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函数的奇偶性一、知识梳理：（阅读教材必修1第33页第36页）1、 函数的奇偶性定义： 2、 利用定义判断函数奇偶性的步骤（1） 首先确定函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称；（2） 确定与的关系；（3） 作出相应结论3、 奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含0，则 （5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； （6）牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；（7）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：4、一些重要类型的奇偶函数（1）、f(x)= (a0,a) 为偶函数;f(x)= (a0,a) 为奇函数;（2）、f(x)=（3）、f(x)=（4）、f(x)=x+（5）、f(x)=g(|x|)为偶函数;二、题型探究探究一：判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性1. 【15年北京文科】下列函数中为偶函数的是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.考点：函数的奇偶性.2. 【15年广东文科】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是奇函数故选A考点：函数的奇偶性3. 【15年福建文科】下列函数为奇函数的是( )A B C D 【答案】D【解析】试题分析：函数和是非奇非偶函数； 是偶函数；是奇函数，故选D考点：函数的奇偶性探究二：应用函数的奇偶性解题例3、【2020高考湖南卷改编】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( )A. B. C. 1 D. 3例4：已知函数f(x)=- - 若f(a)=b ,则f(-a) =三、方法提升1、 判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化、整理、将f(x)与f-(x)比较，得出结论。2、 利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题，转化到研究部分（一半）区间上，是简化问题的一种途径。3、 函数的奇偶性常与函数的其它性质及不等式结合 出题，运用函数的奇偶性就是运用函数的对称性。4、 要善于发现函数特征，图像特征，运用数形结合，定向转化，分类讨论思想，整体代换的手段，从而简化解决问题的程序，既快又准。四、反思感悟 五、课时作业1【2020全国1高考改编】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A是偶函数 B 是奇函数 C. 是奇函数 D是奇函数2设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x4 Bx|x4 Cx|x6 Dx|x2解析：当x0，f(x)(x)38x38，又f(x)是偶函数，f(x)f(x)x38，f(x).f(x2)，或，解得x4或x0.故选B.答案：B3定义在R上的函数f(x)满足：对于任意，R，总有f()f()f()2020，则下列说法正确的是()Af(x)1是奇函数 Bf(x)1是奇函数Cf(x)2020是奇函数 Df(x)2020是奇函数解析：依题意，取0，得f(0)2020；取x，x，得f(0)f(x)f(x)2020，f(x)2020f(x)f(0)f(x)2020，因此函数f(x)2020是奇函数，选D.答案：D4、设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_解析：设g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，h(0)0，解得a1.答案：15已知函数f(x1)是奇函数，f(x1)是偶函数，且f(0)2，则f(4)_.解析：依题意有f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，所以f(4)f(3)1)f(2)f(11)f(0)2.答案：26对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为_若f(x)是奇函数，则f(x1)的图象关于点A(1,0)对称；若对xR，有f(x1)f(x1)，则yf(x)的图象关于直线x1对称；若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，则f(x)为偶函数；函数yf(1x)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称解析：f(x1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x1)的图象关于点A(1,0)对称，故正确；由f(x1)f(x1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故错误；f(x1)的图象关于直线x1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，正确；yf(1x)的图象是由yf(x)的图象向左平移一个单位后得到，yf(1x)是由yf(x)的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故错误答案：7已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a、b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围分析：(1)由f(0)0可求得b，再由特殊值或奇函数定义求得a；(2)先分析函数f(x)的单调性，根据单调性去掉函数符号f，然后用判别式解决恒成立问题解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，即0b1，所以f(x)，又由f(1)f(1)知a2.(2)由(1)知f(x)，易知f(x)在(，)上为减函数又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)k2t2，即对tR有：3t22tk0，从而412k0k.8【2020师大附中精典题库】设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)，当x0时，f(x)0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(，)上是减函数证明：(1)令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.再令yx，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)设x1、x2(，)且x1x2，则x2x10，当x0时，f(x)0，f(x2x1)0.又对于任意的实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)且f(x)为奇函数，f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，f(x)在(，)上是减函数
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