3.4 函数的应用(一) 同步练习（Word版含解析）

第四节函数的应用(一)同步练习一、基础巩固知识点1已知函数模型的应用问题1.2022湖南邵阳高一月考从地面竖直向上抛出一个小球,小球距离地面的高度h (单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t-5t2,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是()A.6 sB.4 sC.3 sD.2 s2. 2022重庆南开中学高一上期末新冠肺炎疫情防控中,核酸检测是新冠肺炎确诊的有效手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天,每个检测对象从接受检测到检测报告生成(称检测过程)平均耗时t(n)(单位:h)大致服从的关系为t(n)=t0n,nN0,t0N0,nN0,t0,N0为常数.已知第16天检测过程平均耗时为16 h,第64天和第67天检测过程平均耗时均为8 h,那么第49天检测过程平均耗时大约为()A.16 hB.11 hC.9 hD.8 h3.2022云南昆明市第一中学高一上期末在线直播带货已经成为一种重要的销售方式,假设在线购买人数y与某产品销售单价x(单位:元)满足关系式:y=mx20-x+40,其中20x100,m为常数.当该产品销售单价为25元时,在线购买人数为2 015,假设该产品成本为每件20元,且每人限购1件,则下列说法错误的是()A.m的值为10 000B.销售单价越低,在线购买人数越多C.当x的值为30时利润最大D.利润最大值为10 0004. 通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间一段时间,学生保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散.设f(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经实验分析得知:f(t)=t2+24t+100,0t10,240,10t20,7t+380,202),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地EFGH的面积为y.(1)写出y关于x的函数解析式,并求出它的定义域.(2)当AE为何值时,绿地面积y最大?并求出最大值.二、能力提升10.2022广东惠州调考某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(单位:cm,每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间的空气层厚度l(单位:cm)对保温效果的影响,利用傅立叶定律得到热流量q满足关系式q=1|T|d(1l2d+2),其中玻璃的导热系数1=410-3 W/(cm),不流通、干燥的空气的导热系数2=2.510-4 W/(cm),T为室内外温度差,q值越小,保温效果越好.现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表:型号A型B型C型D型d0.40.30.50.4l3434则保温效果最好的双层玻璃的型号是()A.A型B.B型C.C型D.D型11.(多选)2022福建福州高一上期末边际函数是经济学中的一个基本概念,在国防、工程、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置,生产x台(xN* )的收入函数R(x)=3 000x-20x2,成本函数C(x)=500x+4 000,利润是收入与成本之差,设利润函数为P(x),则()A.P(x)取得最大值时每月产量为63台B.边际利润函数的解析式为MP(x)=2 480-40x(xN* )C.利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)的最大值不同D.边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加,增加生产一台的利润在减少12.2022山东日照高一上期末2022年春节期间,某商场进行如下的优惠促销活动.优惠方案1:一次购买商品的价格每满60元立减5元.优惠方案2:在优惠1之后,再每满400元立减40元.例如,一次购买商品的价格为860元,则实际支付额为860-586060-401=750(元),其中x表示不大于x的最大整数.(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品,他是分两次支付好,还是一次支付好?请说明理由.(2)已知某商品是小明常用必需品,其单价为30元,小明趁商场促销,想多购买几件该商品,其预算不超过500元,求他应购买多少件该商品,才能使其平均价格最低?最低平均价格是多少?参考答案一、基础巩固1.A令h=30t-5t2=0,得t=0(舍去)或t=6.故小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6 s.2.C由第16天检测过程平均耗时为16 h,第64天和第67天检测过程平均耗时均为8 h知,16N0,所以t016=16,得t0=64.又由64N0=8,知N0=64,所以当n=49时,t(49)=6449=6479.故选C.3.D将x=25,y=2 015代入y=mx20-x+40,得2 015=m2520-25+40,解得m=10 000,故A说法正确.因为y=10000x20-x+40是减函数,故B说法正确.由题意,得利润为 f(x)=(x-20)(10000x20-x+40)=-x2+60x+9 200=-(x-30)2+10 100,所以当x=30时,最大利润为10 100元,故C说法正确,D说法错误.故选D.4. 解：(1)当0t10时,f(t)=-t2+24t+100单调递增,当20t40时,f(t)=-7t+380单调递减,且f(10)=f(20)=240,所以讲课开始10 min,学生的注意力最集中,能持续10 min.(2)因为f(5)=195,f(25)=205,195205,所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中.(3)当0t10时,令f(t)=-t2+24t+100=180,得t=4,当2024,所以经过适当的安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目.5.B设当每件商品的售价为x元时,每天获得的销售利润为y元.由题意得,y=m(x-30)=(162-3x)(x-30)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,每天获得的销售利润最大.6.D设一段长为x cm,则另一段长为(12-x)cm,分析知0x12,则两个正三角形的面积之和S=34(x3)2+34(4-x3)2=318(x-6)2+23,当x=6时,Smin=23.7.A设该顾客购物总金额为x元,享受的折扣优惠金额为y元,则y=0,0x500,0.1(x500),500900,因为6040,所以x900,所以令0.2(x-900)+40=60,解得x=1 000,故该顾客购物实际所付金额为1 000-60=940(元).8. 解：(1)由题意可设y1=kx1,则0.25=k,故y1=0.25x1.由题意可设y2=x2,由题图知y2=x2的图象过点(4,2),所以2=4,解得=12,故y2=x212.(2)由题意知,f(x)=0.25(40-x)+x12-2=x12-0.25x+8=-0.25(x12-2)2+9,由二次函数性质可知,当x12=2,即x=4时,f(x)有最大值9.故所求最大利润为9千万元,此时生产B芯片的投入资金为4千万元.9. 解：(1)由题意,得SAEH=SCFG=12x2,SBEF=SDGH=12(a-x)(2-x),所以y=S矩形ABCD-2SAEH-2SBEF=-2x2+(a+2)x.由x0,ax0,2x0,a2,得0x2.故y=-2x2+(a+2)x,定义域为(0,2.(2)y=-2x2+(a+2)x=-2(x-a+24)2+(a+2)28.当a+242,即2a6时,当x=a+24时,ymax=(a+2)28;当a+242,即a6时,y=-2x2+(a+2)x在(0,2上单调递增,则当x=2时,ymax=2a-4.综上所述,当2a6,AE=a+24时,绿地面积最大,最大值为(a+2)28;当a6,AE=2时,绿地面积最大,最大值为2a-4.二、能力提升10.D11.BCD12. 解析(1)若分两次支付,则支付额为250-525060+650-565060-40=790(元).若一次支付,则支付额为900-590060-402=745(元).因为74527.5,所以当1x14时,购买偶数件时,平均价格最低,为27.5元/件.当15x19时,能享受每满400元立减40元的优惠,此时y=30x530x6040x=30-5xx2-40x,当x=2n(nN*)时,y=30-52nn-402n=27.5-20n,则当n=8,即x=16时,ymin=25;当x=2n+1(nN*)时,y=30-52n+1n-402n+1=30-52752(2n+1),则当n=7,x=15时,ymin=25.因为2527.5,所以当购买15或16件时,平均价格最低,为25元/件.