2.3反函数的导数复合函数的求导法则

2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数设是直接函数，是它的反函数，假定在内单调、可导，并且，则反函数在间内也是单调、可导的，并且 (1)证明： ，给以增量由 在 上的单调性可知于是因直接函数在上单调、可导，故它是持续的，且反函数在上也是持续的，当时，必有即：【例1】试证明下列基本导数公式 证1、设为直接函数，是它的反函数函数 在 上单调、可导，且 因此，在 上， 有 注意到，当时，因此，证2设，则， 在 上单调、可导且 故证3类似地，我们可以证明下列导数公式：二、复合函数的求导法则如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且导数为证明：因，由极限与无穷小的关系，有用清除上式两边得：由在的可导性有： ， 即上述复合函数的求导法则可作更一般的论述：若在开区间可导，在开区间可导，且时，相应的 ，则复合函数在内可导，且 (2)复合函数求导法则是一种非常重要的法则，特给出如下注记：弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。【例2】，求 引入中间变量， 设 ，于是变量关系是 ，由锁链规则有：(2)、用锁链规则求导的核心引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完毕后，应将引入的中间变量代换成原自变量。【例3】求的导数。解：设 ，则，由锁链规则有：【例4】 设 ，求。由锁链规则有(基本初等函数求导)( 消中间变量) 由上例，不难发现复合函数求导窍门中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，纯熟之后，可不必引入，仅需“心中有链”。然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。请看下面的演示过程：【例5】证明幂函数的导数公式 ，(为实数)。证明：设