定义法-韦达定理法在解抛物线与直线相交问题中的应用

个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师： 授学时间： 年 7 月 27 日(星期 六 ) 08 : 00 10 : 00 姓名 年级高三性别男 教学课题 抛物线教学目的1. 抛物线基本知识点2. 抛物线的原则方程、类型及其几何性质3. 抛物线的焦半径、焦点弦公式重点难点重点：掌握抛物线的定义和原则方程，会运用定义和会求抛物线的原则 方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点：与焦点有关的计算与论证课前检查作业完毕状况：优 良 中 差 建议_第 1次课第 一 讲 圆锥曲线抛物线1抛物线的定义：平面内与一种定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距：通径：过焦点垂直于轴的弦长为。顶点平分焦点到准线的垂线段：。焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。3抛物线原则方程的四种形式：4抛物线的图像和性质：焦点坐标是：，准线方程是：。焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，焦点弦长公式：过焦点弦长抛物线上的动点可设为P或或P5一般状况归纳：.抛物线的原则方程、类型及其几何性质 ()：原则方程图形焦点准线范畴对称轴轴轴顶点 （0，0）离心率.抛物线的焦半径、焦点弦，的焦半径;的焦半径； ，过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. ，AB为抛物线的焦点弦，则 ，= 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.6. 解抛物线（圆锥曲线）问题的常用措施： 、定义法抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，诸多抛物线问题用定义解决更直接简要 韦达定理法： 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最后转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及鉴别式是解决圆锥曲线问题的重点措施之一，特别是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视鉴别式的作用。 设而不求法：解析几何的运算中，常设某些量而并不解解出这些量，运用这些量过渡使问题得以解决，这种措施称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常用的“设而不求”法。数形结合法：解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证阐明结合起来考虑问题，在解题时要充足运用代数运算的严密性与几何论证的直观性，特别是将某些代数式子运用其构造特性，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来阐明代数性质。1.定义法在解题中的应用例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QRl交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，）连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）（2）（）过Q作QRl交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，Q()点评：这是运用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一种典型例题，请仔细体会。例2、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。分析：（1）可直接运用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0有关x0的函数体现式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)则由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9， 当4x02+1=3 即 时，此时法二：如图， 即， 当AB通过焦点F时获得最小值。M到x轴的最短距离为点评：解法一是列出方程组，运用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0有关x0的函数，这是一种“设而不求”的措施。而解法二充足运用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再运用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和不小于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出成果的，但此解法中有缺陷，即没有验证AB与否能通过焦点F，并且点M的坐标也不能直接得出。2.韦达定理在解析几何中的应用一，求弦长 在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再运用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。能否另擗捷径呢？能！仔细观测弦长公式：AB=x1-x2=或AB=y1-y2 = ， 立即发现里面藏着韦达定理（其中x1、x2分别表达弦的两个端点的横坐标，y1、y2分别表达弦的两个端点的纵坐标）。请看下面的例子：例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y2=2px的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。解：易知直线的方程为y=2(x-). 联立方程组y2=2px和y=2(x-) 消去x得y2-py-p2=0.=5p20,直线与抛物线有两个不同的交点。由韦达定理得y1+y2=p,y1y2=-p2.故弦长d=例2,直线y=kx-2交椭圆x2+4y2=80交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标为2，则PQ等于_.分析：联立方程组y=kx-2和x2+4y2=80消去y得(4k2+1)x2-16kx-64=0设P(x1,y1),Q(x2,y2). 由韦达定理得x1+x2= = 4得k=.x1x2= -32PQ=6 .练习1：过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 二，鉴定曲线交点的个数例3,曲线 y = ax2(a0)与曲线 y2+3= x2+4y交点的个数应是_个.分析：联立方程组y=ax2(a0)与y2+3=x2+4y.消去x得y2-(1/a+4)y+3=0(a0)由于因此,方程有两个不等正实根。由y=ax2 得出，有四个不等的x解，故二曲线的交点有4个。三，求弦中点坐标例4，已知直线 x-y=2与抛物线 y2= 4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_.分析：联立方程组 x-y = 2和y2= 4x.消去x 得 y2-4y-8=0由韦达定理得y1 + y2 = 4,线段AB中点的纵坐标y= , 横坐标x= y+2= 4. 故线段AB中点坐标为（4，2）.练习2：求直线y=和圆x2+y2=16相交所成的弦的中点坐标。四，求曲线的方程例5，顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线,被直线 y=2x+1截得的弦长为.求此抛物线方程。解：设抛物线方程为 y2=2px, 联立方程组y2=2px 和 y=2x+1消去y 得4x2+2(2-p)x+1=0.又由韦达定理得x1+x2= x1x2=.于是有解得 p= -2 或 p=6. 故抛物线方程为 y2= -4x 或 y2=12x.例6,抛物线 y= -.与过点M(0,-1)的直线L相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线L的方程.解：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线L的方程为y=kx-1.联立方程组y=kx-1和y=-消去y 得 x2+2kx-2=0.由韦达定理得x1+x2=-2k, x1x2= -2. 又 则直线 L 的方程为 y = x-1.三 抛物线中的重要结论例7. DOyAFBCx过抛物线的焦点弦的端点分别作抛物线的准线的垂线，交于，构成直角梯形（图1）.这个图形是抛物线问题中极为重要的一种模型，环绕它可以生出许多重要的问题，抓住并用好这个模型，可以协助我们学好抛物线的基本知识与基本措施，同步，它又体现理解析几何的重要思想措施。在图1中，有哪些重要的几何量可以算出来？又可以获得哪图1些重要结论呢?设直线的倾角为，当时，称弦为通径。（1）求通径长.（2）求焦点弦长.（3）连.解：（1） 求通径长. 由于， 当时，代入中，得 .（2） 求焦点弦长.设，当由得， . . . ，准线方程， .由知， .当，由（一）知.阐明： 因此，由 得特别，当是通径长。 （3） 连.证明：设，则 ,DOEyAFBCx 图2 故.练习3：直线L在双曲线2x2-3y2=6上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线L的方程.练习4:过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，若AB的长为8，则p= .练习5:已知直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，求弦MN的长及的面积。_练习1提示：易知抛物线的焦点为（1，0），设过焦点的直线为y=k(x-1)(由x1+x2=6知此直线不平行于y轴，斜率k存在)联立方程组y=k(x-1)和y2=4x，消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0 由韦达定理得x1+x2 =2(k2+2) /k2=6,解得k2=1又x1x2=1.从而可求|AB|=8.练习2提示：联立方程组y=和x2+y2=16,消去y得方程5x2-10x-39=0,由韦达定理得x1+x2=2练习3提示：设直线L的方程为y=2x+m. 联立方程组y=2x+m和2x2-3y2=6消去y得10x2+12mx+3(m2+2)=0.令直线L与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 由韦达定理得x1+x2 = -,x1x2 =42=( x1+x2)2- 4x1x2(1+22 )=(-)2-45,解得 m = 直线L的方程为y=2x练习4提示：分析：由例7（2）知，由已知4p=8,故p=2.练习5提示：略解： 在直线上，MN为焦点弦，且倾角为，故. 一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（ ）A（1, 0）B（2, 0）C（3, 0）D（1, 0）2圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一种圆的方程是（ ）Ax2+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx2+ y 2-x-2 y +1=0Dx2+ y 2-x-2 y +=03抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ ）A（1，1）B（）CD（2，4）4一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ）AmB 2mC4.5mD9m5平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x6抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）A y 2=-2xB y 2=-4x C y 2=2xD y 2=-4x或y 2=-36x7过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ ）A8B10C6 D48把与抛物线y 2=4x有关原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（ ）A BC D 9过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一种公共点的直线l有（ ）A0条 B1条 C2条 D3条10过抛物线y =ax2(a0)的焦点F作始终线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）A2aB C4a D 二、填空题（本大题共4小题，每题6分，共24分）11抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为 12抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 13P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定通过一种定点Q，点Q的坐标是 14抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 三、解答题（本大题共6小题，共76分）15已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程(12分)16已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值（12分）17动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程(12分)参照答案一选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）题号12345678910答案ADABCBACCC二填空题（本大题共4小题，每题6分，共24分）112 12 13（1，0） 14 三、解答题（本大题共6题，共76分）15（12分）解析：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为16 (12分)解析：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得 ，解之得或， 故所求的抛物线方程为，17（12分）解析：设M的坐标为（x，y），A（，），又B得 tesoon天星om权 消去，得轨迹方程为，即tesoontesoon天星tesoonT 天星版权天星om权课堂检测 听课及知识掌握状况反馈_. 测试题(合计不超过20分钟)_道；成绩_. 教学需要：加快；保持；放慢；增长内容课后巩固 作业_题； 巩固复习_ ； 预习布置_.签字教学组长签字： 学习管理师:教师课后赏识评价 教师最欣赏的地方： 教师想懂得的事情： 教师的建议：