第三节充分条件和必要条件

第3课充分条件和必要条件1. 【考点导读】理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件.2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合P二Q，贝UP是Q的充分条件；若集合P二Q，则P是Q的必要条件；若集合P=Q，则P是Q的充要条件.3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力.【基础练习】1若p=q，则P是q的充分条件.若q=p，则p是q的必要条件.若p=q，则p是q的充要条件.2用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空(1) 已知p：xa2,q:xK2，那么p是q的一充分不必要_条件.(2) 已知p:两直线平行，q:内错角相等，那么p是q的充要条件.(3) 已知p:四边形的四条边相等，q:四边形是正方形，那么p是q的必要不充分_条件.22(4) 已知p:ab,q：acbc,那么p是q的_必要不充分_条件.23函数y=axbxc(a=0)过原点的充要条件是c=0.4对任意实数a,b,c,给出下列命题： “a=b”是“ac=bc”充要条件；“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“ab”是“a2b2”的充分条件；“a5”是“a0的x+1条件;(3):二：是tan：=tan:的条件：(4)xy厂3是x=1或y尸2的条件分析：从集合观点“小范围=大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用x2,x+y4,1x+y4解：(1)因为结合不等式性质易得，反之不成立，若X二丄，y=10，有丫ja2.xy4.2lxy=4.x*2x*2x+v、4但不成立，所以是的充分不必要条件V2.v2.xv4.（2）因为（x4）（x+1）A0的解集为1,4，上纟二0的解集为（1,4，故（X#）0是土上30x+1X+1的必要不充分条件.5（3）当时，tan，tan:均不存在；当tan-tan：时，取，但.=I，所244以-/：是tani二tan一：的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“x=1且y=2是x+y=3的条件”，故x+y式3是x式1或y=2的充分不必要条件.点评：判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.在判断时注意反例法的应用.在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则一p”的真假.例2已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的条件.分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答解：一一purnq故p是s的的充要条件.点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用仗+2兰0,例3已知p“x2，q:x1m兰x兰1+m,m0，若一1p是一1q的必要不充分条件，求实数X10兰0J1m的取值范围.分析：若p是q的必要不充分条件等价其逆否形式，即q是p的必要不充分条件.解：由题知：p:P=x-2空x乞10，q:Q=x1-m_x_1m,m0_p是一q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件.1-m乞-2,P?Q，即丿1+m10,得m39.0.故m的取值范围为m_9.点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合PQ，则P是Q的充分条件；若集合P二Q，则P是Q的必要条件；若集合P=Q，则P是Q的充要条件.2例4求证：关于x的方程axbxc=O有一个根为1的充要条件是a-bc=O.分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性.证明：必要性：若x-1是方程ax2bx-c=0的根，求证：a-bc=0.x=_1是方程ax2bxc=0的根，.a(-1)2b(-1)c=0，即a-bc=O.充分性：关于x的方程ax2bxc=0的系数满足a-bc=0，求证：方程有一根为1.2.a-bc=0,b=ac，代入方程得：ax(ac)xc=0,得(ax-c)(x7)=0,.x=-1是方程ax2bx0的一个根.故原命题成立.点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可.【反馈演练】1设集合M叫x|0：x乞3,N=x|0：x岂2，则“aM”是“aN”的_必要不充分条件.2.已知p：1vxv2,q：x(x3)v0,贝Up是q的充分不必要条件.3设f(x),g(x)是定义在R上的函数，h(xf(x)g(x)，则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的充分不必要条件.4. 已知p:a=0,q:ab=0，贝Up是q的_必要不充分条件.x-1集合A=x|v0,B=x|xb|va，若“a=1”是“AnB工収的充分条件，则b的取值范x+1围是一2：b:2.设集合M=xx2,P=x，则“(MuP)”是“(Mcp)”的必要不充分条件.7.设全集U=(x,y)R,ywR，子集A=(x,y)2xy+m0,B=(x,y)x+yn0，那么点P(2,3)(AeUB)的充要条件为m1,n5.&已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。现有下列命题：s是q的充要条件；p是q的充分条件而不是必要条件；r是q的必要条件而不是充分条件；p是s的必要条件而不是充分条件；r是s的充分条件而不是必要条件，其中正确命题序号是.9.有限集合S中元素个数记作cardS，设A、B都为有限集合，给出下列命题： AB=的充要条件是card(AJB)=card(A)+card(B)； A二B的必要条件是cardA-cardB； A-B的充分条件是cardA-cardB； A=B的充要条件是cardA=cardB.其中真命题的序号是_10已知函数f(x)=x?+卜+a|+b(xR)，求证：函数f(x)是偶函数的充要条件为a=0.证：充分性：定义域关于原点对称.222丁a=0,二f(x)=x+x+b，二f(x)=(x)十一x+b=x十x+b,所以f(_xf(x)，所以f(x)为偶函数.必要性：因为f(x)是偶函数，则对任意x有f(_x)二f(X),得(一X)2+|x+a+b=x2+x+a+b，即xa=|x+a，所以a=0.综上所述，原命题得证.2211.已知条件p:A=xRx+ax+1E0，条件q:B=xRx-3x+2兰0.若一1q是一1p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.解：q:B=xR1Ex兰2，若一1q是一1p的充分不必要条件，则A匸B.若A=Q，则a24：0,即-2:a：2；5解得a-2.2a2-4K0,若5，则匚-圧4-a厂x225综上所述，-a0,即a1.厶凶v0.