数学物理方程课件

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1Email: 数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数任课教师：杨春任课教师：杨春数学科学学院数学科学学院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2数学物理方程数学物理方程 作者作者: 李明奇、田太心李明奇、田太心 购买地点：教材科购买地点：教材科 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3参考文献参考文献1 梁昆淼，数学物理方法，人民教育出版社，梁昆淼，数学物理方法，人民教育出版社，1998 2 沈施，数学物理方法，同济大学出版社，沈施，数学物理方法，同济大学出版社，20023 姚瑞正，梁家宝，数学物理方法，武汉大姚瑞正，梁家宝，数学物理方法，武汉大学出版社，学出版社，19924 谢鸿证，杨枫林，数学物理方程，科学出谢鸿证，杨枫林，数学物理方程，科学出版社，版社，2001 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 45 南京工学院数学教研组，数学物理方程与特殊南京工学院数学教研组，数学物理方程与特殊函数，人民教育出版社，函数，人民教育出版社，19836 孙振绮，数学物理方程，机械工业出版社，孙振绮，数学物理方程，机械工业出版社，20047 胡嗣柱，倪光炯，数学物理方法，复旦大学胡嗣柱，倪光炯，数学物理方法，复旦大学出版社，出版社，19898 姜尚礼，陈亚浙，数学物理方程讲义，高等姜尚礼，陈亚浙，数学物理方程讲义，高等教育出版社，教育出版社，1996 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 59 F.W.拜伦，拜伦，R.w.富勒，物理中的数学方法，富勒，物理中的数学方法，科学出版社，科学出版社，198210 陈恕行，洪家兴，偏微分方程近代方法，陈恕行，洪家兴，偏微分方程近代方法，复旦大学出版社，复旦大学出版社，198911 王元明，管平，线性偏微分方程引论，东王元明，管平，线性偏微分方程引论，东南大学出版社，南大学出版社，2002 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6第一章第一章 绪论绪论一、课程意义一、课程意义二、物理定律与偏微分方程概念二、物理定律与偏微分方程概念三、课程学习的基本要求三、课程学习的基本要求四、常微分方程复习四、常微分方程复习五、积分公式五、积分公式六、常用算子六、常用算子 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7 在物理学、无线电技术、自动化工程、光电子工在物理学、无线电技术、自动化工程、光电子工程、生物工程等众多领域中程、生物工程等众多领域中, ,经常涉及到的问题是研经常涉及到的问题是研究物理量之间的函数关系。究物理量之间的函数关系。 要反映物理量之间的函数关系，通常归结为微分要反映物理量之间的函数关系，通常归结为微分方程的布列与求解。方程的布列与求解。一、课程意义一、课程意义 数学物理方程与特殊数函数课程主要介绍一些典数学物理方程与特殊数函数课程主要介绍一些典型的、具有物理学背景的微分方程的布列与求解。型的、具有物理学背景的微分方程的布列与求解。 所以，数学物理方程与特殊数函数就成为理工科所以，数学物理方程与特殊数函数就成为理工科学生的一门重要基础性课程。学生的一门重要基础性课程。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 8(一一)、物理定律、物理定律1、牛顿第二定律、牛顿第二定律: F = m a a物体加速度物体加速度;F合外力合外力; m物体质量物体质量 某物理量在空间和时间中的变化规律。它反映的某物理量在空间和时间中的变化规律。它反映的是同一类物理现象的共同规律。是同一类物理现象的共同规律。 物理定律是布列反映实际问题微分方程的基础，物理定律是布列反映实际问题微分方程的基础，学习数理方程课程必须掌握一些典型的物理定律。学习数理方程课程必须掌握一些典型的物理定律。二、物理定律与偏微分方程概念二、物理定律与偏微分方程概念2、虎克定律：、虎克定律：(1) 弹簧：弹簧：f = - k x(2) 弹性体：弹性体：p = Yu x 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 93、傅立叶实验定律、傅立叶实验定律(热传导热传导)：(, )ndQkuM t dSdt 定义热流密度：定义热流密度：(, )nqkuM t 4、牛顿冷却定律：、牛顿冷却定律：热流密度：热流密度：0sqk uu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 105、热平衡方程、热平衡方程QQ吸放升温需要的热量6、Coulomb定律：定律：00()4MMqu Mr7、静电场中的高斯定律：、静电场中的高斯定律：SVE dSdV001()ln2MMqu Mr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 118、焦耳、焦耳楞次定律：楞次定律：2QI Rt9、克希荷夫定律：、克希荷夫定律：10nkkI(1)、节点电流定律：、节点电流定律：(2)、回路电压定律：、回路电压定律：11nnkkkkkI R 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 12 如果微分方程中涉及单因素如果微分方程中涉及单因素( (一个自变量）一个自变量）, , 这这种方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素种方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素( (多个自变量多个自变量),),这时方程中出现的导数是偏导数这时方程中出现的导数是偏导数, ,相相应的方程称为偏微分方程。应的方程称为偏微分方程。 22sin0dgdtl单摆单摆: = (t)22222( , )( , )u x tu x tatx弦振动弦振动:u=u(x,t ) (二二)、常微分方程与偏微分方程、常微分方程与偏微分方程 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13(1)(1)、波动方程、波动方程(3)(3)、稳态场方程、稳态场方程 本课程重点讨论如下三类典型偏微分方程：本课程重点讨论如下三类典型偏微分方程：(2)(2)、热传导方程、热传导方程2ttuauf 2tuauf ()uf M 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 14(1)(1)、贝塞尔方程：、贝塞尔方程：(2)(2)、勒让德方程：、勒让德方程： 本课程重点讨论如下两类典型常微分方程：本课程重点讨论如下两类典型常微分方程：22222()0dydyxxxnydxdx22212(1)0dydyxxn nydxdx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 15三、课程学习的基本要求三、课程学习的基本要求(1)、理解数学物理方程中出现的基本概念；、理解数学物理方程中出现的基本概念；(2)、能正确写出典型物理问题的方程与定解、能正确写出典型物理问题的方程与定解条件；条件；(3)、了解定解问题解的物理意义；、了解定解问题解的物理意义；(4)、熟练掌握三类典型偏微分方程定解问题、熟练掌握三类典型偏微分方程定解问题的如下典型解法：的如下典型解法：分离变量法；行波法；积分变换法；格林函分离变量法；行波法；积分变换法；格林函数法。数法。考试重点：定解问题求解考试重点：定解问题求解(统考统考,考教分离考教分离)。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 16四、常微分方程复习四、常微分方程复习1. 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程。 ( )( )f x dxg y dy( )dyyfdxx2. 齐次方程基本形式为齐次方程基本形式为：3. 一阶线性微分方程基本形式为一阶线性微分方程基本形式为： ( )( )yp x yq x()()0.f xy ydxg xy xdy例1 求方程通解例1 求方程通解,xyu 令令,ydxxdydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 18例例2 求一曲线，使得在其上任一点求一曲线，使得在其上任一点 P 处的切线在处的切线在 y 轴轴yxP(x,y)o解解 设点设点P的坐标为（的坐标为（x, y）所求曲线为所求曲线为y=f(x),切线上的切线上的动点为动点为(X，Y )，则过点则过点P的切线方程为：的切线方程为： ,YyyXx 令X=0得令X=0得,yyxy 0 0切线与 轴的距离为Y由题意可得切线与 轴的距离为Y由题意可得22yxyxy 上的截距等于原点到点上的截距等于原点到点P的距离的距离. 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 190,x 若方程为若方程为21.yyyxx ,yuyxuyuxux令则有令则有21dudxxu 分离变量分离变量222.xuxx uC解得 解得 0yuxx将代回上式,得当时的通解为将代回上式,得当时的通解为若若x0,方程为方程为22221,.yyyyxyCxxx 其通解为 -其通解为 -22.yxyC 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 20例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 解解yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 214. 伯努力方程伯努力方程：( )( )nyp x yq x y5. 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程：( ,)yf x y( ,)yf y y 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2224.dyyxydxx求方程的通解,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解例例 4 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 23例例5 求微分方程求微分方程21x yxy满足初始条件满足初始条件 10,11yy 的特解的特解.,yyp 解此方程不显含作代换解此方程不显含作代换21x pxp 其通解为其通解为11121dxdxxxpeedxCx 11,y 由代入上式由代入上式11lndyxdxxx 2100yC 11.C 得方程特解得方程特解 21lnln.2yxx 221lnln2yxxC11ln.Cxxx积分积分 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 24.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,dpypdy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 20,dpy ppdy例例 60,0ypp当时,约去 并分离变量得当时,约去 并分离变量得dpdypy=,=,11,dypC yC ydx 两边积分并化简得即=, 两边积分并化简得即=, 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 25分离变量得分离变量得1dyC dxy 0,0，0dyypyCdx当时即也是原方当时即也是原方121.0，C xyC eC程的解 但在通解中,显然时程的解 但在通解中,显然时22,0，0.yCCy给出了又再当时包含了给出了又再当时包含了12，0.C xyyCyC e因此和都包含在了通解中因此和都包含在了通解中12.C xyC e 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 26( )(1)(2)121( )( )( )( )( )nnnnnya x yax yax yax yf x( )(1)(2)121( )( )( )( )0nnnnnya x yax yax yax y( )(1)(2)1210nnnnnya ya yaya y线性微分方程线性微分方程 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 277.7.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 ( )ypyqyf x f (x)的两种类型：的两种类型：)()(xPexfmx ( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 28*( ) ,kxmyx e Qx 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性注意注意微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.1( )xmypyqyePx 、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 292( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx 、型型利用欧拉公式：利用欧拉公式：的特解形式为的特解形式为(1)(2)*( )cos( )sinkxmmyx eRxxRxx 次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max 01iki 不是根,不是根,是根.是根. 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 30例例7 求微分方程求微分方程243cos3xyyyxex的通解.的通解.430yyy解对应齐次方程解对应齐次方程12rr=1, =3.=1, =3.2,3,23ii不是特征方程的根.不是特征方程的根. *2cos3sin3xyeaxbxcxdx *2,xyyye将代入原方程并消去可得:将代入原方程并消去可得:312.xxYC eC e齐次方程的通解为齐次方程的通解为2430,rr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 31 1010cos310610sin3cos3 .axb bcxcxadxxx *23cos3sin3.1050 xxyexx1101,10100,0,100,0,6100.3.50aabbcbccadd 解解得得比比较较系系数数可可得得*32123cos3sin3.1050 xxxxyYyC eC eexx 通通解解 : : 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 328.8.欧拉（欧拉（Euler）方程）方程 ( )1(1)11( )nnnnnnx yp xypxyp yf x作变量替换作变量替换ln .txetx或 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3323583.yyyxx例求的通解例求的通解22353,x yyyx解解 21353,tD DyDyye22453tD yDyye222453,td ydyyedtdt22450d ydyydtdt求解对应的齐次方程的求解对应的齐次方程的的通解.的通解.,ln ,txe tx令令 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 349.9.贝塞尔（贝塞尔（Bessel）方程）方程 222()0 x yxyxy10.10.勒让德方程勒让德方程 2(1)2(1)0, 1,1xyxyn nyx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 35格林（格林（Green）公式）公式 ( , )( , )( , )( , )xyLDp x y dxq x y dyqx ypx y dxdy斯托克斯（斯托克斯（Strokes）公式）公式 ( , , )( , , )( , , )LSdydzdzdxdxdyp x y z dxq x y z dyr x y z dzxyzpqr五、积分公式五、积分公式 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 36高斯（高斯（Gauss）公式公式 ( , , )( , , )( , , )()xyzSVp x y z dydzq x y z dzdxr x y z dxdypqr dxdydz 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 37( )( )Df xfx,xyz 222222xyz 六、常用算子六、常用算子 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 38 grad uu div AA rot AA2 uugrad uu () uvu vu v 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 39Thank You !