2.2.2向量的减法

向量的加法：向量的加法：abba abCAB ,abAABa BCbACabababABBCAC 、内点 ，则与，记 则 这称为 已已知知非非零零向向量量在在平平面面任任取取一一作作向向量量叫叫做做的的和和作作即即种种求求向向量量和和向向量量加加法法的的三三角角方方法法，形形法法的的。首尾相接首尾相接向量的加法：向量的加法：OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 点 为点两个为邻边则为点对线与 这平行四边则称为 以以同同一一起起的的已已知知向向量量 、 作作, ,以以起起的的角角就就是是 的的和和即即向向量量加加法法的的种种求求向向量量和和的的方方法法，形形法法。起点相同起点相同向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与联系 三角形法则三角形法则中的两个向量是首尾相接首尾相接的，而平行四边形法则平行四边形法则中的两个向量有公共的起点公共的起点；三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和。三角形法则和平行四边法则虽然都是求向量和的基本方法。但在应用上也有讲究，求两个向量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们的始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则。1.向量加法的三角形法则2.向量加法的平行四边形法则3.向量加法满足交换律及结合律)cb(ac)ba(abba向量的加法与实数的加法类似，那么向量的减法运算呢？在数的运算中，我们知道减法是加法的逆运算，向量的加法与实数的加法类似，类比实数的减法运算，能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入呢？向量的减法具有什么特点？如何进行向量减法的运算呢？向量进行减法运算，必须先引入一个什么样的新概念？实例分析实例分析上周日杨恒从家骑车到八里河公园游玩, 然后再由八里河公园返回家中,我们把八里河公园记作B点,杨恒家记作A点,那么杨恒的位移是多少?A B + B A = 0A怎样用向量来表示呢?我们把与a a长度相等，方向相反的向量，叫作a a的相反向量相反向量.记作1.相反向量a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量并且规定，零向量的相反向量仍是零向量a和a互为相反向量:ABBA 重重要要提提示示 :ABBA 重重要要提提示示 请问的相反向量是AB:ABBA 重重要要提提示示 _ba_,b_,ab, a)3(_a)a_()a(a )2(_)a(11互为相反的向量，那么如果）（：练习a00ba0求两个向量差的运算求两个向量差的运算,叫做向量的减法叫做向量的减法.2.向量的减法()abab定义定义: 向量向量 加上加上 的相反向量，叫作的相反向量，叫作 与与 的差，即的差，即()abab ()abab ()abab ()abab 3.如何求两个向量的差？:向量减法的推导DEACBabbbaba()ababACADAEBC ACABBC 即即.)babab, a(.abbab, a的终点的始点指向向量可表示为从向量则首尾顺次连接，比较：如果两个向量的终点的向量的终点指向向量可以表示为从向量就，量从同一点出发的两个向的结论：以得到这样从向量差的作法我们可ACBabbaabOBAabab向量的减法：向量的减法： ,abOOAa OBbBAabababOAOBBA 、内点 ，则与，记 这减则 已已知知向向量量在在平平面面任任取取一一作作向向量量叫叫做做 的的差差作作即即种种求求向向量量差差的的方方法法，叫叫做做向向量量法法的的三三角角形形法法。起点相同起点相同指向被减向量指向被减向量.)babab, a(.abbab, a的终点的始点指向向量可表示为从向量则首尾顺次连接，比较：如果两个向量的终点的向量的终点指向向量可以表示为从向量就，量从同一点出发的两个向的结论：以得到这样从向量差的作法我们可OabABba小结小结:作两向量的差向量的步骤作两向量的差向量的步骤: (1)将两向量移到共同起点(2)连接两向量的终点,方向指向被减向量 注意与作和向量的区别注意与作和向量的区别()ababACADAEBC :ABBA 重重要要提提示示 即即=_ADAB1、DBCAAC00_BCBA2、_BABC3、_CDBDACAB4、_MPMNQPNQ5、练习2：例例1已知向量已知向量a,b,c,求作向量求作向量a-b+c.abc。则作，作在平面上任取一点解baBAbOBaOAO, 。则为邻边作和并以再作cbaBCBABDBADC，BCBAcBC ,CD练习练习: :如图：平行四边形如图：平行四边形ABCDABCD中中, , 用用 表示向量表示向量 ABCD, aAB , bAD ba,.,DBACbaACab;由向量的减法可得，由向量的减法可得，.DBABADab 解：由向量加法的平行四边形法则，得解：由向量加法的平行四边形法则，得 例2已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=| a- b|,求|a- b|.则为邻边作和以作设解ABCD，ADABbADaAB, ADBabCbaDBbaAC,则|DBACbabaAB，ADABCD，ABCD为矩形所以四边形为平行四边形又因为四边形10|1086|2222babaDBDBDB练习练习: :如图：平行四边形如图：平行四边形ABCDABCD中中, , 用用 表示向量表示向量 ABCD变式二变式二: 在本例中在本例中,当当a,b满足满足什么条件时什么条件时,|a+b|=|a-b|?变式三变式三: 在本例中在本例中, a+b与与a-b有可能相等吗有可能相等吗?变式一变式一: 在本例中在本例中,当当a,b满足满足什么条件时什么条件时,a+b与与a-b相互垂直相互垂直?, aAB , bAD ba,.,DBACbaACab;由向量的减法可得，由向量的减法可得，.DBABADab 解：由向量加法的平行四边形法则，得解：由向量加法的平行四边形法则，得 （|a| = |b|） （a， b互相垂直） （不可能， 对角线方向不同） 1.ABCABC中中,BC=a,CA=b,BC=a,CA=b,则则,AB=( ),AB=( )A.a+b B.(a+b) C. a-b D. b-aA.a+b B.(a+b) C. a-b D. b-a2已知向量a，b，且|a|b|4，AOB60. 则|ab| ，|ab| . 思想方法类与数形结合的数学、思想方法：转化、分的终点的向量的终点指向向量就可以表示为从向量，的两个向量从同一点出发作法、一个作法：差向量的和向量减法的定义、两个定义：相反向量本课小结：3.,:21abbaba(1)将两向量移到共同起点 (2)连接两向量的终点,方向指向被减向量 注意与作和向量的区别注意与作和向量的区别这叫做向量加法的这叫做向量加法的平行四边形法则。平行四边形法则。作法： 作 OA= a, OB =b,以OA，OB为邻边 作平行四边形，则 OC = a + b 。baOb bBa aA AC Ca + b b; 0)()3(aababOb bBa aA AC C; 0)()3(aa定义定义: 向量向量 加上加上 的相反向量，叫作的相反向量，叫作 与与 的差，即的差，即()abab ()abab ()abab ()abab ;)()2(aa（1）相反向量（2）向量减法转化为向量加法（3）向量减法的作图方法 (1)将两向量移到共同起点 (2)连接两向量的终点,方向指向被减向量 注意与作和向量的区别注意与作和向量的区别:1、化简练;) 1 (CABCAB;)(2(OMBOMBAB;)3(COBOOCOA;)4(CDBDACAB;)5(ADODOA.)6(DCADAB.)7(MPMNQPNQ.DBACbabADaABABCD1、表示向量，用，中，、如图，平行四边形例DABCbaAC 法则，得四边形解：由作向量和的平行abbaADABDB 由作向量差的方法，知1、若、若 a , b 是互为相反向量是互为相反向量,那么那么 a =_, b =_, a + b =_ b a 0 、 （ a ) =. a + b 的相反向量是的相反向量是 . a +（ b） 的相反向量是的相反向量是 . ( a + b ) a+（ b ） a ()abab 事实上，如果把向量 与 的起点放在O点，那么从向量 的终点B指向被减向量 的终点A，得到的向量 就是;)()2(aa; 00) 1 (; 00) 1 (;)()2(aa ;)()2(aa ; 0)()3(aa; 0)()3(aab; 0)()3(aa ; 00) 1 ()若, 是互为相反向量,那么 =_, = _,=_;0)()3(aab;0)()3(aab; 0)()3(aab