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十九、空间几何体（必修二、选修2-1）1.（2012年西城二模理13）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_答案：，2.（2012年丰台二模理2）一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为（ A ）A B C2 D4主视图左视图22俯视图23.（2012年昌平二模理5）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（ C ）A. 0个 B. 1个C. 2个 D. 3 个4.（2012年东城二模理4）若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为 （ A ） A B.C.D.5.（2012年海淀二模理7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ A ） A B. C. D. 6.（2012年东城二模理6）已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 的是（ B ）A，且 B.，且 C.，且 D.，且7.（2012年昌平二模理7）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ B ）A. 点到平面的距离 B. 直线与平面所成的角C. 三棱锥的体积 D.二面角的大小 8.（2012年朝阳二模理8）有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是（ D ）A. B. C. D. 9.（2012年西城二模理16）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值； （）线段上是否存在点，使/ 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由 证明：（）取中点，连结，因为，所以 1分因为四边形为直角梯形，所以四边形为正方形，所以 2分所以平面 3分所以 4分解：（）因为平面平面，且 ，所以平面，所以 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 5分因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以 所以 ，平面的一个法向量为 7分 设直线与平面所成的角为，所以 ， 即直线与平面所成角的正弦值为 9分 解：（）存在点，且时，有/ 平面 10分证明如下：由 ，所以设平面的法向量为，则有所以 取，得 12分 因为 ，且平面，所以 / 平面 即点满足时，有/ 平面 14分10.（2012年朝阳二模理17）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，.（）若点在线段上，且满足,求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.ECBDMAFEDCMAFBN证明：（）过作于，连结，则，又，所以.又且，所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以.又平面，平面，xzECBDMAFy所以平面. 4分 （）因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得.显然.则，所以.即，故平面. （）因为，所以与确定平面，由已知得，. 9分因为平面，所以.由已知可得且，所以平面，故是平面的一个法向量.设平面的一个法向量是.由得 即令，则.所以.由题意知二面角锐角，故二面角的余弦值为. 14分11.（2012年丰台二模理17）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD， EF / AB，BAF=90，AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上（）若P是DF的中点， () 求证：BF / 平面ACP；() 求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度证明：（）()连接BD，交AC于点O，连接OP 因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP为三角形BDF中位线，所以BF / OP， 因为BF平面ACP，OP平面ACP， 所以BF / 平面ACP 4分()因为BAF=90，所以AFAB， 因为 平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF 平面ABCD= AB， 所以AF平面ABCD， 因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系所以 ，所以 ，所以，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为 9分解：（）因为AB平面ADF，所以平面APF的法向量为设P点坐标为， 在平面APC中，所以 平面APC的法向量为， 所以 ， 解得，或（舍） 此时14分12.（2012年昌平二模理17）在正四棱柱中, ,为中点, 为中点.（）求证:；（）求证:平面；() 求平面与底面所成二面角的余弦值. 证明：（）在正四棱柱中四边形是正方形, 4分（）在正四棱柱中,连结,交于点,连结.为中点. 为中点，为中点. 6分又四边形CEMF是平行四边形. 8分 平面,平面.平面. 9分 解： ()以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系如图.则 10分xyz平面的法向量为11分设平面的法向量为.，分则有所以 取，得. . 13分平面与平面所成二面角为锐角.所以平面与底面所成二面角的余弦值为. 14分13.（2012年东城二模理17） 如图,矩形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，,，且，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.证明：（）因为/，平面，平面，所以/平面2分因为为矩形，所以/又 平面，平面，所以/平面 4分又，且，平面，所以平面/平面 5分又平面，所以平面 6分解：（）由已知平面平面，且平面平面，所以平面，又，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. 7分由已知得，易得，则， ， 8分设平面的法向量，则即令，则，所以 10分又是平面的一个法向量， 所以故所求二面角的余弦值为 13分14.（2012年海淀二模理16）如图所示，平面，点C在以AB为直径的O上，点E为线段PB的中点，点M在弧上，且（）求证：平面平面PAC；（）求证：平面PAC平面；（）设二面角的大小为，求的值证明：（）因为点E为线段PB的中点，点为线段的中点， 所以 . 1分 因为 平面，平面， 所以 平面PAC. 2分因为 ， 因为 平面，平面， 所以 平面PAC. 3分因为 平面，平面，所以 平面平面PAC. 5分证明：（）因为 点C在以AB为直径的O上，所以 ，即. 因为 平面，平面，所以 . 7分因为 平面，平面， 所以 平面.因为 平面， 所以 平面PAC平面. 9分（）解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系因为 ，所以 ，.延长交于点.因为 ，所以 .所以 ，.所以 ，.设平面的法向量.因为 所以 即令，则.所以 . 12分同理可求平面的一个法向量n.13分所以 .所以 . 14分
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