高等代数 考研习题

会计学1高等代数高等代数 考研习题考研习题7:02二二.线性空间中的向量的表示线性空间中的向量的表示(维数维数基与坐标基与坐标)1)1)线性空间的向量组的线性相关性线性空间的向量组的线性相关性:向量组线性相关向量组线性相关(线性无关线性无关),),(II II)线性表出线性表出,2)2)维数维数基与坐标基与坐标:5)5)1 1a a=a a;向量组向量组(I I)可由向量组可由向量组向量组向量组(I I)与向量组与向量组(II II)等价等价;6)6)k(l a a)=(k l)a a;7)7)(k+l)a a=ka a+la a;8)8)k(a a+b b)=ka a+kb b;第1页/共36页7:023)3)形式矩阵形式矩阵(形式行向量形式行向量)的概念及运算规律的概念及运算规律:4)4)基变换与坐标变换基变换与坐标变换:第一组基到第二组基的过渡矩阵第一组基到第二组基的过渡矩阵(基变换关系基变换关系),),的坐标变换公式的坐标变换公式.在线性空间在线性空间V 中有中有n 个线性无关的向量个线性无关的向量12,na aaa aa且且V 中任一向量都可由它们线性表出中任一向量都可由它们线性表出,则则V 是是n 维的维的,12,na aaa aa就是就是V 的一组基的一组基;向向量量第2页/共36页7:023)3)维数公式维数公式:对于有限维的子空间对于有限维的子空间V1,V2,121212dim()dim()dim()dim().VVVVVV+三三.线性空间的表示线性空间的表示(子空间子空间)1)1)生成子空间生成子空间:121(,),rriiiiLkkPa aa aa aa a 1212dim(,),.rrLRa aa aa aa aa aa a 2)2)子空间的和与交子空间的和与交:12121122,.VVVVa aa a a aa a+1212,VVVVb b b bb b 且且第3页/共36页7:024)4)子空间的直和子空间的直和:12sWVVV 0ijjiVV 四四.线性空间的同构线性空间的同构12,sV VV为子空间为子空间,则则设设V为有限维线性空间为有限维线性空间,为双射为双射,:,VV 称称 为为 到到 的同构映射的同构映射.如果如果VV 映射映射()()(),a ab b a a b b+()().kk a a a a 110iijjVV 1dim()dim()siiWV 零向量的和的表示法唯一零向量的和的表示法唯一第4页/共36页7:026.26.22 2 12,na aaa a 具有性质具有性质:或或120,naaa 或或0(1,2,).iain证明证明:dim1.W 证证 (反证法反证法)假假设设dim2,W 则存在则存在 使得使得,Wa ba b ,2,Ra ba b 则矩则矩阵阵1212nnaaabbb必存在一个二阶非零子式必存在一个二阶非零子式,设设 为为 的一个非零子空间的一个非零子空间,nWR1212(,),(,),nna aab bba ab b 记记,Wa a 任给任给第5页/共36页7:02不妨设二阶子式不妨设二阶子式12120,aabb 1112120,a ab b 即即 111111111212110,nnaba ab ba ab ba ab b 1111,abWa ab b 此与此与W为子空间矛盾为子空间矛盾,得证得证.(由于由于 为非零向量为非零向量,则则 ),a ba b0,0,1,2,iiabin问问题题求子空间求子空间 的基与维数的基与维数.W 假设假设 2,Wa a aRR是是 的子空间的子空间,试试第6页/共36页7:026.26.25 5设设V为为有限维有限维线性空间线性空间,有有 个子空间个子空间,isV证明证明:11121dimdimdim.sssiiiikiiikVVVV 证证 由维数公式由维数公式,则有则有 211212dimdimdimdim,VVVVVV+312dim VVV +312123dim()dim()dim(),VVVVVV+第7页/共36页7:02211dimsskkVV 21111dimdimdim,ssskkkkVVV +11dimsskkVV 111dimdimdim,ssskkkkVVV +将上述各式左右两边分别相加将上述各式左右两边分别相加,即得即得 12111dimdimdim.sissikiiikiiVVVV 第8页/共36页7:02问题问题12,sV VV设设 为线性空间为线性空间V 的有限维子空间的有限维子空间,证明证明:下述结论等价下述结论等价:1111)0(1,2,).iiisVVVVVis+12122)dimdimdimdim.ssVVVVVV+证证1)2)对对s 作归纳作归纳.121212dimdimdimdimVVVVVV+12dimdim.VV+假设假设 时成立时成立1(3).ss 下证下证 s 时也成立时也成立,事实上事实上s=2时时,由维数公式得到由维数公式得到第9页/共36页7:02 12dimsVVV+121dimdimssVVVV +121dimssVVVV +121dimdim,ssVVVV +而当而当 时时,有有1,2,1is 1111iiisVVVVV+1110;iiisVVVVV+那么由归纳假设那么由归纳假设,必有必有 第10页/共36页7:02 1212dimdimdimdim.ssVVVVVV+对于对于 ,有有1,2,1is 2)1)111dimiiisVVVVV+1dimsiiV 111dimdimiiisVVVVV+1()1()dimdim0,ssjjjjijjiVV 1110.iiisVVVVV+第11页/共36页7:026.266.26证明证明:存在不只一个存在不只一个V 的子空间的子空间W,使使1.VVW 112,sVa a a aa a取取 的一组基的一组基 ,由基扩充定理由基扩充定理,此向量组扩充成此向量组扩充成V 的一组基的一组基1212,.sssna a a aa a a aa aa a+令令11(,),snWLa aa a+那那么么112(,),sVLa a a aa a 且且11.VVW 设设V 为为 n 维线性空间维线性空间,为其非平凡子空间为其非平凡子空间.1V证证1 1 设设 则则 (非平凡子空间非平凡子空间),),1dim,0Vssn 则可则可将将第12页/共36页7:02关关,使得使得1111,.VWb bb b 那么那么 线性无线性无121,sa a a aa ab b由于由于 均为均为V 的非平凡子空间的非平凡子空间,11,V W1,Vb b 则存则存在在将此向量组扩充成将此向量组扩充成V 的一组基的一组基1212,sn sa a a aa ab b b bb b 令令 212,n sWLb b b bb b 则有则有12.VVW 但是但是1112,WWb bb b 所所以以12.WW 证证2 2 记记1dim,Vs 12,sa a a aa a取取 的一组基的一组基1V扩充成扩充成V 的一组基的一组基1212,.sssna a a aa a a aa aa a+第13页/共36页7:0212111,()ssna a a aa a a aa aa aa a+I II I121,()ssna a a aa a a aa a+I I因此向量组因此向量组 线性无关线性无关,()I II I12111(,)(,),ssnVLLa a a aa aa aa aa aa a+111(,).ssnLa aa aa aa a+其中其中容易验证下述两个向量组容易验证下述两个向量组 等价等价,(),()I II II I121(,)(,).ssnVLLa a a aa aa aa a+第14页/共36页7:02证证 先证先证明明1212.WWWW+显然显然112212,WW W WW W+因因此此1212;WWWW+任任给给12,WWb b+可设可设 其中其中121122,WWb bb bb bb bb b+则则112212,.WWWWb bb b 而而12WW 是是V 的的子空间子空间,因此因此1212,WWb bb bb b+那那么么1212.WWWW+下用反证法证明本题结论下用反证法证明本题结论.设设V 为线性空间为线性空间,为为V 的的子空间子空间,并且并且12,W W6.276.27仍为仍为V 的的子空间子空间.12WW 证明证明:或或1221.WWWW 第15页/共36页7:02那么存在那么存在 使得使得12,Va a a a 从而从而1212;WWa aa a+但但是是121122,WWa aa aa aa a+则则1212,WWa aa a+6.26.29 9的向量组的向量组,的任一组向量合在一起均构成的任一组向量合在一起均构成V 的一组基的一组基.1221,WW WW 假设假设11122221,;,WWWWa aa aa aa a 此与此与 矛盾矛盾.1212WWWW+设设V 为为n 维维线性空间线性空间,取取V 中中m 组线性无关组线性无关()t tn 其中每个组均含有其中每个组均含有 个向量个向量.证明证明:在在V 中必存在中必存在 个向量使个向量使得它们与上面得它们与上面n t 第16页/共36页7:02因此这些组均构成因此这些组均构成V 的一组基的一组基.12,1,2,iiiitVLima aa aa a 那么组那么组 12,1,2,iiitima aa aa aa a 均线性无关均线性无关,证证 假设所给的假设所给的m 组均线性无关的向量组分别为组均线性无关的向量组分别为111212122212,;,;,.ttmmmta aa aa aa aa aa aa aa aa a假设假设 时结论成立时结论成立.n tk 下证下证 的情形的情形.1n tk +n t 现对差现对差 作归纳作归纳.1n t 当当 时时,令令由补充题由补充题5 5,则存在则存在 使得使得Va a,1,2,iV ima a 第17页/共36页7:026.306.30 1212dim1dim.VVVV+一子空间一子空间,12VV必等于另一子空间必等于另一子空间.均线性无关均线性无关,使使得得 12121,1,2,iiitttt kima a a aa a a aa aa a+均构均构对于对于m 组线性无关向量组组线性无关向量组12,(1,2,),iiitima aa aa a 同理同理存在存在 使得使得1tVa a+121,(1,2,)iiittima aa aa aa a+21,tt ka aa a+由归纳则存在一组向量由归纳则存在一组向量成成V 的一组基的一组基.12,V V设设V 为为n 维维线性空间线性空间,均为均为V 的的子空间子空间,证明证明:必等于其中必等于其中12VV+第18页/共36页7:021)1)当当 时时,112dimdimVVV 由维数公式由维数公式,则则 212dimdim,VVV+下面分两种情况讨论下面分两种情况讨论:证证1 1112212,.VVV VVV +2)2)当当 时时,112dimdimVVV 由题设及维数公式由题设及维数公式,1212dim1dimVVVV+212dimdim,VVV 1212dimdimdimVVVV+第19页/共36页7:02(因为维数是非负整数因为维数是非负整数),那那么么 212dimdimVVV 121dimdim,VVV 若若212112,.VVV VVV +112dimdim,VVV+仍由维数公式则仍由维数公式则证证2 2 1212dim1dim,VVVV+等于号中有一个且只有一个取等号等于号中有一个且只有一个取等号.则上述两个小于或则上述两个小于或 12112dimdimdim,VVVVV +因因为为并并且且则则112212,.VVV VVV +112dimdim,VVV+若若则则112212,.VVV VVV+第20页/共36页7:026.36.31 1子空间必有无子空间必有无限多个限多个.证证 设设 12,na a a aa a为为V 的一组基的一组基,设设1122110,rrkuuuua aa aa ab b +则则 1122110,rrrnuuuuuka aa aa aa aa a +12,rna a a aa a a a由由 线性无关线性无关,设设V 为为n 维维线性空间线性空间.krnkkNb ba aa a+1210.ruuuu 则则先证明向量组先证明向量组 线性无关线性无关.121,rka a a aa ab b 所以向量组所以向量组 线性无关线性无关.121,rka a a aa ab b(0)rrn 证明证明:V 的的 维维第21页/共36页7:02然后取然后取 11,krkVLkNa aa ab b .kh 最后设最后设 且且 1111,krkhrhVLVLa aa ab ba aa ab b 则每个则每个 均为均为kVV 的的r 维子空间维子空间.假设假设 那么那么,hkVb b,khVV 则存在则存在11,rttt 使得使得1111,hrrktttb ba aa ab b +1111,rnrrrnhtttka aa aa aa aa aa a +111110,rrrnttttkha aa aa aa a +那么那么 矛盾矛盾,110,1,rtttkh .khVV 所以所以第22页/共36页7:026.36.32 2将其扩充成将其扩充成V 的一组基的一组基设设V 为为n 维维线性空间线性空间.证明证明:V 的任意一个非的任意一个非平凡子空间都是若干个平凡子空间都是若干个 维子空间的交维子空间的交.1n 121,rrna a a aa a a aa a+证证 设设W 为为V 的非平凡子空间的非平凡子空间,记记 dim0.Wrrn 取取W 的一组基的一组基12,ra a a aa a1,2,.inr 令令 1111,irrr ir inWLa aa a a aa aa aa a+其中其中则则dim1.iWn下面我们证明下面我们证明:1.n riiWW 第23页/共36页7:02 12,1,2,riW in ra a a aa a 由于向量组由于向量组那那么么121,n rriiWa a a aa a 所所以以1.n riiWW 1,n riiWa a 任取任取则则1122rrlllaaaaaaaa+1.niiika aa a 记记由由 1,tWtn ra a 111111,rrr tr tr tr tnnlllla aa aa aa a+111222rrrklklkla aa aa a+111111rrrr tr tr tr tr tklklka aa aa a+1110,r tr tr tnnnklkla aa a+第24页/共36页7:02 01,2,r tktn r+那么那么1,riiikWa aa a 因此因此1.n riiWW 6.336.33 设设V 为为n 维维线性空间线性空间,是是V 的一组的一组12,na a a aa a基基.记记11,niiVLa a 2110,.nniiiiiiVkkkPa a 则则1)1)是是V 的子空间的子空间;2V2)2)12.VVV+证证 1)1)易验证易验证 非空非空,且关于加法和数乘运算封闭且关于加法和数乘运算封闭.2V2)2)先证明先证明 是直和是直和.12VV+第25页/共36页7:02可设可设111,0.nnniiiiiiikkka aa aa a 12,nkkkk 1122()()()0,nnkkkkkka aa aa a+12,VVa a 任取任取所以所以 是直和是直和.12VV+则则 得得 0,0.ka a 下面证明下面证明12.VVV+由于由于 线性无关线性无关,12,na a a aa a则则 120,na aa aa a+所以所以1dim1.V 第26页/共36页7:02解得基础解系解得基础解系:所以所以考虑考虑 为未知量的齐次线性方程组为未知量的齐次线性方程组ik10,niik 则可则可 1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1.令令12123111,nn a aa a a aa a a aa a 那么向量那么向量121,n 组组 为为 的一组基的一组基,2V因此因此2dim1.Vn 由由于于 1212dimdimdimdim,VVVVnV+12.VVV+第27页/共36页7:02设设 A 为数域为数域 P 上的上的 n 阶方阵阶方阵,6.346.34,.12,0nnVAX XPVX XPAX 1)1)证明证明 是是 的子空间的子空间.12,nV VP2)2)如果如果 证明证明:2,AA 12.nPVV 证证 1)1)由由于于00,A 任取任取 则有则有1,AAV kPa ab b 10,V 则则说明说明 为非空集为非空集.1V11(),()(),AAAVk AA kVa ab ba ab ba aa a+所以所以 是是 的子空间的子空间.1nVP令令第28页/共36页7:02由于由于00,A 任取任取 则有则有2,V kPa a b b 20,V 则则说明说明 为非空集为非空集.2V()0,()0,AAAA kkAa ab ba ab ba aa a+所以所以 是是 的子空间的子空间.2nVP因此因此22,V kVa ab ba a+2)2)首先首先证明证明 12.nPVV+(),AAa aa aa aa a+2()0,AAAAa aa aa aa a 说明说明2,AVa aa a ,nPa a 任取任取那么那么又又1,AVa a 因此因此12.VVa a+所以所以12.nPVV+12nVVP+由于由于 是是 的子空间的子空间,第29页/共36页7:0212VV+下面证明下面证明 是直和是直和.任取任取 12,VVa a 12,VVa aa a 2()0,AAA AAa ab bb bb ba a 所以所以 120,VV 使得使得 nPb b,0.AAa ab ba a 那么存在那么存在则则12VV+即即 是直和是直和.6.356.35记记证证 首先证明首先证明12.WWW+,(),(),(),()1.n nMPf x g xP xf x g x 设设 1(),(),0,0,Af M Bg M WX ABXWX AX 20.WX BX 证明证明:12.WWW 第30页/共36页7:02由于由于 ,则则()()()()f M g Mg M f M.ABBA 000,ABAABWa aa aa aa a 1,Wa a 设设因此因此1,WW 所所以以12.WWW+同同理理2.WW 由于由于 则存在则存在 使得使得 (),()1,f xg x(),()u xv x()()()()1()()()().u x f xv x g xu M f Mv M g ME+任给任给,Wa a 必有必有()()()(),Ev M g Mu M f Ma aa aa aa a +记记12()(),()(),v M g Mu M f Ma aa a a aa a 则则12.a aa aa a+第31页/共36页7:020()()0.WABf M g Ma aa aa a 12()()()()0,()0.f Mv M f M g Mg Ma aa aa a 121122120,0,.ABWWWWWa aa aa aa a +下面证明下面证明是直和是直和.12WW+任给任给12,WWa a 那那么么12,WWa aa a 因此因此0,0,ABa aa a ()0,()0,f Mg Ma aa a ()()()()0.Eu M f Mv M g Ma aa aa aa a +因因此此 120.WW 所所以以12.WWW 第32页/共36页7:02记线性空间记线性空间0,.nWBABPa aa aa a 证明证明:dim()().WR BR AB 6.366.36,A B,mk kn 设设 分别为数域分别为数域 P 上的上的 矩阵矩阵,证证 对于矩阵对于矩阵 A 和和 B,10,nVXPBX 记记12dim(),dim(),(),(),VpVpq R Br R ABs +那么那么12.VV 20,nVXPABX 则则,.pnr pqns +分别定义解空间分别定义解空间第33页/共36页7:02设设 11220,ppppp qp qlBlBlBa aa aa a+那那么么 1122()0,ppppp qp qB llla aa aa a+11221,ppppp qp qlllVa aa aa a+11221122,ppppp qp qpplllllla aa aa aa aa aa a+下面证明下面证明 12,ppp qBBBa aa aa a+线性无关线性无关.121,.ppp qa a a aa aa aa a+的一组基的一组基选选取取12,pa a a aa a将其扩充将其扩充成成2V的一组的一组基基1V第34页/共36页7:0211(,)ppp qL BBBBa aa aa aa a+12(,).ppp qL BBBa aa aa a+所所以以 dim()().WqrsR BR AB 最后证明本题结论最后证明本题结论:20WBABBVa aa aa a a a 1111220,ppppppp qp qllllla aa aa aa aa a+1120.pppp qlllll+第35页/共36页