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1 上海高一数学知识点归纳第一章集合与命题1.1 集合与元素（1）集合的概念常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合.（2）集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().（6）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 1 页，共 24 页 -2 1.2集合与集合名称记号意义性质示意图子集BA（或)ABA中的任一元素都属于 B(1)AA(2)A(3)若BA且BC，则AC(4)若BA且BA，则ABA(B)或BA真子集AB（或BA）BA，且 B中至少有一元素不属于 A(1)A（A为非空子集）(2)若AB且BC，则ACBA集合相等ABA中的任一元素都属于 B，B中的任一元素都属于 A(1)AB(2)BA A(B)重要结论：已知集合A有(1)n n个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它21n个非空子集，它有22n非空真子集.1.3集合的基本运算交集、并集、补集名称记号意义性质示意图名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 2 页，共 24 页 -3 交集AB|,x xA且xB（1）AAA（2）A（3）ABAABBBA并集AB|,x xA或xB（1）AAA（2）AA（3）ABAABBBA补集ACU|,x xUxA且BCACBACUUUBCACBACUUU 1.4命题的形式及等价关系（1）命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.（2）逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.（3）否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.（4）逆否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 3 页，共 24 页 -4 条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”。1.5充分条件与必要条件充分条件、必要条件、充要条件如果PQ,那么 P是 Q的充分条件，Q是 P的必要条件。如果PQ,那么 P是 Q的充要条件。也就是说，命题P与命题 Q是等价命题。1.6命题的运算命题的非运算命题的且运算命题的或运算 1.7抽屉原则与平均数原则第二章 不等式2.1 不等式的基本性质1.如果.;,cacbba那么2.如果.,cbcaba那么3.如果.,0,:,0,bcaccbabcaccba那么如果那么4.如果,dcba.dbca那么5.如果.,0,0bdacdcba那么6.如果0ba，那么.110ba7.如果0ba，那么)(Nnbann.8.如果0ba,那么).1,(nNnbann2.2 一元二次不等式的解法这个知识点很重要，可根据与 0 的关系来求解，注意解的区间的表示，不等式名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 4 页，共 24 页 -5 组也是一样。解分式不等式的方法就是将它转化为解整式不等式。求一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.区间的概念及表示法设,a b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做,a b；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(,)a b；满足axb，或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做,)a b，(,a b；满足,xa xa xb xb的实数x的集合分别记做,),(,),(,(,)aabb注意：对于集合|x axb与区间(,)a b，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）2.3 其他不等式的解法（1）分式不等式的解法先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f xf xg xg xf xg xf xg xg x（“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.（2）含绝对值不等式的解法不等式解集名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 5 页，共 24 页 -6|(0)xa a|xaxa|(0)xa a|x xa或xa|,|(0)axbc axbc c把axb看成一个整体，化成|xa，|(0)xa a型不等式来求解两个基本不等式：1.对任意实数,ba和有,222abba当且仅当ba时等号成立。2.对任意正数,ba和有abba222，当且仅当ba时等号成立。我们把abba和222分别叫做正数ba、的算术平均数和几何平均数。（3）无理不等式的解法方法：将无理不等式转化为有理不等式求解，2()0()(0)()f xf xa af xa2()0()(0)()f xf xa af xa2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x（4）高次不等式的解法方法：穿根法名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 6 页，共 24 页 -7 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.2.4 基本不等式及其应用1.222abab abR，,（当且仅当ab时取号）.2.abba2abR，,（当且仅当ab时取到等号）.用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.2.5 不等式的证明常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()();242aa将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k211,(1)kk k2212(),21kkkkkk*12(,1)1kNkkkk第三章函数的基本性质3.1 函数的概念在某个变化过程中有两个变量yx,，如果对于x在某个实数集合 D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数.名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 7 页，共 24 页 -8 记作：xfyDxx是自变量 D是定义域与x对应的y值叫做函数值函数值的集合是值域3.2 函数关系的建立函数的三要素:定义域、值域和对应法则表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系3.3 函数的运算函数的和：xgxfxh3.4 函数的性质（1）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 8 页，共 24 页 -9 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个 x，都有 f(x)=f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个 x，都有 f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y轴对称）若函数()f x为奇函数，且在0 x处有定义，则(0)0f（2）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 9 页，共 24 页 -10 函数的单调性如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1 x2时，都有f(x 1)f(x 2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数x1x2y=f(X)xyf(x)1f(x)2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1f(x 2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数y=f(X)yxoxx2f(x)f(x)211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数（3）函数的最值名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 10 页，共 24 页 -11 一般地，设函数()yf x的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0 xI，使得0()f xM那么，我们称M是函数()f x的最大值，记作max()fxM一般地，设函数()yf x的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有()fxm；（2）（2）存在0 xI，使得0()f xm那么，我们称m是函数()fx的最小值，记作max()fxm（4）函数的零点1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点3、函数零点的求法：求函数)(xfy的零点：1（代数法）求方程0)(xf的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 11 页，共 24 页 -12 第四章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 幂函数的性质（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数（2）幂函数的图象名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 12 页，共 24 页 -13（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数4.2 指数函数的图像与性质函数名称指数函数定义函数(0 xya a且1)a叫做指数函数图象1a01axayy(0,1)1yxayy(0,1)1y名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 13 页，共 24 页 -14 定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0 x时，1y奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax1(0)1(0)1(0)xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低（趋势）4.3 对数概念及其运算（1）对数的定义若(0,1)xaN aa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 14 页，共 24 页 -15 对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN（2）几个重要的对数恒等式log 10a，log1aa，logbaab（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N，即10logN；自然对数：ln N，即logeN（其中2.71828e）（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么加法：logloglog()aaaMNMN减法：logloglogaaaMMNN数乘：loglog()naanMMnRlogaNaNloglog(0,)bnaanMM bnRb换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且4.4 反函数的概念（1）反函数的概念设函数()yf x的定义域为A，值域为C，从式子()yf x中解出x，得式子()xy如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yf x的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx（2）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式()yf x中反解出1()xfy；将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域反函数的性质:原函数()yf x与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称函数()yf x的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域若(,)P a b在原函数()yfx的图象上，则(,)P b a在反函数1()yfx的图象上名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 15 页，共 24 页 -16 一般地，函数()yf x要有反函数则它必须为单调函数4.5 对数函数的图像与性质函数名称对数函数定义函数log(0ayx a且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数xyO(1,0)1xlogayxxyO(1,0)1xlogayx名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 16 页，共 24 页 -17 函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高4.6 简单的指数方程指数方程：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程.1.注意定义域 2.熟练使用指数对数运算公式 3.熟练运用函数性质，留意换元法4.7 简单的对数方程对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.第五章 三角比5.1 任意角及其度量（1）角的分类 1、正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：不作任何旋转形成的角 2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为36036090,kkk第二象限角的集合为36090360180,kkk名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 17 页，共 24 页 -18 第三象限角的集合为360180360270,kkk第四象限角的集合为360270360360,kkk如果角的终边落在坐标轴上，则也可以称为轴线角.终边在x轴上的角的集合为180,kk终边在y轴上的角的集合为18090,kk终边在坐标轴上的角的集合为90,kk3、与角终边相同的角的集合为360,kk（2）角的弧度制1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr3、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.35.2 任意角的三角比1、三角比定义设角是一个任意角，将角置于平面直角坐标系中，角的顶点与原点 O重合，的始边与 x 轴的正半轴重合，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）,有点 P到原点的距离为：02222yxyxr_sin_cos_tan_cot42-2-4ryxxyQOP(x,y)名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 18 页，共 24 页 -19 Px y A OMT_sec_csc2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正3、单位圆：圆心在坐标原点，半径为1 的圆（解决任意角，三角比问题的利器）.4、三角函数线：sin，cos，tan说明：三角函数线是有向线段（向量），既有长度，又有方向,方向的正负与对应 的三角比值保持一致.（1）正弦线：无论是第几象限角，过的终边与单位圆的交点P作 x 轴的垂线，交 x 轴于 M，有向线段 MP的符号与点 P的纵坐标 y 的符号一致，长度等于 y所以有MP=siny我们把有向线段MP叫做角的正弦线，正弦线是角的正弦值的几何形式（2）余弦线：有向线段OM叫做的余弦线.名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 19 页，共 24 页 -20（3）正切线：过 A（1，0）点作单位圆的切线（x 轴的垂线），设的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段AT叫做角的正切线.5.2 任意角的三角比5.3 同角三角比的关系和诱导公式同角三角函数的基本关系式221 sincos12222sin1cos,cos1sin；sin2tancossinsintancos,costan.（3）倒数关系：tancot11 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk2 sinsin，coscos，tantan3 sinsin，coscos，tantan4 sinsin，coscos，tantan5 sincos2cossin2名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 20 页，共 24 页 -21 6 sincos2，cossin25.4 两角和与差的余弦，正弦与正切coscos cossinsin；coscos cossinsin；sinsincoscos sin；sinsincoscos sin；tantantan1 tantan（tantantan1 tantan）；tantantan1 tantan（tantantan1 tantan5.5 二倍角的正弦、余弦和正切公式sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin12222cos2cossin2cos112sin升幂公式2sin2cos1,2cos2cos122降幂公式2cos21cos2，21cos2sin222tantan21tan5.6 正弦定理，余弦定理和解斜三角形1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，则有2sinsinsinabcRC(R为C的外接圆的半径)半角公式sincos1cos1sincos1cos12tan2cos12sin;2cos12cos:2tan12tan1cos;2tan12tan2sin:222万能公式名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 21 页，共 24 页 -22 2、正弦定理的变形公式：2sinaR，2 sinbR，2sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac4、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，推论：222cos2bcabc第六章 三角函数6.1 及 6.2 正弦函数与余弦函数，正切，（余切）的图像与性质sinyxcosyxtanyxy=cotx 图象y=cotx3222-2oyx定义域RR,2x xkk,2x xkk值域1,11,1RR最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值既无最大值也无最小值周期性22函数性质名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 22 页，共 24 页 -23 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数在,22kkk上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴对称中心,02kk无对称轴6.3 函数sin0,0yx的性质振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：函数sinyx，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx6.4 反三角函数名称函数式定义域值域奇偶性单调性名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 23 页，共 24 页 -24 6.5 最简单的三角方程方程方程的解集axsin1aZkakxx,arcsin2|1aZkakxxk,arcsin1|axcos1aZkakxx,arccos2|1aZkakxx,arccos2|tanxa|arctan,x xka kZcot xa|cot,x xkarca kZ反正弦函数xyarcsin1,1增2,2奇函数增函数反余弦函数xyarccos1,1减,0 xxarccos)arccos(非奇非偶减函数反正切函数arctanyxR 增2,2奇函数增函数反余切函数cotyarcxR 减,0cot()cotarcxarcx非奇非偶减函数名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 24 页，共 24 页 -
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