高中数学 第三章 指数函数和对数函数 2 指数扩充及其运算性质 北师大版必修1

2指数扩充及其运算性质第三章指数函数和对数函数学习目标1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理数指数幂，理解实数指数幂的运算性质.3.能用实数指数幂运算性质化简、求值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一分数指数幂由a222(a0)易得a2 ，由此你有什么猜想？答案答案答案当a0，b0时，若ambn，则a (m，n为非零整数).222nmb梳理梳理分数指数幂(1)定义：给定 a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的 b，使得 ，我们把b叫作a的 ，记作b .正实数正实数bnammna次幂(2)意义 正分数指数幂负分数指数幂0的分数指数幂前提条件a0，m，n均为正整数，m，n互素结论_ _ ，无意义mnamna1mna0mn0mn0思考知识点二无理数指数幂无理数是无限不循环小数，课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的？答案答案答案随着精确度越高，无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值都无限趋近于同一个数，这个数即为实数.梳理梳理无理数指数幂无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的正实数.至此，指数幂a的指数取值范围扩充为R.思考1知识点三实数指数幂的运算性质在实数指数幂ax中，为什么要规定a0?答案答案答案把指数扩大为全体实数后，若a0.12梳理梳理一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数.思考2初中，我们知道a0，m0，m，n为任意实数时，上式还成立吗？答案梳理梳理一般地，当a0，b0时，有：(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)(ab)nanbn，其中m，nR.思考知识点四实数指数幂的化简答案梳理梳理实数指数幂的化简中，先把根式、分式都化为实数指数幂的形式，再利用指数幂运算性质化简.题型探究命题角度命题角度1分数指数幂化根式分数指数幂化根式例例1用根式的形式表示下列各式(x0，y0).(1)；解答类型一根式与分数指数幂之间的相互转化(2).25x53x实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1用根式表示 (x0，y0).解答2132xy221332121xyyx命题角度命题角度2根式化分数指数幂根式化分数指数幂例例2把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a0，b0.解答23231.aa65.a解答1432134424.b aab反思与感悟mnamna跟踪训练跟踪训练2把下列根式化成分数指数幂.解答1177636622128 222(2)2.解解解解1331322224().a aa aaaa解答21133.bb解解3591324922533335352555111111.()()()xxxxxxxx xx例例3计算下列各式(式中字母都是正数).类型二运用指数幂运算公式化简求值解答(2)解答211511336622(2)(6)(3)a ba ba b；(3)解答111222.mmmm111222mmmm1111222221122().mmmmmm一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.反思与感悟解答解解原式1111131(1)()36623334424481)2(2)(3)223112.(22+解答(2)化简：21321111362515()()46xyxyx y；21321111362515()()46xyx yx y21111()(1)()33226xy 110662424.x yy解答例例4已知a0，b0，且abba，b9a，求a的值.类型三运用指数幂运算公式解方程解答解解方法一a0，b0，又abba，199ababaa，方法二abba，b9a，a9a(9a)a，即(a9)a(9a)a，a99a，a89，a指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数进行变形，以达到我们代入、消元等目的.反思与感悟解答解解由67x33，得673 ，由603y81得6033 ，3x4y433yx当堂训练1.化简 的值为A.2 B.4C.6 D.8答案234512382.25 等于A.25 B.C.5 D.答案23451123.用分数指数幂表示 (ab)为A.(ab)B.(ba)C.(ab)D.(ab)答案2345112123223 4.()4等于A.a16 B.a8C.a4 D.a2答案234515.计算 的结果是A.32 B.16C.64 D.128答案234512 12 2 242规律与方法1.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质.2.指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.本课结束