初中数学竞赛圆历届考题

初中数学竞赛圆历届考题1（04）D是ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是ABC外接圆上一点，使得，求的值.解：连结AP，则，所以，APBADP， （5分），所以， （10分）A1BCDAB1C1I所以. （15分）2、（05）已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在A1B1C1的外接圆上，则ABC等于（）A、30B、45C、60D、90答：C解：因为IA1IB1IC12r（r为ABC的内切圆半径），所以点I同时是A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IBIA12ID，所以IBD30，同理，IBA30，于是，ABC60（第3题图）ABCDOQP3（06）正方形ABCD内接于O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q若QP=QO，则的值为（ ）（A）（B） （C）（D）答：D解：如图，设O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=rm，QA=rm在O中，根据相交弦定理，得QAQC=QPQD即 (rm)(rm)=mQD ，所以 QD=连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2QO2，即，解得所以， （第4题）ABCOPEK4（06）如图，点P为O外一点，过点P作O的两条切线，切点分别为A，B过点A作PB的平行线，交O于点C连结PC，交O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K求证：PEAC=CEKB证明：因为ACPB，所以KPE=ACE又PA是O的切线，所以KAP=ACE，故KPE=KAP，于是 KPEKAP，所以 ， 即 由切割线定理得 所以 10分因为ACPB，KPEACE，于是 故 ，即 PEAC=CEKB 15分5（07）已知为锐角三角形，经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E若的半径与的外接圆的半径相等，则一定经过的（ ）（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心答：（B）解： 如图，连接BE，因为为锐角三角形，所以，均为锐角又因为的半径与的外接圆的半径相等，且为两圆的公共弦，所以（第3题答案图）于是，若的外心为，则，所以，一定过的外心故选（B）6已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点以点A为圆心，AP为半径作A，A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作B，B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M求证：MP分别与A和B相切（第13A题答案图）证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为，则CEDF因为AB是O的直径，所以在Rt和Rt中，由射影定理得， 5分两式相减可得，又 ，于是有 ，即，所以，也就是说，点P是线段EF的中点因此，MP是直角梯形的中位线，于是有，从而可得MP分别与A和B相切7如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足若，的延长线相交于点，的外接圆与的外接圆的另一个交点为点，连接PA，PB，PC，PD求证：（1）；（2）证明：（1）连接PE，PF，PG，因为，所以又因为，所以，于是有 ，从而，所以又已知，所以， 10分（2）由于，结合（1）知，从而有 ，所以，因此 15分ABCDEIrha（第8题）8、ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心l作DEBC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为。解：如图，设ABC的三边长为，内切圆l的半径为r，BC边上的高为，则，所以，因为ADEABC，所以它们对应线段成比例，因此所以DE故DE。9、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB1，以AB为一边在圆O内作正ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DBAB，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（B）。ABCODE（第9题）A、B、1C、D、解：如图，连接OE，OA，OB，设D，则ECA120EAC又因为ABO所以ACEABO，于是AEOA110已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BDAC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 解：如图，延长AD与D交于点E，连接AF，EF 由题设知，在FHA和EFA中，（第10题）所以 RtFHARtEFA， .而，所以.11（10）如图，ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是ABD和ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： （第12A题）（第12B题） （第12B题）证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以EDBC， FDBC，因此D，E，F三点共线. （5分）连接AE，AF，则（第11题），所以，ABCAEF. （10分）作AHEF，垂足为H，则AH=PD. 由ABCAEF可得，从而 ， 所以 . （20分）ABCHPDQ12（11）、如图，点H为ABC的垂心，以AB为直径的和BCH的外接圆相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。证明：如图，延长AP交于点Q连结AH，BD，QC，QHAB为直径 ADBBDQ900BQ为的直径于是CQBC，BHHQ点H为ABC的垂心 AHBC，BHACAHCQ，ACHQ，四边形ACHQ为平行四边形则点P为CH的中点。