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第3课充分条件和必要条件1. 【考点导读】理解充分条件,必要条件和充要条件的意义;会判断充分条件,必要条件和充要条件.2. 从集合的观点理解充要条件,有以下一些结论:若集合P二Q,贝UP是Q的充分条件;若集合P二Q,则P是Q的必要条件;若集合P=Q,则P是Q的充要条件.3. 会证明简单的充要条件的命题,进一步增强逻辑思维能力.【基础练习】1若p=q,则P是q的充分条件.若q=p,则p是q的必要条件.若p=q,则p是q的充要条件.2用“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件和既不充分也不必要条件”填空(1) 已知p:xa2,q:xK2,那么p是q的一充分不必要_条件.(2) 已知p:两直线平行,q:内错角相等,那么p是q的充要条件.(3) 已知p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形,那么p是q的必要不充分_条件.22(4) 已知p:ab,q:acbc,那么p是q的_必要不充分_条件.23函数y=axbxc(a=0)过原点的充要条件是c=0.4对任意实数a,b,c,给出下列命题: “a=b”是“ac=bc”充要条件;“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;“ab”是“a2b2”的充分条件;“a5”是“a0的x+1条件;(3):二:是tan:=tan:的条件:(4)xy厂3是x=1或y尸2的条件分析:从集合观点“小范围=大范围”进行理解判断,注意特殊值的使用x2,x+y4,1x+y4解:(1)因为结合不等式性质易得,反之不成立,若X二丄,y=10,有丫ja2.xy4.2lxy=4.x*2x*2x+v、4但不成立,所以是的充分不必要条件V2.v2.xv4.(2)因为(x4)(x+1)A0的解集为1,4,上纟二0的解集为(1,4,故(X#)0是土上30x+1X+1的必要不充分条件.5(3)当时,tan,tan:均不存在;当tan-tan:时,取,但.=I,所244以-/:是tani二tan一:的既不充分也不必要条件.(4)原问题等价其逆否形式,即判断“x=1且y=2是x+y=3的条件”,故x+y式3是x式1或y=2的充分不必要条件.点评:判断p是q的什么条件,实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假,若原命题为真,逆命题为假,则p为q的充分不必要条件;若原命题为假,逆命题为真,则p为q的必要不充分条件;若原命题为真,逆命题为真,则p为q的充要条件;若原命题,逆命题均为假,则p为q的既不充分也不必要条件.在判断时注意反例法的应用.在判断“若p则q”的真假困难时,则可以判断它的逆否命题“若q则一p”的真假.例2已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,则p是s的条件.分析:将各个命题间的关系用符号连接,易解答解:一一purnq故p是s的的充要条件.点评:将语言符号化,可以起到简化推理过程的作用仗+2兰0,例3已知p“x2,q:x1m兰x兰1+m,m0,若一1p是一1q的必要不充分条件,求实数X10兰0J1m的取值范围.分析:若p是q的必要不充分条件等价其逆否形式,即q是p的必要不充分条件.解:由题知:p:P=x-2空x乞10,q:Q=x1-m_x_1m,m0_p是一q的必要不充分条件,q是p的必要不充分条件.1-m乞-2,P?Q,即丿1+m10,得m39.0.故m的取值范围为m_9.点评:对于充分必要条件的判断,除了直接使用定义及其等价命题进行判断外,还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系:若集合PQ,则P是Q的充分条件;若集合P二Q,则P是Q的必要条件;若集合P=Q,则P是Q的充要条件.2例4求证:关于x的方程axbxc=O有一个根为1的充要条件是a-bc=O.分析:充要条件的证明既要证充分性,也要证必要性.证明:必要性:若x-1是方程ax2bx-c=0的根,求证:a-bc=0.x=_1是方程ax2bxc=0的根,.a(-1)2b(-1)c=0,即a-bc=O.充分性:关于x的方程ax2bxc=0的系数满足a-bc=0,求证:方程有一根为1.2.a-bc=0,b=ac,代入方程得:ax(ac)xc=0,得(ax-c)(x7)=0,.x=-1是方程ax2bx0的一个根.故原命题成立.点评:在代数论证中,充要条件的证明要证两方面:充分性和必要性,缺一不可.【反馈演练】1设集合M叫x|0:x乞3,N=x|0:x岂2,则“aM”是“aN”的_必要不充分条件.2.已知p:1vxv2,q:x(x3)v0,贝Up是q的充分不必要条件.3设f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(xf(x)g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的充分不必要条件.4. 已知p:a=0,q:ab=0,贝Up是q的_必要不充分条件.x-1集合A=x|v0,B=x|xb|va,若“a=1”是“AnB工収的充分条件,则b的取值范x+1围是一2:b:2.设集合M=xx2,P=x,则“(MuP)”是“(Mcp)”的必要不充分条件.7.设全集U=(x,y)R,ywR,子集A=(x,y)2xy+m0,B=(x,y)x+yn0,那么点P(2,3)(AeUB)的充要条件为m1,n5.&已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件。现有下列命题:s是q的充要条件;p是q的充分条件而不是必要条件;r是q的必要条件而不是充分条件;p是s的必要条件而不是充分条件;r是s的充分条件而不是必要条件,其中正确命题序号是.9.有限集合S中元素个数记作cardS,设A、B都为有限集合,给出下列命题: AB=的充要条件是card(AJB)=card(A)+card(B); A二B的必要条件是cardA-cardB; A-B的充分条件是cardA-cardB; A=B的充要条件是cardA=cardB.其中真命题的序号是_10已知函数f(x)=x?+卜+a|+b(xR),求证:函数f(x)是偶函数的充要条件为a=0.证:充分性:定义域关于原点对称.222丁a=0,二f(x)=x+x+b,二f(x)=(x)十一x+b=x十x+b,所以f(_xf(x),所以f(x)为偶函数.必要性:因为f(x)是偶函数,则对任意x有f(_x)二f(X),得(一X)2+|x+a+b=x2+x+a+b,即xa=|x+a,所以a=0.综上所述,原命题得证.2211.已知条件p:A=xRx+ax+1E0,条件q:B=xRx-3x+2兰0.若一1q是一1p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解:q:B=xR1Ex兰2,若一1q是一1p的充分不必要条件,则A匸B.若A=Q,则a24:0,即-2:a:2;5解得a-2.2a2-4K0,若5,则匚-圧4-a厂x225综上所述,-a0,即a1.厶凶v0.
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