2020届高考数学二轮复习 每日一题 规范练（第三周）理

每日一题规范练(第三周)题目1 在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos 2C.(1)求sin C；(2)当c2a，且b3时，求a.解：(1)因为cos 2 C，即12sin2 C.又0C，所以sin C.(2)由(1)知sin C，且ABC是锐角三角形，所以cos C.因为c2a，所以sin Asin C，cos A.所以sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.因为，b3，所以a2.题目2 已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q1，且a21为a1，a3的等差中项，S314.(1)求数列an的通项公式；(2)记bnan log2an，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由题意，得2(a21)a1a3.又S3a1a2a314，所以2(a21)14a2，所以a24.因为S344q14，所以q2或q.又q1，所以公比q2.因此ana2qn242n22n.(2)由(1)知an2n，所以bnanlog2ann2n，所以Tn121222323(n1)2n1n2n.所以2Tn122223324(n1)2nn2n1.两式相减得Tn22223242nn2n1n2n1(1n)2n12.故Tn(n1)2n12.题目3 如图，在三棱柱ABC-DEF中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点(1)求证：平面ABED平面GED；(2)若ABBDBEEF2，求二面角A-CE-B的余弦值(1)证明：取DE中点M，连接OM，在三角形BDE中，OMBE，OMBE.又因为G为CF中点，所以CGBE，CGBE.所以CGOM，CGOM.所以四边形OMGC为平行四边形所以GMCO.因为C在平面ABED内的射影为O.所以CO平面ABED.所以GM平面ABED，又因为GM平面DEG，所以平面ABED平面GED.(2)解：因为CO平面ABED，所以COAO，COOB，又因为ABBE，所以四边形ABED为菱形，所以OBAO.以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.于是A(，0，0)，B(0，1，0)，E(，0，0)，C(0，0，)，(，1，0)，(0，1，)设平面BCE的一个法向量为m(x1，y1，z1)，即不妨令z11，则y1，x11，则m(1，1)又n(0，1，0)为平面ACE的一个法向量设二面角ACEB大小为，显然为锐角，于是cos |cos m，n|，故二面角A-CE-B的余弦值为.题目4 (2019河南八市联盟“领军考试”)某商家对他所经销的一种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：日销售量11.52天数102515频率0.2ab若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立(1)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和(单位：千元)，求X的分布列和数学期望解：(1)由统计表知，a0.5，b0.3.依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p0.5.设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨，则YB(5，0.5)所以P(Y2)C0.52(10.5)30.3125.(2)X的可能取值为4，5，6，7，8.P(X4)0.220.04，P(X5)20.20.50.2，P(X6)0.5220.20.30.37，P(X7)20.30.50.3，P(X8)0.320.09，所以X的分布列为：X45678P0.040.20.370.30.09X的数学期望E(X)40.0450.260.3770.380.096.2(千元)题目5 已知椭圆1(ab0)上的点到右焦点F(c，0)的最大距离是1，且1，a，4c成等比数列(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M(m，0)求实数m的取值范围解：(1)由于1，a，4c成等比数列，所以14c2a2，即a22c.又ac1.联立得a，c1.则b2a2c21.所以椭圆的方程为y21.(2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为yk(x1)与椭圆方程联立得消去y可得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x2)2k.可得线段AB的中点为N.当k0时，直线MN为y轴，此时m0.当k0时，直线MN的方程为y，化简得kyx0.令y0，得m.所以m.综上所述，m的取值范围为.题目6 (2019衡水联考)已知函数f(x)excos x，x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)ax1恒成立，试求正实数a的取值范围解：(1)由函数f(x)excos x，x，得f(x)ex(cos xsin x)，x.令f(x)0，得x，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)令g(x)ax1excos x，则g(x)aex(cos xsin x)aexcos.令h(x)aexcos，则h(x)2exsin x0，即h(x)在区间上单调递增，所以h(x)h(0)a1.当a1时，a10，则h(x)0，即g(x)0，所以g(x)在区间上单调递增，即g(x)g(0)0，所以excos xax1在区间上恒成立当0a1时，h(0)a10，hae0，所以h(x)在区间上单调递增，故在区间上存在唯一的x0，使得h(x0)0，即g(x0)0.所以g(x)在区间0，x0上单调递减，在区间上单调递增因为x00，所以g(x0)g(0)0，所以excos xax1不恒成立综上所述，正实数a的取值范围是1，)题目7 1.选修44坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，射线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位圆C的方程为2sin ，l被圆C截得的弦长为.(1)求实数m的值；(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(m，)，且m0，求|PA|PB|的值解：(1)由2sin ，得x2y22y0，即x2(y)25.直线l的普通方程为xym0，l被圆C截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，解得m3或m3.(2)法1：当m3时，将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得，(3t)2(t)25，即2t23t20.由于(3)24420，设t1，t2是方程2t23t20的两实根所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义，得|PA|PB|2(|t1|t2|)2(t1t2)3.法2：当m3时点P(3，)，易知点P在直线l上又32()25，所以点P在圆外联立消去y得，x23x20.不妨设A(2，1)、B(1，2)，所以|PA|PB|23.2选修45不等式选讲已知f(x)2|x1|2x1|.(1)若f(x)f(1)，求实数x的取值范围；(2)f(x)(m0，n0)对任意的xR都成立，求证：mn.(1)解：由f(x)f(1)得2|x1|2x1|5.当x时，2(x1)(2x1)5，得x1；当1x时，2(x1)(2x1)5，得35，不成立；当x1时，2(x1)(2x1)5，得x.综上，所求的x的取值范围是(1，)(2)证明：因为2|x1|2x1|2x2|2x1|(2x2)(2x1)|3，所以3.因为m0，n0时，2，所以23，得，所以mn2.- 8 -