统，该系统的输出是PAM信号。(a) 假定是一个带限于的信号，如图所示，试确定图中 和地频谱。(b) 求出的最大允许值，使得经过一个适当的滤波器后，有。(c) 这个适当的滤波器的频率响应应该如何确定？并绘出的示意图。 图P4.35解： (a) ， ，如图PS4.35(a)所示。 如图PS4.35(b)所示， 当时，如图PS4.35(c)所示。(b) 欲使经过一个适当的滤波器后能恢复成，就必须保证在范围内有。因此，可以看出必须有，即，从而有。(c) 为了使，必须有，于是得 时，而在时应有，如图PS4.35(d)所示。 图PS4.354.36 已知信号带限于，带限于，与相乘之后被理想 抽样。试确定允许的最大抽样间隔，使抽样后的信号能够通过理想低通滤波器不失真地恢复成原始信号。解： 频带范围为 若不失真恢复，则 即4.37 如果信号的最高频率为500Hz，的最高频率为1500Hz，下列信号是由和构成的，试确定对每一个信号进行理想抽样时，所允许的最大抽样间隔。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 解： (a) (b) (c) (d) (e) (f) 4.38 在实际工程中，常常采用零阶保持抽样。它可以等价为图P4.38所示的系统，在理想抽样之后经过一个零阶保持系统。(a) 求出零阶保持系统的单位冲激响应。(b) 绘出和的波形示意图。(c) 如果是带限于的信号，抽样间隔满足抽样定理的要求，为了能从恢复成，应该让通过一个什么样的系统，确定该系统的频率响应并绘出其幅频特性和相频特性的略图。 图P4.38 零阶保持抽样4.39 设连续时间信号带限于，现在以为间隔对其理想抽样，然后将各样点用直线连接起来构成折线信号。这一过程可以等效为理想抽样后，再经过一个LTI系统。试确定该系统的单位冲激响应。该系统称为一阶保持系统。如果要从一阶保持系统的输出恢复成，还需要级联一个什么样的系统，确定该系统的频率响应，并绘出略图。4.40 已知连续时间信号被图P4.40所示的窄脉冲串抽样，的频谱为，的频谱为。(a) 证明抽样后信号的频谱为 (b) 为了能够从恢复原信号，需要满足哪些条件？ 图P4.404.41 根据抽样定理，如果带限于，抽样频率，且大于2，理想低通滤波器截止频率，通带增益为。那么经过理想低通重建的信号将完全等于。如果不满足上述要求，即欠抽样的情况下，则将不等于。但只要有，无论抽样间隔等于多少，和在抽样时刻总是相等的。即。试证明这一结论。4.42 在正文中我们提到取样示波器用了欠抽样的效果，本题对这一问题进一步讨论。假定是一个频率很高的带限信号。我们对抽样时，抽样间隔为，其中时信号得周期，是根据的带宽适当选择的间隔增量。如图P4.42所示。只要将抽样所得到的冲激串通过一个适当的低通内插滤波器，那么恢复的信号将正比于，其中。 若，求的取值范围，使图P4.42中的正比于，其中，并用和确定的值。 周期为，当时， 图P4.42解： 由 可得的频谱如图PS4.42所示。要使正比于，就必须有 即 由 得 图PS4.424.43 只要平均抽样密度为每秒个样点，则带限于的信号就可以从非均匀抽样的样本得到恢复。图P4.43就是一个非均匀间隔抽样的系统。在图中假定是带限于的信号，即时，；是如图所示的非均匀间隔的周期性冲激串；是周期性波形，其周期为。，是相移器， 是理想低通滤波器 图P4.43 其中，K为常数，也可以是复数。在此条件下就以下各题：(a) 求的傅里叶变换。(b) 求的傅里叶变换，用参数表示。(c) 在区间，求地频谱。(d) 在区间，求地频谱。(e) 在区间，求地频谱。(f) 作为的函数，求出实参量a和b以及复增益K的值，使得对任何带限信号和任何，都有。解： (a) 由图P4.43可以写出如图PS4.43-1所示。(b) 令 ，则 如图PS4.43-2所示。 (c) 由图P4.43可得： 在区间内，由于带限于 故 (d) 由图P4.43知 在区间内有(e) 由图P4.43知 在区间内，由于带限于 故 (f) 欲使时，就要求 即： 为此必须有 即： 由此可解得 4.44 图P4.44所示的由于能量集中在某一频带内，因而这种信号通常称为带通信号。如果对进行抽样，按照抽样定理就应该使抽样频率。但实际上，对带通信号可以用低于两倍最高频率的速率抽样，这就是所谓的带通抽样。假定图示系统中，求出的最大值和常数、的值，使得。 图P4.44解： 由图P4.44知 ， 要在低于的抽样频率下使，就必须保证在区间不发生频谱混迭。 令 ，当为正整数时，在以最低频率抽样而不发生频谱混迭的情况下，如图PS4.44(a)所示。 此时应有 即 在这种情况下，最大抽样间隔为 当不是整数时，设是小于的最大整数，则有 ，其中；此时若仍以抽样，则与必在区间混迭，如图PS4.44(b)所示。 图PS4.44 为了避免混迭现象，必须调整使得 由此可得带通信号抽样时，所允许地抽样频率 最低抽样频率为 最大抽样间隔为 根据图P4.44，为了恢复应有 4.45 图P4.45所示的信号是一个时限信号，其时域持续区间为，代表它的频谱。如果对进行频域抽样，在频域有，其中 图P4.45(a) 如果，粗略画出的傅里叶反变换。(b) 在的情况下，可以通过对加窗口函数恢复出，即。试去定并画出。本题所得到的结论是对4.10节所讨论的情况的更一般的推广。解：(a) 如图PS4.45-1所示。 图PS4.45-1 不发生信号混叠。(b) 用以恢复的时窗为 如图PS4.45-2所示。 图PS4.45-2