立体几何中的向量方法二空间距离问题数学选修

会计学1立体几何中的向量方法二空间距离问题立体几何中的向量方法二空间距离问题数学选修数学选修空间“距离”问题1.空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式 或 (其中 )，可将两点距离问题转化为求向量模长问题2aa222zyxa),(zyxa第1页/共10页 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设 BADADAAAB，11 6011DAABAA化为向量问题依据向量的加法法则，11AAADABAC 进行向量运算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以6|1 AC回到图形问题这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。1AC6第2页/共10页 n A P O 2、向量法求点到平面的距离：第3页/共10页例例 2:2:如图，已知正方形如图，已知正方形 ABCD 的边长为的边长为 4，E、F 分分别是别是 AB、AD 的中点，的中点，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求点求点 B 到平面到平面 EFG 的距离的距离.DABCGFExyz第4页/共10页DABCGFExyz(2,2,0),(2,4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E 例例 2 2:如图，已知正方形如图，已知正方形 ABCD 的边长为的边长为 4，E、F 分分别是别是 AB、AD 的中点，的中点，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求点求点 B 到平面到平面 EFG 的距离的距离.第5页/共10页2.(课本第107页练习2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长.BACD 第6页/共10页 3如图 3-5，已知两条异面直线所成的角为，在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 AE=m，AF=n，EF=l，求公垂线 A A的长 d.EFEAA AAF 解：22()EFEAA AAF 2222()EAA AAFEA A AEA AFA A AF 当E,F在公垂线同一侧时取负号当d等于0是即为“余弦定理”,AAEA AAAF =-（或），AFEA,22222lEAA AAFEA AF 2222cosmdnmn 2222cosdlmnmn 第7页/共10页 nabCDABCD为a,b的公垂线则|nABnCD A，B分别在直线a,b上已知a,b是异面直线，n为的法向量3.异面直线间的距离 即 间的距离可转化为向量 在n上的射影长，21,llCD第8页/共10页 1、E为平面外一点,F为内任意一 点,为平面的法向量,则点E到平面的 距离为:n|nEFnd 2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点,是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为|nEFndn第9页/共10页