2020届高考数学二轮复习 每日一题 规范练（第一周）理

每日一题规范练(第一周)题目1 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若m，n，且mn.(1)求角A的大小；(2)若a2，三角形面积S，求bc的值解：(1)因为m，n，且mn，所以cos2sin2，则cos A.又A(0，)，所以A.(2)SABCbcsin A，所以bc4，又由余弦定理得a2b2c22bccos Ab2c2bc，所以(bc)216，故bc4.题目2 在公差不为0的等差数列an中，a1，a4，a8成等比数列，数列an的前10项和为45.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，且数列bn的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d，由a1，a4，a8成等比数列可得，aa1a8，(a13d)2a1(a17d)，所以a6a1d9d2a7a1d.因为d0，所以a19d.由数列an的前10项和为45，得S1010a145d45，则90d45d45，故d，a193.因此数列an的通项公式an.(2)bn9.所以Tn9()91.题目3 某市在2019年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布N(120，25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组85，95)，第二组95，105)，第六组135，145，得到如图所示的频率分布直方图(1)试估计该校数学成绩的平均分数；(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.解：(1)由频率分布直方图可知125，135)的频率为1(0.010100.024100.030100.016100.00810)0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为900.11000.241100.31200.161300.121400.08112(分)(2)由于0.001 3，根据正态分布得P(12035X12035)0.997 4.故P(X135)0.001 3，即0.001 310 00013.所以前13名的成绩全部在135分以上根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有500.084人，而在125，145的学生有50(0.120.08)10(人)所以X的取值为0，1，2，3.所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为：X0123P所以E(X)01231.2.题目4 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2.E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值(1)证明：因为PC平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPC.因为AB2，ADCD1，所以ACBC.所以AC2BC2AB2，所以ACBC.又BCPCC，所以AC平面PBC.因为AC平面EAC，所以平面EAC平面PBC.(2)解：如图，以C为原点，取AB的中点F，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)设P(0，0，a)，(a0)，则E.所以(1，1，0)，(0，0，a)，.取m(1，1，0)，则mm0，所以m(1，1，0)为平面PAC的法向量设n(x，y，z)为平面EAC的法向量，则nn0，所以则取z2，得一个法向量n(a，a，2)依题意|cosm，n|，则a2.于是n(2，2，2)，(1，1，2)设直线PA与平面EAC所成角为，则sin |cosn|，故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.题目5 设椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若椭圆E的离心率为，ABF2的周长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线(1)解：由题意知，4a4，a.又e，所以c，b，所以椭圆E的方程为1.(2)证明：当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)则两式相减，得0.所以，所以，.则kkOM，所以kOM.同理可得kON.所以kOMkON，从而点O，M，N三点共线题目6 已知函数f(x)(ax)ex1，xR.(1)求函数f(x)的单调区间及极值；(2)设g(x)(xt)2，当a1时，存在x1(，)，x2(0，)，使方程f(x1)g(x2)成立，求实数m的最小值解：(1)由f(x)(ax)ex1，得f(x)(a1x)ex.令f(x)0，则(a1x)ex0，所以xa1.当x(，a1)时，f(x)0；当x(a1，)时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(，a1)，单调递减区间为(a1，)所以当xa1时，函数f(x)有极大值且为f(a1)ea11，f(x)没有极小值(2)当a1时，由(1)知，函数f(x)在xa10处有最大值f(0)e010.又因为g(x)(xt)20，所以方程f(x1)g(x2)有解，必然存在x2(0，)，使g(x2)0，所以xt，ln x，等价于方程ln x有解，即mxln x在(0，)上有解记h(x)xln x，x(0，)，所以h(x)ln x1，令h(x)0，得x.当x时，h(x)0，h(x)单调递减，当x时，h(x)0，h(x)单调递增，所以当x时，h(x)min，所以实数m的最小值为.题目7 1.选修44：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为(为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线l的极坐标方程为sin 2cos ，求曲线C上的点到直线l的最大距离解：(1)由，消去，得(x3)2(y1)24，将代入得(cos 3)2(sin 1)24，化简得26cos 2sin 60.(2)由sin 2cos ，得sin 2cos 1，即2xy10.圆心C(3，1)到直线2xy10的距离d，所以C上点到直线的最大距离为dr2.2选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xm|2xn|，m，n(0，)(1)若m2，n3，求不等式f(x)5的解集；(2)若f(x)1恒成立，求2mn的最小值解：(1)若m2，n3，则f(x)|x2|2x3|.当x2时，x22x35，得x，所以x2.当2x时，x22x35，得x0，所以2x0.当x时，x22x35，得x2，所以x2.综上，不等式解集为(，0)(2，)(2)|xm|2xn|xm|xm|m.依题意，有m1，即2mn2.故2mn的最小值为2.- 8 -