力学竞赛资料运动学

图示曲线为一旋轮线，其参数图示曲线为一旋轮线，其参数R为已知。图中为已知。图中M点处的曲率半点处的曲率半径为径为 .答案：答案：1.v/l 2.A、B的的轨迹均迹均为旋旋轮线（或称（或称摆线、圆滚线）3.mv2/2l 解解题思路同思路同“杆的下落杆的下落.doc”题题：在在录录音音机机或或连连续续印印刷刷机机中中，磁磁带带（或或纸纸张张）以以匀匀速速 v 运运动动。设设以以 r 表表示示磁磁带带盘盘（纸纸筒筒）的的半半径径，b 表表示示磁磁带带的的厚厚度度。试试导导出出磁带盘角加速度的表达式。磁带盘角加速度的表达式。解解：设设初初始始时时纸纸筒筒半半径径为为r 0，在在任任一一瞬瞬时时t,纸纸筒筒半半径径为为 r，角角速速度度为为w w，纸纸筒筒已转过的圈数为已转过的圈数为n，(不一定为整数）则有不一定为整数）则有因因 v 和和 b 为常量，故有为常量，故有又因又因所以所以角加速度角加速度巩固题：巩固题：一张致密光盘（一张致密光盘（CD）音轨区域的内半径）音轨区域的内半径R1=2.2cm，外，外半径为半径为R2=5.6cm，径向音轨密度，径向音轨密度 N=650条条/mm。在。在 CD唱机内，唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以光盘是以v=1.3m/s的恒定速度运动的。问：（的恒定速度运动的。问：（1）这张光盘全部）这张光盘全部放音时间是多长？（放音时间是多长？（2）激光束到达离盘心）激光束到达离盘心R=5.0cm处时，光盘处时，光盘转动的角速度和角加速度是多少？转动的角速度和角加速度是多少？答：（答：（1）69.4 min （2）题题AC、BD两两杆杆各各以以匀匀角角速速度度w w分分别别绕绕距距离离为为l的的A、B轴轴作作定定轴轴转转动动，转转向向如如图图。小小圆圆环环M套套在在 AC及及 BD杆杆上上。在在某某一一瞬时瞬时a a=b b=60，求小圆环，求小圆环 M在任意瞬时的速度和加速度。在任意瞬时的速度和加速度。题题AC、BD两两杆杆各各以以匀匀角角速速度度w w分分别别绕绕距距离离为为l的的A、B轴轴作作定定轴轴转转动动，转转向向如如图图。小小圆圆环环M套套在在 AC及及 BD杆杆上上。在在某某一一瞬瞬时时a a=b b=60，求求小小圆圆环环 M在在任任意意瞬瞬时时的的速速度和加速度。度和加速度。向垂直于向垂直于AC方向投影：方向投影：解解1：方向：与方向：与x轴正向之间的夹角为轴正向之间的夹角为2a a+60求得：求得：同理可求加速度。同理可求加速度。题题AC、BD两两杆杆各各以以匀匀角角速速度度w w分分别别绕绕距距离离为为l的的A、B轴轴作作定定轴轴转转动动，转转向向如如图图。小小圆圆环环M套套在在 AC及及 BD杆杆上上。在在某某一一瞬瞬时时a a=b b=60，求求小小圆圆环环 M在在任任意意瞬瞬时时的的速速度度和加速度。和加速度。解解2：因因所以所以 M点的运动轨迹为一圆周，圆心为点的运动轨迹为一圆周，圆心为O不难算出圆的半径不难算出圆的半径因因AOE为空间固定直线，所以为空间固定直线，所以 例例例例 如如如如图图图图，两两两两辆辆辆辆汽汽汽汽车车车车均均均均匀匀匀匀速速速速前前前前进进进进。A A车车车车沿沿沿沿直直直直线线线线行行行行驶驶驶驶，B B车车车车沿沿沿沿圆圆圆圆周周周周行行行行驶驶驶驶。OAOA=x x0 0-v vA At t,=t t，x x0 0=3000m,=3000m,v vA A=10m/s,=10m/s,=0.05rad/s,0.05rad/s,圆圆周周周周半半半半径径径径R R=1000m=1000m，求求求求：（1 1）t=0t=0瞬瞬瞬瞬时时时时A A车车车车上上上上的的的的乘乘乘乘客客客客看看看看到到到到的的的的B B车车车车的的的的相相相相对对对对速速速速度；度；度；度；（2 2）t=0t=0瞬时瞬时瞬时瞬时B B车上的乘客看到的车上的乘客看到的车上的乘客看到的车上的乘客看到的A A车的相对速度车的相对速度车的相对速度车的相对速度。ARBOARBO 例例例例5 5 OAOA=x x0 0-v vA At t,=t t，x x0 0=3000m,=3000m,v vA A=10m/s,=10m/s,=0.05rad/s,0.05rad/s,R=1000mR=1000m，求求求求：t=0t=0瞬瞬瞬瞬时时时时：(1)(1)A A车车车车上上上上的的的的乘乘乘乘客客客客看看看看到到到到的的的的B B车车车车的的的的相相相相对对对对速速速速度度度度；(2)B(2)B车车车车上上上上的的的的乘乘乘乘客客客客看看看看到到到到的的的的A A车车车车的的的的相相相相对对对对速度速度速度速度。解：解：解：解：（1 1）求）求）求）求t=0t=0瞬时瞬时瞬时瞬时B B车上的乘客看到的车上的乘客看到的车上的乘客看到的车上的乘客看到的A A车的相对速度车的相对速度车的相对速度车的相对速度1 1、选择动点与动系、选择动点与动系、选择动点与动系、选择动点与动系2 2、分析三种运动和速度、分析三种运动和速度、分析三种运动和速度、分析三种运动和速度4 4、求解未知量、求解未知量、求解未知量、求解未知量3 3、作速度平行四边形，如图。、作速度平行四边形，如图。、作速度平行四边形，如图。、作速度平行四边形，如图。动点动点动点动点A A车；车；车；车；动系固结于动系固结于动系固结于动系固结于B B车上；车上；车上；车上；绝对运动沿绝对运动沿绝对运动沿绝对运动沿OAOA的直线运动的直线运动的直线运动的直线运动 相对运动规律未知相对运动规律未知相对运动规律未知相对运动规律未知牵连运动牵连运动牵连运动牵连运动车车车车B B绕绕绕绕O O的定轴转动的定轴转动的定轴转动的定轴转动RABO 例例例例5 5 OAOA=x x0 0-v vA At t,=t t，x x0 0=3000m,=3000m,v vA A=10m/s,=10m/s,=0.0.05rad/s,05rad/s,R=1000mR=1000m，求求求求：t=0t=0瞬瞬瞬瞬时时时时：(1)(1)A A车车车车上上上上的的的的乘乘乘乘客客客客看看看看到到到到的的的的B B车车车车的的的的相相相相对对对对速速速速度度度度；(2)B(2)B车车车车上上上上的的的的乘乘乘乘客客客客看看看看到到到到的的的的A A车车车车的的的的相相相相对对对对速度速度速度速度。解：解：解：解：（2 2）求）求）求）求t=0t=0瞬时瞬时瞬时瞬时A A车上的乘客看到的车上的乘客看到的车上的乘客看到的车上的乘客看到的B B车的相对速度车的相对速度车的相对速度车的相对速度1 1、选择动点与动系、选择动点与动系、选择动点与动系、选择动点与动系2 2、分析三种运动和速度、分析三种运动和速度、分析三种运动和速度、分析三种运动和速度4 4、求解未知量、求解未知量、求解未知量、求解未知量3 3、作速度平行四边形，如图。、作速度平行四边形，如图。、作速度平行四边形，如图。、作速度平行四边形，如图。动点动点动点动点B B车；车；车；车；动系固结于动系固结于动系固结于动系固结于A A车上；车上；车上；车上；绝对运动以绝对运动以绝对运动以绝对运动以R R为半径的圆周运动为半径的圆周运动为半径的圆周运动为半径的圆周运动 相对运动规律未知相对运动规律未知相对运动规律未知相对运动规律未知牵连运动牵连运动牵连运动牵连运动车车车车B B的直线平动的直线平动的直线平动的直线平动RABO例例例例5 5 OAOA=x x0 0-v vA At t,=t t，x x0 0=3000m,=3000m,v vA A=10m/s,=10m/s,=0.0.05rad/s,05rad/s,R=1000mR=1000m，求求求求：t=0t=0瞬瞬瞬瞬时时时时：(1)(1)A A车车车车上上上上的的的的乘乘乘乘客客客客看看看看到到到到的的的的B B车车车车的的的的相相相相对对对对速速速速度度度度；(2)B(2)B车车车车上上上上的的的的乘乘乘乘客客客客看看看看到到到到的的的的A A车车车车的的的的相相相相对对对对速度速度速度速度。讨论：讨论：讨论：讨论：RABO（1 1）由计算结果：）由计算结果：）由计算结果：）由计算结果：可知：可知：可知：可知：在不同车上观察到的相对速度截然不同。在不同车上观察到的相对速度截然不同。在不同车上观察到的相对速度截然不同。在不同车上观察到的相对速度截然不同。讨论：讨论：讨论：讨论：AB（2 2）更进一步，可编程作出两车乘客所观察到的相对运动轨迹。）更进一步，可编程作出两车乘客所观察到的相对运动轨迹。）更进一步，可编程作出两车乘客所观察到的相对运动轨迹。）更进一步，可编程作出两车乘客所观察到的相对运动轨迹。ROxy动点为动点为A，动系固结在，动系固结在B车时：车时：讨论：讨论：讨论：讨论：ABROxy动点为动点为B，动系固结在，动系固结在A车时，车时，相对运动相对运动相对运动相对运动轨迹为：轨迹为：轨迹为：轨迹为：题：题：设设Oxy是是固固定定坐坐标标系系。系系统统由由三三根根不不计计半半径径的的细细杆杆构构成成，初初始始时时刻刻CD杆杆沿沿z轴轴；OB杆杆长长为为a，沿沿x轴轴正正方方向向；AB杆杆长长为为l，开开始始时时先先与与z轴轴平平行行，绕绕x轴轴负负方方向向转转动动角角后后，把把这这三三根根杆杆件件焊焊成成一一个个整整体体，如如图图所所示示。假假设设在在yz平平面面内内有有一一张张纸纸存存在在，为为了了能能让让系系统统持持续续地地绕绕z轴轴以以匀匀角角速速度度转转动动，需需要要在在纸纸上上挖挖出出某某种种形形状状的的空空隙让隙让AB杆通过（这里只考虑杆通过（这里只考虑AB杆）。杆）。（1）如如果果a=0，求求空空隙隙的的函函数数表表达达式式0，并并画出示意图。画出示意图。（2）如如果果a0，求求空空隙隙的的函函数数表表达达式式a，并并画出示意图。画出示意图。0与与a有何关系？有何关系？（3）当当a0时时，设设P是是AB杆杆与与yz平平面面的的交交点点，当当点点P位位于于AB杆杆中中点点且且yP0时时，如如果果要要求求P点点的的速速度度和和加加速速度度，你你如如何何考考虑虑？取取 a=1m，l=4m，=/6，=1rad/s，速度和加速度是多少？速度和加速度是多少？初始时刻的系统位置初始时刻的系统位置P P点轨迹是双曲线（的一部分），点轨迹是双曲线（的一部分），（3）设设P是是AB杆杆与与yz平平面面的的交交点点，当当点点P位位于于AB杆杆中中点点且且yP0时时，求求P点点的的速速度度和和加加速速度度？取取a=1m，l=4m，=/6，=1rad/s（3）求）求P点的加速度？取点的加速度？取a=1m，l=4m，=/6，=1rad/s 分离变量积分，易得：分离变量积分，易得：轨迹为对数螺线轨迹为对数螺线题题.三三名名舞舞蹈蹈演演员员在在舞舞台台上上（视视作作平平面面上上三三点点）组组成成一一正正三三角角形形。音音乐乐一一开开始始，每每一一演演员员即即朝朝向向右右侧侧的的另另一一演演员员以以常常速速率率 v 缓缓慢慢前前进进。问演员走过的轨迹是什么曲线？求某点处的曲率半径。问演员走过的轨迹是什么曲线？求某点处的曲率半径。解解:设三名演员初始时位于设三名演员初始时位于A0、B0、C0，他们之间的距离为，他们之间的距离为a 任意瞬时他们的位置如图。知，三角形任意瞬时他们的位置如图。知，三角形ABC仍是正三角形仍是正三角形动系：绕动系：绕O做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度相同做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度相同动点：动点：A绝对运动：未知曲线，但绝对运动：未知曲线，但va的大小和方向均已知的大小和方向均已知牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动相对运动：直线运动相对运动：直线运动动系：绕动系：绕O做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度相同做定轴转动，角速度与人所在的三角形的角速度相同动点：动点：A？0？0式（式（*）向）向x轴投影轴投影题题.绕铅直轴以等角速度绕铅直轴以等角速度w w缓慢旋转的封闭圆舱中，站在舱底缓慢旋转的封闭圆舱中，站在舱底盘的实验者感不到自己的运动，但抛出的小球的运动却不服从盘的实验者感不到自己的运动，但抛出的小球的运动却不服从牛顿运动定律。设实验者站立处牛顿运动定律。设实验者站立处A距底盘旋转中心距底盘旋转中心O的距离为的距离为 r，请你替他设计一个抛球的初速度（大小，请你替他设计一个抛球的初速度（大小vO，方向与，方向与OA的夹的夹角为角为a a），使得球抛出后能返回来打到实验者身上。试写出），使得球抛出后能返回来打到实验者身上。试写出vO，a a应满足的条件，画出小球相对轨迹示意图（不考虑小球在应满足的条件，画出小球相对轨迹示意图（不考虑小球在铅垂方向的运动，例如，认为小球在光滑的舱底盘上运动）。铅垂方向的运动，例如，认为小球在光滑的舱底盘上运动）。解解:(1)在定坐标系中考虑问题。小球在定坐标系中考虑问题。小球以绝对速度以绝对速度 v 沿直线沿直线 A B运动，如果运动，如果小球到达小球到达 B时，实验者也随底盘沿着时，实验者也随底盘沿着 弧线到达弧线到达B，则小球打在实验，则小球打在实验者身上。者身上。解解:(2)条件为条件为 给定给定 q q，即可求出，即可求出v，即问题有多，即问题有多解。当给定解。当给定v,q q时，可用速度合成定理时，可用速度合成定理求相对速度求相对速度vO及方向及方向a a。(3)小球相对轨迹示意如图小球相对轨迹示意如图.题：题：如图如图,AB杆的杆的A端沿圆槽端沿圆槽O运动运动,B端与轮轴铰接。轮轴沿直端与轮轴铰接。轮轴沿直线轨道只滚不滑。圆槽线轨道只滚不滑。圆槽O半径为半径为R，轮轴内外半径分别为，轮轴内外半径分别为R1、R2。AB长为长为L。图示瞬时，已知。图示瞬时，已知A点速度点速度vA，AB杆中点杆中点M的切向加的切向加速度为零。则此瞬时：速度为零。则此瞬时：（l）P 点的速度点的速度vP大小为大小为 。（2）M 点的加速度大小为点的加速度大小为 。题题.在在运运动动学学中中，轨轨迹迹是是个个重重要要概概念念，但但简简单单机机构构也也可可能能有有复复杂杂的的轨轨迹迹曲曲线线。如如图图，小小齿齿轮轮O1在在大大齿齿轮轮O内内作作纯纯滚滚动动。其其中中大大齿齿轮轮半半径径为为R，小小齿齿轮轮半半径径为为r,E是是小小齿齿轮轮上上的的偏偏心心点点，偏偏心心距距为为e。求求小小齿齿轮上偏心点轮上偏心点E的轨迹。并讨论轨迹的特点。的轨迹。并讨论轨迹的特点。解：解：讨论：讨论：（a）若）若x x为无理数，则轨迹曲线不封闭；为无理数，则轨迹曲线不封闭；（b）若若x x为为有有理理数数，则则轨轨迹迹曲曲线线封封闭闭。进进一一步步，设设 ，m，n为为不不可可约约自自然然数数，则则曲曲线线的的周周期期为为2n p p。或或小小齿齿轮轮转转n 圈圈后后曲曲线线重重合。并且曲线有合。并且曲线有m个尖点或花瓣；个尖点或花瓣；（c）h h=1时时曲曲线线有有尖尖点点。h h 1时时尖尖点点变变为为圆圆凸凸，h h l时时曲曲线线的的尖尖点变为花瓣。点变为花瓣。h h=0时曲线为圆；时曲线为圆；（d）x x=2，h h=1时曲线退化为直线。时曲线退化为直线。x x=1，曲线退化为一个点。，曲线退化为一个点。运动学反问题：运动学反问题：1、设计一个机构，使其能画出一条直线（可参考上例讨论、设计一个机构，使其能画出一条直线（可参考上例讨论d）2、设计一个机构，使其能画出一个椭圆、设计一个机构，使其能画出一个椭圆 （哈工大理论力学第（哈工大理论力学第7版例版例5-1）3、设计一个机构，使其能画四叶玫瑰线（下图）：、设计一个机构，使其能画四叶玫瑰线（下图）：（可参考上例讨论（可参考上例讨论b）