小学数学课程与教学论第六章

第六章数与代数的教学第一节数与代数教学的意义、内容与要求一、数与代数教学的价值（一）能使学生体会到数学与现实生活的紧密联系（二）有助于调动学生对数学学习的兴趣，培养初步的创新意识和发现能力（三）有助于培养学生辩证唯物主义观点，学会用科学观点认识现实世界第六章数与代数的教学二、数与代数的课程内容数与代数在小学数学教学内容中占有很大比重。 “数与代数”这一领域在以前的大纲中包括以下内容：数与计算整数、小数、分数与百分数的认识、性质以及相应的四则计算量与计量货币单位、时间单位、重量单位（长度单位、角度单位、面积单位、体积单位包含在“图形与几何”中）比和比例比、按比例分配、正比例、反比例代数初步知识用字母表示数，简易方程和列方程解应用题标准根据新的教育理念，对义务教育阶段 “数与代数”各部分内容以及具体要求进行了调整。第一学段有：数的认识、数的运算、常见的量、探索规律第二学段有：数的认识、数的运算、式与方程、正比例和反比例、探索规律。三、数与代数的课程目标（见教材P237-238）第六章数与代数的教学四、课标（ 2011 年版）课程内容与目标的主要变化与课标（实验稿） 相比较，内容结构基本没有变化，只是在具体内容与课程目标的表述上有所调整。但课标与试用修订版大纲相比较，该领域主要变化如下：（一）数的认识（ 1） 强调通过数学活动培养学生的“数感”（ 2） 增加了负数的认识 。（二）数的运算（1）整数四则运算要求在历次大纲中一直处于降低趋势。如：1978 年提八个字：正确，迅速，合理，灵活。1992 年提八个字：正确；但对“熟练”，“合理”，“灵活”分层次要求。如“对一些基本计算要达到一定的熟练程度，逐步做到计算方法合理、灵活。”2001 年提两个字： 能，会。如“能笔算三位数乘两位数” ；“会分别进行简单的小数、分数加减乘除运算及混合运算” 。2011 年提八个字：正确，有据，合理，简洁。（ 2）重视口算，加强估算（ 3）取消带分数四则计算第六章 数与代数的教学（三）式与方程提出利用等式的性质解方程， 其目的是加强中小学数学教学的衔接。 也允许学生利用四则运算各部分之间的关系解方程。 这样既不妨碍中小学数学教学的衔接， 也尊重了学生已有的知识经验。（四）珠算与计算器的使用（1）取消珠算，只将珠算作为一种文化来介绍。 课标（ 2011 年版）增加了“知道用算盘可以表示多位数” 。（2）引进计算器（五）应用题内容：繁简；方法：算术算术、代数（78 年以后）；能力培养：由单纯重视解题技能同时重视解题思路。呈现方式：应用题实际问题；不强调类型划分。解决过程：实际问题（抽象、简化）应用题（分析数量关系）文字题（运算意义）计算题（实现三次转化）第六章数与代数的教学第二节数与量的概念教学数的概念包括：整数、小数、分数、百分数、负数；量的概念包括：货币单位、时间单位、重量单位（长度单位、角度单位、面积单位、体积单位包含在“图形与几何”中）。一、自然数概念的教学自然数概念教学的四个阶段：现行教材一般分为20以内、 100 以内、万以内与万以上四个阶段，循序渐进地教学。注意以下几点：（一）引导学生在生动具体的情境中认数案例 6.1：“0”的认识【教学片段】认识数“ 1”第六章数与代数的教学【教学片段】认识数“ 1”老师请小朋友观察图形，逐步能用完整的语言说出图上画了些什么。比如：“一只梅花鹿，一只小鸟， ” 。老师指出， 1 只梅花鹿可以用一根“小棒”来表示。并随手贴出一根小棒。再问学生， 一根小棒还可以表示什么？让学生知道：一根小棒可以表示很多很多的 “一个东西”，凡是一个东西都可以用一根小棒来表示。告诉学生，一根小棒所表示的数，可以用数字1 表示。（点评：这一环节，通过“实物图片小棒符号”，逐步去掉现实对象的其他无关属性，使学生经历将数从实际事物中抽象出来的过程。并体会所有数量是1 的事物都可以用数字 1 来表示。初步渗透 1 和一个实物的对应关系。 ）第六章数与代数的教学（二）突出自然数抽象意义的理解比如， 10 以内数的认识教学步骤：通过数数，逐步把数从具体事物中抽象出来。数数：事物动作点子图数（由具体到抽象）了解数的顺序和大小，会区分几个和第几个了解 10 以内数的组成学会正确读写10 以内的数初步体会0 的意义儿童计数能力发展的三个层次：唱数（死记硬背式计数）；按物点数（理性计数） ；按群计数（等价计数） 。第六章数与代数的教学【教学案例】100 以内数的认识 （一下）（嘉兴市教育研究院朱国荣设计。 案例选自 小学数学经典课例历史视角下的研究吴卫东、邱向理主编，东北师范大学出版社）（一）数数，掌握不同的数法1齐数教师的手指数（一个一个地数）。2请三名学生站在前面，指名数他们的手指总数，展示不同的数法（有一个一个地数、两个两个地数、 五个五个地数、 十个十个地数） 。数完后， 指名说一说 “你喜欢哪一种数方法”？（二）画圈，认识计数单位“十”、“百”1第一次画圈：认识计数单位“十”指名说出图中某班人数（三十三人） ，并用数“ 33”表示。请学生思考：如果用一个圈表示一个小朋友，要表示全班三十三位小朋友，应该画多少个圈？回答后，组织全体学生画圈，画之前，教师明确提出：怎样画，能让老师很容易看出画的正好是三十三个圈？（点评： 学生自己画圆圈表示33 个同学， 这是一个有趣的事情。但教师明确提出画圈要求：要“很容易看出正好是三十三个圈”，这是一个对学生的思维具有挑战性的任务。因为学生需要记住总数，同时需要思考如何画，边画还要边数数。这是一个学生个性化学习的机会，也有助于学生通过操作、 比较、反思，学习数数， 体会使用计数单位 “十” 进行计数的价值。 ）第六章 数与代数的教学学生独立画圈后，组织交流（ 1）展示没有结构地、随机地画的作品。（ 2）展示五个五个画的作品。（ 3）展示十个十个画的作品。教师组织学生对上述各种画法进行分析、评价。并统计十个十个画的学生数，给予表扬。教师让学生数出（ 3）展示的圆圈个数，先十个十个地数，再一个一个地数。小结：个、十都是计数单位。（点评： 教师呈现学生作品， 引导学生对不同的画法进行评价， 并把讨论的重点放在十个十个画的情形：利用对应的方法， 引导学生由第一行的个数，推断以下几行的个数， 由此确认圆圈的总数，并用“十、个”去数数。使学生在比较中建立“十”这个计数单位的概念，培养学生的推理意识。 ）（4）认识数的组成，初步理解个位、十位上的数所表示的意义师：根据刚才的讨论， 请小朋友们想一想， “33”里面的两个数字 “3”所表示的意思一样吗？（同桌说一说）生：前面那个“3”是在十位上的，后面那个“3”是在个位上的。生：十位上的“3”代表 3 个十，个位上的“3”代表 3 个一。教师引导学生再次观察刚才十个十个画的作品，分别圈出两个“3”所对应的不同的圈。逐步沟通数的组成与画圈结果之间的关系，理解33 由 3 个十、 3 个一组成，能根据数的组成说出数的名称。（点评：这里，教师没有直接问学生33 里有几个“十”和几个“一”，而是让学生讨论，自己去解释知识。 同时，通过数形结合的方法，沟通画圈结果和数的组成之间的联系，促进学生了解数的组成，体会记数的位置原则，培养学生独立思考的能力。）第六章数与代数的教学2解读教师画的作品：认识计数单位“百”（每行画十个圈，画了九行，最后一行画了一个圈）先让学生独立观察，数一数老师一共画了多少个圈。然后组织交流：说说你是怎样数的？学生先十个十个地数，再随着老师画的圈， 依次数到一百。 引导学生整体观察画有一百个圈的方阵，最后得出“10 个十是 100”。（点评： 学生经历从100 个一到一个百的数数过程， 体会数的顺序和大小关系。 会用计数单位“十”来数较大的数。这里得出十个10 是一百以后，还可以反过来说，一个百里面有10个“十”。训练学生逆向思考的能力。同时，可将100 看成一个整体（如果是小棒，可以将100 根或 10 个小捆捆成一大捆） ，建立以“百”做计数单位的概念。注意在数数时，接近整十的地方是学生数数的难点。 ）3第二次画圈在头脑中画请学生独立想象：47 个圈应该怎样画，同桌交流后组织反馈。（三）解释与应用1呈现 3 捆（每捆 10 请学生想象，怎样摆出根）再加5 根小棒，请学生说一说一共有几根。53 根小棒，交流后组织讨论：35 和 53 中的“ 3”和“ 5”所表示的意思相同吗？为什么？2呈现百羊图，先让学生估一估，再数一数。（点评：会数数，就是会用十进制计数法来数。要强调由大到小使用各个计数单位来数，使得每种计数单位的个数都不超过九。弄清数的组成。以便根据数的组成读数、写数。）第六章数与代数的教学（三）循序渐进培养学生的数感有研究者认为，数感包括“数的意义、数的表示、数的关系、数的运算、数的估算、数的问题解决”等六个方面。课标指出：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。数感发展的关键期是小学低中年级，数概念的教学是培养学生数感的开端。（四）在因数与倍数等概念教学中进一步理解自然数这部分内容属于数论的最基础知识，概念比较多，也比较抽象，许多概念如奇数、偶数，质（素） 数和合数等容易混淆。掌握这部分知识不仅能丰富学生对自然数本质属性的理解，也有助于学生数感的进一步发展，同时为后面分数的学习奠定了基础。教学过程中， 应注重通过自主探究活动引导学生亲历概念的自我建构与规律的归纳概括过程。案例 6.2 ：质数与合数第六章数与代数的教学二、分数、小数、百分数、负数概念的教学分数、 小数是数概念的一次重要扩展，学生认识分数与小数的含义要比整数困难得多。为使学生更好地理解分数与小数的含义，标准以及历次大纲均把这部分内容分段教学。关于分数、小数的编排顺序问题关于分数、小数的分阶段问题（各分两个阶段）初步认识分数（三上、三下）（案例）初步认识小数（三下）正式学习小数（五上）正式学习分数（五下）第六章数与代数的教学（一）分数的认识1、分数概念通常从三个层面来理解：一是“比率” ，即指部分与整体的关系或部分与部分的关系。二是“度量” ，指的是可以将分数理解为分数单位的累计。三是“商”， 即把分数视为两个整数相除的结果（即商定义）。2、分数的认识通常分两个阶段：初步认识分数三上：把一个物体平均分成若干份，认识几分之一、几分之几。三下：把一些物体平均分成若干份，认识几分之一、几分之几。正式学习分数（五下）分数的含义、分数单位、分数与除法的关系、分数大小比较、分数的基本性质（二）小数的认识1、小数的认识通常分两个阶段：三下：初步认识小数五上：正式学习小数2、小数的性质（五上）第六章数与代数的教学（三）百分数的认识认识百分数应注意如下几点：1分数既可以表示两个数之间的关系，也可以表示具体的数量。百分数只表示两个数之间的关系，并不表示具体的数量；2由于以上原因，分数可以带单位名称，也可以不带单位名称，但百分数不能加上单位名称，这是它与分数的不同；3分数一般用最简分数的形式表示，但百分数为了便于比较，都以1%作为单位，不用约分成最简分数的形式，也不用化成带分数，而且分子也可以是小数；4由于百分数的广泛应用，认识百分数应该联系学生的生活实际，并通过日常生活的运用加深理解概念，体会百分数的好处。（四）负数的认识1密切联系熟悉的生活情境，初步认识负数意义2注重通过实际应用加深对负数意义的理解第六章数与代数的教学三、常见的量的教学在小学阶段学习的量包括：货币单位：元、角、分；时间单位：时、分、秒，年、月、日；重量单位：克、千克，吨。注：长度和角度、面积与体积等计量单位被安排在“空间与图形”领域。教学顺序：货币（一上）时间（二上。一上先认识整时、几时半）重量（三上，较迟）注：同一类计量单位一般是分成几个阶段出现的。(一 )结合现实情境，认识货币单位(二 )联系具体情境，感受重量单位(三 )通过观察操作，体验时间单位（案例6.4：认识“年、月、日” ）第六章数与代数的教学第三节数的运算的教学数的运算是小学数学教学的重点内容，也是课程改革的重点。课标（ 2011 年版）对于数的运算教学，相对于课标（实验稿） 和修订版大纲采取的措施是：将计算教学内容融进了各种情境之中，即把计算教学与实际问题教学结合起来，并且注意到：一是引导学生在具体情境中理解运算的意义与价值。二是要重视基本运算技能的训练。三是要重视直观算理与抽象算法教学的有效联接。四是要注意算法多样化与算法最优化教学的和谐统一。五是注意口算、笔算与估算的有机结合。第六章数与代数的教学一、整数四则运算的教学（一）整数加减法教学1 20 以内加减法1） 10 以内的加减法基础：认识了10 以内的数， 10 以内数的分与合。编排：关于10 以内加减法运算的编排，有不同的方式（先加后减、加减混合）（加减混合）将其分为五段：得数是 5 以内的加法与相应的减法（包括有关0 的加减法）；得数是 6、 7 的加法与相应的减法；得数是 8、 9 的加法与相应的减法；得数是 10 的加法与相应的减法；。江苏教材10 以内的连加、连减和加减混合。把加减法联系起来进行教学， 有利于学生弄清它们的联系与区别， 加深对加减法意义的理解。第六章数与代数的教学主要任务：理解加减法意义；培养运算技能；注意点：教学时要从具体情境入手，引导学生初步认识加减法的意义。10 以内加减法，主要根据数的组成进行口算。开始用一幅图表示一个算式，逐步过渡到一幅图两个算式，童逐步建立起加减法的内在联系。再过渡到一幅图四个算式，使儿第六章数与代数的教学2） 20 以内的进位加法和退位减法编排：先加后减； （现行人教、苏教、北师大版都采用此法）加减混合。 20 以内进位加法20 以内进位加法编排： （通常两种）20 以内进位加法计算方法：中国学者提出：数数法（即逐一计数法）接数法（这是按群计数的初步阶段）凑十法（重点）口诀法（整理成加法表，达到口诀化）是初级阶段， 学生停留这样的水平上是不利于计算能力发展的。 重点应掌握， 并达到的要求。第六章数与代数的教学美国学者提出：数数法；从大数算起；如3+8，从 8 加起。双倍数；学生做7+7 比 8+6 快。近似双倍数；6+7 6+6+1 或 7+7 1利用 10 的概念； 7+9 7+10 1 20 以内退位减法20 以内退位减法的编排： （通常两种，与加法对应）20 以内退位减法的计算方法有：数数法（即逐一减数） 13-5=13-1-1-1-1-1破十法13-5=10-5+3平十法（连减法）13-5=13-3-2逆算法（算减想加法）算13-5，想 5+（） =13。退十加补法13-4=13-10+6=3+6=9第六章数与代数的教学2 100 以内加减法的教学主要学习：整十数加减整十数；两位数加减一位数或整十数；两位数加减两位数的口算，并初步学习简单笔算（包括不进位、进位；不退位、退位） ，为学习多位数加减法打下基础。3万以内加减法教学（整数加减法的最后阶段）可以放手让学生自主探索三位数加减法的计算方法，从而进一步发展学生的探索意识。情景的设计，一要注意现实性，二要注意教学功能的综合性。第六章数与代数的教学（二）整数乘除法的教学整数乘除法也是结合整数的认识， 分成表内乘除法、 一位数乘除法与两位数乘除法等几个阶段教学的。1乘除法的意义2表内乘除法的教学（二上）内容：乘法口诀用乘法口诀求商编排：一种是先教学表内乘法，再教学表内除法（人教版）一种是交叉编排（苏教版）3乘、除数是一、两位数的乘除法的教学第六章数与代数的教学二、小数四则运算的教学小数四则运算与整数四则运算的意义和算理本质上是相同的。小数四则运算教学的关键是要沟通与整数四则运算的联系。（一）小数加减法教学（两个阶段）第一阶段：（三下） 在万以内数的加减法和初步认识小数的基础上进行。 （一位小数）第二阶段：（五上）系统教学小数加减法。（二）小数乘除法教学（ 1）小数乘法。内容：一般分为小数乘整数、一个数乘小数两部分。思路：小数乘法 转化为 整数乘法（渗透了化归的思想） 。依据：小数点位置移动引起小数大小变化的规律；积的变化规律。关键：沟通与整数的联系，在得到的积中怎样确定小数点的位置。第六章 数与代数的教学（ 2）小数除法。内容：一般分为除数是整数的小数除法与除数是小数的小数除法两部分。除数是整数的小数除法按照整数除法的计算法则进行，并且要弄清商的小数点与被除数的小数点对齐的道理；除数是小数的小数除法的教学思路：除数是小数的除法转化除数是整数的除法（渗透了化归的思想）。依据：小数点位置移动引起小数大小变化的规律；商不变性质。关键：怎样把除数是小数的除法转化为除数是整数的除法？。最后，归纳出小数乘除法的计算法则。第六章数与代数的教学三、分数四则运算的教学（一）分数加减法的教学分为两个阶段教学：第一阶段，结合分数初步认识，教学同分母分数加减法；第二阶段，结合分数意义的教学，系统教学分数加减法。1同分母分数加减法2异分母分数加减法异分母分数加减法的直接基础是：通分和同分母分数加减法法则。重点：理解计算法则，并正确运用。关键：理解分母不同，就是分数单位不同，不能直接相加减的道理。案例 6.6 ：异分母分数加减法第六章数与代数的教学（二）分数乘除法的教学1分数乘法分数乘法内容包括：分数与整数相乘、分数乘分数两种情况。分数乘法运算的基础、要求。2分数除法分数除法内容包括：分数除以整数、整数除以分数和分数除以分数三种情况。分数除法运算的基础、要求。第六章数与代数的教学四、混合运算的教学混合运算是加、减、乘、除运算的综合运用，包括整数四则混合运算与小数、分数混合运算等。现行教材关于混合运算的教学一般分为四个环节（其中前三个环节为整数四则混合运算）：一是混合运算初步教学阶段（ 100 以内） 。含同一级运算的两步式题。在这一环节中，四则混合运算教学主要以口算为主；二是各种运算顺序的教学阶段（万以内） 。教学含有两级运算的、或含有小括号的两步混合运算。三是在学生初步掌握混合运算顺序的基础上（万以上），教学三步混合运算，并认识中括号。四是在整数四则混合运算的基础上教学简单的小数、分数四则混合运算。第六章数与代数的教学第四节式与方程以及实际问题的教学一、用字母表示数与简易方程的教学编排特点：早期孕伏；逐步过渡；正式学习。内容：（一）用字母表示数（经历过程、体会价值；案例（二）简易方程。类型：主要包括ax b=c 与6.8： 用字母表示数） 。ax bx=c 这两种类型。 （案例6.9：方程的认识）解方程的依据：等式性质；四则运算各部分之间的关系。算术到代数的特点： （ 1）具体到抽象；（ 2）数字表示数到字母表示数； （ 3）语言等式到用字母表示数量关系； （ 4）数运算到式运算。第六章数与代数的教学二、列方程解实际问题的教学（一）列方程与列算式解实际问题的比较（见右）未知数进入式子是新的突破。 一般地说， 列方程要比列算式考虑起来更自然， 因而有更多的优越性。（二）列方程解实际问题教学的意义（三）列方程解实际问题的教学重点：实际问题建立语言等式列方程（数学化过程）第六章数与代数的教学第五节比和比例的教学教学比与比例可以渗透函数思想。因此，一般将其归为代数内容。主要内容包括：1、比和比例的概念和性质；2、按比例分配及其简单应用；（平均分的拓广）3、成正比例、成反比例量的认识；4、在有坐标系的方格纸上画正比例关系图， 并根据一个量的值估计另一个量的值； 等等。第六章 数与代数的教学第六节探索规律的教学问题：1、数学中常见的推理有哪些？它们的含义是什么？2、合情推理与演绎推理哪个更重要？如何理解。3、小学数学中“探索规律”的教学内容与目标是什么？第六章数与代数的教学第六节探索规律的教学一、合情推理与论证推理论证推理又称演绎推理：这是一种从一般到特殊的推理，推理结论的正确性由前提的真实性和推理规则的正确性予以保证。合情推理也称似真推理，是凭借已有的知识和经验，在具体情境中通过归纳、类比、联想、直觉，提出猜想，作出估计的过程。它包括：归纳推理、类比推理。归纳推理是指对特例或事物的一部分进行分析而提出一般性结论或规律的过程，是一种从特殊到一般的推理类比推理是利用事物之间的某些方面的相同或相似性，从一个具体对象到另一个特定对象的推理。它是一种特殊到特殊的推理。第六章数与代数的教学数学家拉普拉斯说过： 甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比 。数学教育家波利亚指出：“数学中有论证推理和合情推理两种推理，它们是思维的两种形式、两个方面，它们之间并不矛盾，在数学的发现和发明过程中是交互起作用的。”“借论证推理来肯定我们的数学知识，而借合情推理为我们的猜想提供依据。 ” 由此可见，这两种推理应当有机结合。第六章数与代数的教学二、小学数学中探索规律的教学内容与编排培养合情推理能力的重要途径之一是“探索规律” 。因此，标准 2011 年版把探索规律的教学置于一个突出的位置， 加强了这方面的教学力度， 提出了以下各学段具体目标：第一学段：探索简单情境下的变化规律。（原：发现给定的事物中隐含的简单规律。）第二学段： 探索给定情境中隐含的规律或变化趋势。（原：探求给定事物中隐含的规律与变化趋势。）内容设计：数、式、形。编排：单元主题式、分散渗透式。（苏教版）三、探索规律的教学策略引导观察，大胆猜想由易到难，适当开放重视公式、法则、定律等知识的探索