信号与线性系统分析吴大正PPT学习教案

会计学1信号与线性系统分析吴大正信号与线性系统分析吴大正 什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？系统的概念第一章第一章 信号与系统信号与系统信号的概念 第1页/共629页l 消息 (message):l 信息 (information):l 信号 (signal):人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。通常把消息中有意义的内容称为信息。本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。信号是信息的载体，通过信号传递信息。第2页/共629页 信号我们并不陌生。如 刚才铃声声信号，表示该上课了； 十字路口的红绿灯光信号，指挥交通； 电视机天线接受的电视信息电信号； 广告牌上的文字、图象信号等等。第3页/共629页 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。l 一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。 如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。l 系统的基本作用是对信号进行传输和处理。系统输入信号激励输出信号响应？第4页/共629页信号处理对信号进行某种加工或变换。目的：l消除信号中的多余内容；消除信号中的多余内容；l滤除混杂的噪声和干扰；滤除混杂的噪声和干扰；l将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。和选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。第5页/共629页信号传输通信的目的是为了实现消息的传输。l原始的光通信系统古代利用烽火传送边疆警报；l声音信号的传输击鼓鸣金。l利用电信号传送消息。1837年，莫尔斯()发明电报；1876年，贝尔()发明电话。l利用电磁波传送无线电信号。1901年，马可尼()成功地实现了横渡大西洋的无线电通信；全球定位系统GPS(Global Positioning System)；个人通信具有美好的发展前景。第6页/共629页为传送消息而装设的全套技术设备第7页/共629页信号的描述几种典型确定性信号信号的分类第8页/共629页信号：是信息的一种物理体现，它一般是随时间位信号：按物理属性分：电信号和非电信号，它们可电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法：本课程讨论电信号-简称“信号”。（2）信号的图形表示-波形（1）表示为时间的函数“信号”与“函数”两词常相互通用。置变化的物理量。以相互转换。第9页/共629页l 按实际用途划分：电视信号、雷达信号、控制信号、通信信号 信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。l 按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号；周期信号和非周其信号； 能量信号和功率信号；一维信号和多维信号； 因果信号与反因果信号；实信号与复信号； 左边信号与右边信号。第10页/共629页可用确定的时间函数表示的信号：f(t)随机信号：确定性信号：伪随机信号： 貌似随机而遵循严格规律产生的信号：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。但实际传输的信号是不确定的，常受到各种干扰及噪声的影响。取值具有不确定性的信号：伪随机码。 第11页/共629页l连续时间信号：在一定的连续的时间范围内，对于值域连续值域不连续任意的时间值，都有对应的函数值 “连续”指函数的定义域时间连续，但可含间断点简称连续信号。，至于值域可连续也可不连续。第12页/共629页仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号。 定义域时间是离散的离散点间隔离散时刻tk(k = 0,1,2,)有定义 Tk= tk+1-tk可以相等也可不等；其余时间无定义。通常取等间隔T，表示为f(kT)，简写为f(k)；等间隔的离散信号称为序列，其中k称为序号。第13页/共629页用表达式可写为： k，k，k,k,k,.k,k,kf其他04130221510211)(或写为：f(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，k=0 对应某序号k的序列值称为第k个样点的“样值”。 第14页/共629页数字信号：模拟信号：抽样信号：量化Ot tf抽样连续信号幅值时间均连续时间幅值离散连续时间幅值均离散离散信号模拟信号数字信号第15页/共629页 定义在(-，)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。第16页/共629页连续周期信号举例例 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint分析 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。解答第17页/共629页（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2。（2） cos2t 和sint的周期分别为T1= s， T2= 2 s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。第18页/共629页离散周期信号举例1例 判断正弦序列f(k) = sin(k)是否为周期信号，若是，确定其周期。解 f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0,1,2,mN)mN)sinsin (k (k 2 2 m mk k sinsin式中称为数字角频率，单位：rad。由上式可见： 仅当2/ 为整数时，正弦序列才具有周期N = 2/ 。当2/ 为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N= M(2/ )，M取使N为整数的最小整数。当2/ 为无理数时，正弦序列为非周期序列。第19页/共629页离散周期信号举例2例 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3kk) （2）f2(k) = sin(2k)解 （1）sin(3k/4) 和k)的数字角频率分别为 1 = 3/4 rad， 2 = 0.5 rad由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4为有理数，故它们的周期分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 1 = 2 rad；由于2/ 1 = 为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。第20页/共629页由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。例1例2例3连续周期信号示例离散周期信号示例1离散周期信号示例2第21页/共629页 将信号f (t)施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2，在区间( , )的能量和平均功率定义为（1）信号的能量E ttfEd)(2def（2）信号的功率P 222defd)(1limTTTttfTP 若信号f (t)的能量有界，即 E ,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时 P = 0 若信号f (t)的功率有界，即 P 0，则将f ()右移；否则左移。如：第36页/共629页 将 f (t) f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。t 2t 压缩t 0.5t 扩展离散信号：由于 f (a k) 仅在为a k 为整数时才有意义， 进行尺度如：若a 1 ，则波形沿横坐标压缩；若0 a 1 ，则扩展 。变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。第37页/共629页例1例3平移与反转相结合平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。 abtafbatftf例2平移与尺度变换相结合注意：l 对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；意一切变换都是相对t而言；对逆运算，反之。l 混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注第38页/共629页平移与反转平移与反转相结合相结合举例例 已知f (t)如图所示，画出 f (2 t)。 解答 法一：先平移f (t) f (t +2) 再反转 f (t +2) f ( t +2)法二：先反转 f (t) f ( t) 再右移 f ( t) f ( t +2)左移右移= f (t 2)第39页/共629页平移与展缩平移与展缩相结合相结合举例例 已知f (t)如图所示，画出 f (3t + 5) 解答Ot)(tf1 11t)5( tf6 14 5 Ot)53( tf12 34 时移 尺度变换尺度变换时移第40页/共629页平移、展缩、反折平移、展缩、反折相结合相结合举例例 已知f (t)如图所示，画出 f (- 2t - 4)。 解答压缩，得f (2t 4)反转，得f ( 2t 4)右移4，得f (t 4)第41页/共629页压缩，得f (2t)右移2，得f (2t 4)反转，得f ( 2t 4)第42页/共629页Ot tf2 2 Ot1 2 tf 1 2 2 Ot tf2 2 Ot1 tf d2 2 ddd tfttftf积积分分：，微微分分：冲激信号第43页/共629页l 阶跃函数；l 冲击函数；l 阶跃序列和单位样值序列。 函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。第44页/共629页电路如图：持续下去。1. 定义 00)0(1)(tttut)(tu在t=0时刻，电路接入电源，波形图如上图：注意：在t=0处，发生跳变,未定义或1/2。单位阶跃函数1且无限第45页/共629页0 ,10)(0000 ttttttt 0 , 1 0)(0000 ttttttt 0100)(ttt 第46页/共629页（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = (t) -(t-T) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间 (a)(b)f (t)f(t) (t)oottot(c)f(t) (t- -t1)- - (t- -t2)t1t2（3）积分 )(d)(ttt f(t) t1Tf(t) t 1 第47页/共629页 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，l 矩形脉冲演变为冲击函数；l 狄拉克（Dirac)定义定义；l 冲击函数与阶跃函数关系；l 冲击函数的性质。作用时间极短一种物理量的理想化模型。第48页/共629页)(lim)(0deftpt 1含义：宽为 ,高为/1 ,面积为1 变化： 面积1不变，脉冲宽度 脉冲幅度 t 0单位冲击函数函数，在t=0点有一“冲激”，在t=0点以外各处，函数值为零。)(t 0 /1 注意：如果矩形面积=E，)(t )(t E冲激强度为E矩形脉冲 如右图： )(tp )(tp 第49页/共629页 1d)(0 0)(tttt 1d)(d)(00 tttt 函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1； t =0 时， ，为无界函数。 t 第50页/共629页tttd)(d)( tt d)()(求导积分第51页/共629页f(t) = 2(t +1)-2(t -1)f(t) = 2(t +1)-2(t -1)求导第52页/共629页l 取样性l 冲击偶l 尺度变换l 复合函数形式的冲击函数第53页/共629页)()0()()(tftft 对于平移情况： )(d)()(00tfttftt 如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有 )0(d)()(fttft )()()()(000tttftttf 第54页/共629页取样性证明分t = 0和t 0 两种情况讨论 1. 当t 0 时，(t)= 0，f(t)(t)= 0，积分结果为0 2. 当t = 0 时，(t) 0，f(t)(t)= f(0)(t) ， 00)0(d)()0(d)()0( fttfttf 积积分分为为 )0(d)()( fttft 即即)()0()()(tftft 第55页/共629页取样性质举例)(22)()4sin()()4sin(tttt ?d)1()4sin(03 ttt ?d)()4sin(91 ttt ?d)(211 t?d)()1(12 t 022 其其它它, 011,2tt(t) )(e2)()(e2)(e)(edd2222tttttttttt 22d)()4sin( ttt 第56页/共629页S(t)tt)(/t 0 0 求导t)(t S/(t)t2/1 2/1 /1 求导第57页/共629页)0( d)()( fttft dtttfttf)()( )()( dttft)()( f(t)(t) = f(0)(t) f (0) (t) 证明 f(t)(t) = f(t)(t) + f (t) (t) f(t)(t) = f(t)(t) f (t) (t) = f(0)(t) f (0) (t) 证明 )0( f )()0()()(tftft )0(d)()(fttft 第58页/共629页)0( d)()( fttft )0()1(d)()()()(nnnfttft )( d)()( 00tfttftt (n)(t)的定义：(t)的平移： tttt d)( 0d)(tt 不能按常规函数对待t)(/t +、-面积抵消第59页/共629页)(1|1)()()(taaatnnn taat 1 证明 taaat 11推论:(1)(|1)(taat )(|1)(00attatat(2t (t) )()1()()()(ttnnn 当a = 1时 ( t) = (t) 为偶函数， ( t) = (t)为奇函数举例(2)第60页/共629页冲激信号尺度变换的证明Ot tp 12 2 Ot atp 1a2 a a2 , 0时时 ,ttp)()( )(1)(taatp 从 定义看： )(t p(t)面积为1， 强度为1 t p(at)面积为 ， 强度为 a1a1 at 第61页/共629页冲激信号尺度变换举例例1?d)2)(5(2ttt54的的波波形形。请请画画出出的的波波形形，已已知知信信号号)()25(tftf 例2第62页/共629页已知f(t)，画出g(t) = f (t)和 g(2t) 求导 o2tf (t)-24(4)o2tg(t) = f (t)-2-1(2)o1tg(2t)-1-1压缩第63页/共629页 实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，n) ttftftftd)(d)()(dd )(dd)( 1)(tfttftf (t2 4)=1 (t+2)+(t 2)f (t)t- -4- -22o1 f (t) 2- -2tof(t)图示说明 例f(t)= t2 4 第64页/共629页)2(41)2(41)2(221)2(221)2()2(21)4(dd21422ttttttttttt一般地，niiitttftf1)()( 1)(这表明，f(t)是位于各ti处，强度为 的n个冲激函数构成的冲激函数序列。 )( 1itf)21(41)21(41)14(2 ttt 注意：如果f(t)=0有重根，f(t)无意义。 ( t 2 4) =1 (t+2)+(t 2)第65页/共629页（1）取样性 )0(d)()(ftttf )()0()()(tfttf （2）奇偶性 )()(tt （3）比例性 taat 1)( （4）微积分性质tttd)(d)()(d)(tt（5）冲激偶 0d)(tt tttt)(d)( )()0()()0()()(tftfttf )0(d)()(ftttf 第66页/共629页)(k 这两个序列是普通序列-非奇异函数1. 单位(样值)序列(k) 0, 00, 1)(defkkk 取样性质：f(k)(k) = f(0)(k)0()()(fkkfk f(k)(k k0) = f(k0)(k k0) 例?)( kk ?)()5( kkk ?)( iik 定义k1-1-2201第67页/共629页 0, 00, 1)(defkkk o11-1k (k)23(k)与(k)的关系(k) = (k) (k 1) kiik)()( 或 0)()(jjkk (k) = (k)+ (k 1)+定义第68页/共629页l 系统的分类l 系统的数学模型l 系统的框图描述第69页/共629页1.广义定义：是一个由若干个有相互关联的单元组合而成的具有特定功能的整体。如：通信系统、控制系统、计算机系统，但要注意其概念很宽泛，不仅仅限于电路、通信等方面课程：电路、网络、系统通用2.系统的分类： 可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。第70页/共629页 连续系统与离散系统 动态系统与即时系统 但输入单输出与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统 时不变与时变系统 因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统常用分类方法：第71页/共629页 连续(时间)系统：系统的激励和响应均为连续信号； 离散(时间)系统：系统的激励和响应均为离散信号； 混合系统：连续系统与离散系统的组合；是连续信号，一个为离散信号。 如A/D，D/A变换器，系统的激励和响应一个是.连续系统与离散系统第72页/共629页 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。 如：含有记忆元件(电容、电感等)的电路是动态系统 否则称：即时系统或无记忆系统（电阻串并联）。 .动态系统与即时系统课程：动态系统 第73页/共629页 连续系统解析描述：微分方程 离散系统解析描述：差分方程第74页/共629页 图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL和VAR列方程，并整理得22dddd(0 )(0 )CCCSCCuuLCRCuuttuu，二阶常系数线性微分方程)()(d)(dd)(d01222tftyattyattya抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统第75页/共629页其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为)()(d)(dd)(d22tftkxttxCttxM 能用相同方程描述的系统称为：物理系统不同： 数学模型相同第76页/共629页例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元/月，求第k个月初存折上的款数。 设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为y(k-1),则 y(k)= y(k-1)+y(k-1)+f(k) 即： y(k)-(1+)y(k-1) = f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。 上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。第77页/共629页l 连续系统的基本单元l 离散系统的基本单元l 系统模拟系统的模型（微分方程、差分方程）：微分差分运算包含表示单元符号并连接成系统加法乘法第78页/共629页延时器加法器积分器数乘器乘法器注意：没有微分器？实际：用积分单元代替第79页/共629页加法器迟延单元数乘器第80页/共629页实际系统方程模拟框图 实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计例1例2例3例4方程框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。第81页/共629页由微分方程画框图例1例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画框图。解：将方程写为 y”(t) = f(t) ay(t) by(t)第82页/共629页由微分方程画框图例2例2 请画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。)(d)(d)(2d)(d3d)(d22tfttftyttytty)(d)(d)(2d)(d3d)(d22tfttftyttytty解：ttfttfttyttytyd)(d)(d)(2d)(3)( 32 第83页/共629页解2：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数x(t)满足 x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推导出 y(t) = x(t) + x(t)，它满足原方程。第84页/共629页例3由框图写微分方程例3：已知框图，写出系统的微分方程。设辅助变量x(t)如图x(t)x(t)x”(t)x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x(t)+ 3x(t)根据前面，逆过程，得y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t)第85页/共629页例4由框图写差分方程例4：已知框图，写出系统的差分方程。解：设辅助变量x(k)如图x(k)x(k-1)x(k-2)即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2)第86页/共629页l 系统的特性l 系统的分析方法第87页/共629页 连续系统与离散系统 动态系统与即时系统 但输入单输出与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统 时不变与时变系统 因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统常用分类方法： 系统的特性 线性性质 时不变性 因果性 稳定性第88页/共629页 y(t):系统的响应、f(t):系统的激励 线性性质：齐次性和可加性可加性：齐次性：f() y() y() = T f () f () y() a f() a y() f1() y1() f2() y2() f1() +f2() y1()+y2() af1() +bf2() ay1()+by2() 综合，线性性质：第89页/共629页 动态系统响应不仅与激励 f () 有关，而且与可分解性 零状态线性 y () = T f () , x(0) yzi()=T0，x(0)， yzs() = T f () , 0零输入线性 动态系统是线性系统，要满足下面3个条件：系统的初始状态x(0)有关, 初始状态也称“内部激励”。第90页/共629页可分解性： y () = yzi()+ yzs() 零状态线性： Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0 y () = T f () , x(0) yzi()=T0，x(0)， yzs() = T f () , 0零输入线性：T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)举例1举例2线性系统（连续、离散） 线性微分（差分）方程 第91页/共629页判断线性系统举例例1：判断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1显然， y (t) yzs(t) yzi(t) 不满足可分解性，故为非线性（2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t) 满足可分解性；由于 Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t) 不满足零状态线性。故为非线性系统。（3） yzi(t) = x2(0)，T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。第92页/共629页xxfxxtyttd)()sin()0(e)(0解：xxfxtyxtytzstzid)()sin()(),0(e)(0y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 满足可分解性；Ta f1(t)+ b f2(t) , 0 xxfxxxfxxxfxfxtttd)()sin(bd)()sin(ad)(b)()asin(0201021= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满足零状态线性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。第93页/共629页 时不变系统：系统参数不随时间变化线性系统时不变常系数微分方程时变变系数微分方程线性时不变系统：yzs() = T f () , 0yzs( t-td) = T f (t-td) , 0yzs(k-kd) = T f (k-kd) , 0第94页/共629页 f(t - td) yzs(t - td) f(t ) yzs(t ) 举例第95页/共629页判断时不变系统举例例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yzs(k) = f (k) f (k 1) （2） yzs (t) = t f (t) （3） y zs(t) = f ( t)解 (1) 令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而 yzs (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 显然 T0，f(k kd) = yzs (k kd) 故该系统是时不变的。 (2) 令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而 yzs (t td)= (t td) f (t td) 显然T0，f(t td) yzs (t td) 故该系统为时变系统第96页/共629页(3) yzs(t) = f ( t) 令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而 yzs (t td) = f ( t td) 显然 T0，f(t td) yzs (t td) 故该系统为时变系统直观判断方法： 若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 第97页/共629页本课程重点：讨论线性时不变系统。（2）微分特性： 证明(Linear Time-Invariant)，简称LTI系统。（1）线性性质：齐次性和可加性(3) 积分特性：若 f (t) yzs(t) f (t) yzs (t) 若 f (t) yzs(t) ttzsdxxydxxf)()(第98页/共629页 因果系统：即因果系统: 激励是原因，响应是结果，响应是不输出不超前于输入。 判断方法：举例综合举例指零状态响应不会出现在激励之前的系统。有t t0 ，yzs(t) = 0t =t0时f(t)加入： 可能在激励施加之前出现的。第99页/共629页因果系统判断举例如下列系统均为因果系统： txxftyzsd)()(yzs(t) = 3f(t 1)而下列系统为非因果系统：(1) yzs(t) = 2f(t + 1)(2) yzs(t) = f(2t)因为，令t=1时，有yzs(1) = 2f(2)因为，若f(t) = 0， t t0 ，有yzs(t) = f(2t)=0, t 0.5 t0 。第100页/共629页 实际的物理可实现系统均为因果系统 非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。 若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。 因果信号( )( ) ( )f tf tt0,( )0tf t可表示为：t = 0接入系统的信号称为因果信号。第101页/共629页 一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yzs(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即 若f(.)，其yzs (.)0后：. 起始条件yzi(0+)若有，利用函数匹配法t0后：有输入微分方程=右端有没有函数其中：Czij要由起始条件yzi(j)(0+)定 yzi（j) (0+) = yzi (j)(0-) = y (j)(0-)类似电路中的换路定则yzs(0+)由 0-、f(t)共同决定零输入响应 nitzijziieCy1 f(t)=0 t=0-yzi(j) (0-)存在第124页/共629页零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应举例举例例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f (t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t) 求该系统的零输入响应和零状态响应。 解yzi(t)形式同齐次方程： yzi ”(t) + 3yzi (t) + 2yzi (t) = 0齐次方程的特征根为 ： 1， 2 yzi ,(0+)=yzi ,(0-)= y,(0-) yzi(0+)=yzi(0-)= y(0-)零输入响应： yzi (t) = Czi1e t + Czi2e 2t Czi1 Czi2 由 yzi ,(0+)、yzi(0+)决定解得系数：Czi1=4 ,Czi2= 2（1）零输入响应yzi(t)第125页/共629页零状态响应零状态响应y yzszs(t)(t)yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0 （2）零状态响应yzs(t) 满足下列方程y zs(t)解的形式：同非齐次方程，由两部分组成形式同齐次方程的解特解（满足非齐次方程）yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e -2t+C (对t0后y zs”(t) + 3yzs (t) + 2yzs(t) = 6) yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) yzs(0-) = yzs(0-) = 0 第126页/共629页零状态响应零状态响应y yzszs(t)(t)Czs1 Czs2 : 由yzs(0+) 及yzs ,(0+)定y zs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs (t) = 6yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e -2t+C yzs(t)中有3各系数待定：Czs1 , Czs2 , CC 应满足：带入方程求得： C=3 yzs (0+) = ？yzs (0+) = ？由函数匹配法定： 法一：分析+直接积分第127页/共629页 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 右端有(t)微分方程积分得：yzs”(t)含有(t)yzs(t)跃变yzs(t)在t = 0连续yzs(0+)yzs(0-)yzs(0+) = yzs(0-) = 0yzs(0+)- yzs(0-)+ 3yzs (0+)- yzs(0-)+2 0000)(62)(dttdttyzs 因此，yzs(0+)= 2 + yzs(0-)=2 第128页/共629页 对t0时: yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 yzs(0+)= 2 + yzs(0-)=2 注意：yzi(t)、yzs(t) 顺序问题？第129页/共629页例1：已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)求该系统的零输入响应和零状态响应。 已知y(0+)=3，y(0+)=1，f(t)=(t) 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 例2： 零输入响应：yx (t) = Cx1e t + Cx2e 2t 零状态响应：yf(t)=Cf1e-t + Cf2e -2t+C 其中Cx1 Cx2 由 yx (0+)、yx(0+)决定，而 yx（j) (0+) = yx (j)(0-) = y (j)(0-) 其中 Cf1 Cf2 由 yf (0+)、yf (0+)决定yf (j)(0+)利用函数匹配法例1微分方程yf(j)(0-)=0 与y(j)(0)无关第130页/共629页同例1 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 y（j) (0+) = yx (j)(0+) + yf (j)(0+) 例2 首先求出yf(t)yf(j)(0+)yx(j)(0+) 解： 零状态响应yf (t) 求得： yf(0+)= 0 yf/(0+)=2 利用 y（j) (0+) = yx (j)(0+) + yf (j)(0+)求得： yx(0+)= 3 yx/(0+)=-1 yx (t) = Cx1e t + Cx2e 2t 零输入响应yx(t)第131页/共629页yx (t) = 4e t 2e 2t ,t 0 例3：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) f(t)=(t)时， 求零状态响应。 分析：LTI 系统零状态响应：线性和微分特性 设f(t) 作用于系统：零状态响应yf1(t)根据LTI系统微分特性： yf1(t) = T0, f(t) 即：满足y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = f(t) yf1/ (t) = T0, f /(t) 根据LTI系统线性特性： yf(t)= 2yf1/ (t)+6yf1 (t) 第132页/共629页冲激响应求解冲激响应求解举例举例2解 （1）零输入响应同上：例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t) 求该系统的零输入响应和零状态响应。 故令 yzs”(t) = a (t) + r1(t) yzs(t) = r2(t) yzs(t) = r3(t) ri(t) 为不含(t) 的某函数代入式(1)，有 （2）零状态响应yzs(t)满足方程 -方法二 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) (1) yzs(0-) = yzs(0-) = 0 第133页/共629页利用(t) 系数匹配，得 a =2 所以 yzs(t) = r3(t) （2） yzs(t) = r2(t) （3） yzs”(t) = 2(t)+ r1(t) （4）对式(3)从0-到0+积分得 yzs(0+) yzs(0-) =0对式(4)从0-到0+积分得 yzs(0+) yzs(0-) =2故 yzs(0+) = 0， yzs(0+) =2a(t) + r1(t) + 3r2(t) + 2r3(t)=2(t)+6(t)yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) (1) yzs(0-) = yzs(0-) = 0 第134页/共629页概述：1. 学习了2种求LTI系统响应的方法自由响应+强迫响应零输入相应+零状态响应 下面一节的内容，针对零状态响应的求取，找寻一种好方法。第135页/共629页2. 把一激励信号（函数），分解为冲击函数或阶 冲击响应 阶跃响应跃函数之和(积分），只要求出了系统对冲击函数或阶跃函数的响应，利用LTI 系统的特性，在系统的输出端，叠加得到系统总的零状态响应，那么系统对冲击或阶跃信号的零状态响应，就是下面要学习的内容。第136页/共629页1定义 由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T0,(t) 第137页/共629页冲激响应的数学模型对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示 )()()()()()()()(0111101111tbtbtbtbthathathathmmmmnnn令 f(t)=(t) 则 y(t)=h(t)响应及其各阶导数(最高阶为n次)激励及其各阶导数(最高阶为m次)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d0111101111tfbttfbttfbttfbtyattyattyattymmmmmmnnnnn第138页/共629页 )()()()()()()()(0111101111tbtbtbtbthathathathmmmmnnn例:当特征根均为单根时 由于(t)及其导数在 t0+ 时都为零，因而方程式 及其各阶导数。及其各阶导数。应包含应包含时，时，当当；中应包含中应包含时，时，当当及其各阶导数；及其各阶导数；不含不含时，时，当当tthmntthmntthmn 与n, m相对大小有关 与特征根有关举例右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 )()(1tecthnitii 第139页/共629页解：)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tttthtthtth 求特征根3, 1034212 冲激响应)()ee()(321tCCthtt 例1 求系统的冲激响应 )(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tfttftyttytty mnmn , 1, 2 中中不不包包含含冲冲激激项项th带(t)两种求待定系数方法：平衡求0+法 奇异函数相平衡求待定系数法第140页/共629页)()e(e21)(3tthtt )()()2()()()()1()()(2)()(321, ,trthtrtthtrttth ，代入h(t)，确定系数C1,C2，得注意：系数a 同注意：系数a 同代入微分方程，利用(t) 系数匹配: a=1 b=-2所以：对式(1)从0-到0+积分得: h, (0+) h,(0-) = 2 000)( dtt， 对式(2)从0-到0+积分得: h(0+) h(0-) =11)0(2)0( hh， trthtrtatthtrtbtatth32122dddd 设设第141页/共629页 )(ee)(321tCCthtt )(e3e)()(e3e)(ee)( 32121321321tCCtCCtCCtCCthtttttt tCCtCCtCCthtt e9e33212121 )(),(),(代代入入原原方方程程将将ththth )(2)()(0)(3)(2121ttttCCtCC 2121231212121CCCCCC )( ee21)(3tthtt 根据系数平衡，得不用求 h(0+)、h ,(0+)第142页/共629页 )(ee)(3211tCCthtt 解：求冲击响应 )(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tfttftyttytty 设h1(t)满足简单方程)()(3d)(d4d)(d11212tthtthtth 00 1011 hh )(ee213ttt 将边界条件代入h1(t)式，解得 C1=1/2， C2=-1/2，)(2d)(d)(11thtthth 则由系统的线性时不变特性 )(ee21)(31tthtt 第143页/共629页冲激响应求解冲激响应求解举例举例2 例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 解 根据h(t)的定义 有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求h(0+)和h(0+)。由方程可知， h(t) 中含(t)故令 h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ r1(t) h(t) = a(t) + b(t) + r2(t) h(t) = a(t) + r3(t) ri(t) 为不含(t) 的某函数代入式(1)，有第144页/共629页a”(t) + b(t)+ c(t) + r1(t) + 5a(t) + b(t) + r2(t) + 6a(t) + r3(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得a”(t)+ (b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + r1(t)+5 r2(t)+6 r3(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以 h(t) = (t) + r3(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + r2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ r1(t) （4）对式(3)从0-到0+积分得 h(0+) h(0-) = 3对式(4)从0-到0+积分得 h(0+) h(0-) =12故 h(0+) = 3， h(0+) =12第145页/共629页微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始条件 h(0+) = 3， h(0+) =12求得C1=3，C2= 6, 所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0结合式(2)得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t)对t0时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0第146页/共629页第147页/共629页g(t)= T (t) ，0tt0,对因果系统：积分，注意积分限：阶跃响应是冲激响应的线性时不变系统满足微、积分特性ttttd)()(ttgthhtgtd)(d)(,d)()(第148页/共629页 信号的时域分解与卷积积分 卷积的图解法第149页/共629页1信号的时域分解 预备知识问 f1(t) = ? p(t)直观看出)(A)(1tptf 12 2 2 2 第150页/共629页 kktpkftf)()()( 考虑：任意f(t)用许多窄脉冲表示出来如图：第k个窄脉冲出现的时刻：k“0”号:脉冲高度f(0) ,宽度为，用p(t)表示为：f(0) p(t)“1”号: 脉冲高度f() ,宽度为，用p(t - )表示为： f( ) p(t - ) d)()()()(lim0tftftf k信号f(t)分解为冲击函数叠加第151页/共629页yzs (t)f (t)根据h(t)的定义：(t) h(t) 由时不变性：(t -)h(t -)f ()(t -)由齐次性：f () h(t -)由叠加性： d)()( tf d)()( thff (t)yzs(t) d)()()( thftyzs卷积积分第152页/共629页 已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(t)dtfftf)()()(21为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 例)()(d)()()(thtfthftyzs 变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。 和f2(t)，则定义积分 f(t)= f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分第153页/共629页dtfftftf)()()(*)(2121卷积过程可分解为四步：（1）换元： t 换为得 f1()、 f2()（2）反转平移：由f2()反转 f2()平移 t f2(t-)（3）两信号重叠部分相乘： f1() f2(t-) （4）相乘后图形积分： 从 到对乘积项积分。注意：t为参变量例第154页/共629页图解法计算卷积图解法计算卷积举例举例例1 f (t) 、h(t) 如图所示，求yzs(t)= h(t) * f (t) 解h(t)函数：换元为h() f (t)函数：换元为f ()、反折h()f (-)f (t)h(t)tt12122并平移t22t f (t-)h()第155页/共629页图解法计算卷积图解法计算卷积举例举例(2) 0t 1 t0 f (t-) ： dtfhtfthtyzs)()()()()( yzs(t)=0 f (t-)2th() tzstdty024121)( (3) 1t 2412121)(1 ttzstdty 21h()t1h()tf(t)1t0 ,h()=0第156页/共629页图解法计算卷积图解法计算卷积举例举例(4) 2t 3 dtfhtfthtyzs)()()()()(5) 3t +0)( tyzs 21243214121)(tzsttdty h()t323tt-1h()2第157页/共629页f1(t)t-222解f1(t)函数：换元为f1() f2(t)函数：换元为f2() 、反折、移位tf2(t)t2f2(-)-2f1()2-22tf2(t-)第158页/共629页f1()2-22（1）- t -2 没有重叠，f(t)=0（2）-2 t 0tf2(t-)f1()f2(t-)-2 t tttddtfftf2221)2(23432)()()( （3）0 t 2f1()f2(t-)tt-2 ttttddtfftf22213432)()()( 第159页/共629页（4）2 t 42f1()f2(t-)tt-2 2 222221)4(23432)()()(tttddtfftf （5）4 t 没有重叠，f(t)=0f 2(t-)f 1()4第160页/共629页卷卷 积积 计计 算算例3 f1(t)=3e-2t() ，f2(t)=2(t)求 f(t)=f1(t)*f2(t)3e-2()2(t-)t解： dtetf)(2)(3)(2分析：（1）t0 即 0（4）积分限：0-3(t-5) ：-3 ,t2(t+3) *(t-5)=(t-2)(t-2)1. (t+3) *(t-5)第172页/共629页 (t+3) *(t-5)例1解：方法二. (t) *(t)=t(t)(t+3) *(t-5)=t(t)*(t+3-5)分析： =t-（-3）-5)利用性质及结论 f1(t-t1)*f2(t-t2) =f(t-t1-t2) = (t-2)(t-2)第173页/共629页1. 若 f(t)= f1(t)*f2(t) = f1(t)*f2(t) 则 f（1）(t)= f1（1）(t)*f2(t) = f1(t)*f2（1）(t) 证明：f（1）(t)= (1)121212( )()( )()( )( )ddff tdff tf tftdtdt同理：f（1）(t)= (1)212112( )()( )()( )( )ddff tdff tftf tdtdt第174页/共629页12( )()tffxddx12( )()tffxdx dd)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff若 f(t)= f1(t)*f2(t) = f1(t)*f2(t)2.则 证明：f(-1)(t)=12( )() ()tffxd xd= f1(t)*f2 (1)(t)第175页/共629页21( )()tff xddx121212( )( )( )( )lim( )( )ttd ffdf tf tf tf td3. 在f1( ) = 0或f2(1)() = 0的前提下， 同理：f(-1)(t)= f2(t)*f1(-1)(t)= f1（-1）(t)*f2 (t)f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 12lim( )( )0tf tf tf1(- )= f2(- ) =0 第176页/共629页(1)( 1)(1)( )( )( )( )( )( )( )zsytf th tfthtftg t例1杜阿密积分：LTI系统：(1)( ) ()fg td（1）利用定义式直接进行积分：对于容易求积分的函 数比较有效。如指数函数、多项式函数等。（2）图解法：特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质