浙江省2022届高考数学总复习 专题03 导数优质考卷分项解析

浙江省2022届高考数学总复习 专题03 导数优质考卷分项解析一基础题组1.【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】设为正数，若在区间不大于0，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】求导得到函数在区间递增，只要满足就可以算出结果【详解】【点睛】运用导数求得函数的单调性，然后满足题意列出不等式即可算出结果，本题较为基础.2.【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】已知函数，则函数的最小的极值点为_；若将 的极值点从小到大排列形成的数列记为，则数列的通项公式为_.【答案】 或【解析】【分析】求导后令导函数等于零求出最小极值点，结合三角函数的零点分类求出数列的通项公式【详解】，或，显然数列的，当为偶数时，当为奇数时，综上所述，【点睛】本题考查了含有三角函数的极值问题，运用导数求导后结合三角函数的周期性求出极值，按照要求分类讨论出极值点的通项，还是需要探究出其规律。3.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（ ）A 是的极大值点B 是的极小值点C 不是的极值点D 是的极值点【答案】B【解析】分析：从图像看，在上，为增函数，在上，是减函数，故可判断为的极小值点点睛：函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意 ，有（）” 另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点4. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】函数的图象大致是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】利用导数法分析函数的单调性，再结合函数的零点个数，排除错误答案即可【详解】【点睛】本题主要考查了函数的图像，依据函数求出零点，运用导数判断其单调性和极值，从而得到答案5. 【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：先转化为，再转化为，再求g(x)的最大值得解. 详解：原不等式可以化为，设f(x)=,所以，所以只有a+40，才能有恒成立.此时,设g(x)=所以所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，考查利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是原不等式可以化为，求,其二是设g(x)=求g(x)的最大值.6. 【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数（ ）A 有极大值，没有最大值 B 没有极大值，没有最大值 C 有极大值，有最大值 D 没有极大值，有最大值【答案】A【解析】分析：根据导函数点图象，得出当时，函数先增后减；当时，函数先减后增，即可得到结论.详解：由题意，函数的图象可知，当时，函数先增后减；当时，函数先减后增，所以函数有极大值，没有最大值，故选A. 7. 【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】已知 a0 且 a1，则函数 f (x)(xa)2lnx（ ）A 有极大值，无极小值 B 有极小值，无极大值C 既有极大值，又有极小值 D 既无极大值，又无极小值【答案】C【解析】分析：对函数求导，令，得或，根据函数的图象可得方程有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到函数既有极大值，又有极小值.详解：由题意，由，得或，由方程，结合函数图象，作出和的图象，结合图象得和的图象有交点，方程有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到：函数 既有极大值，又有极小值具有极大值，也有极小值，故选C.8. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】已知函数（）在上为增函数，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题函数为增函数，则 在上恒成立，则，设则令得到 ，可知函数 在上单调递增，在 上单调递减，则， 即的取值范围是，选A9. 【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】已知函数，则（ ）A 当时，在单调递减 B 当时，在单调递减C 当时，在单调递增 D 当时，在单调递增【答案】D【解析】分析：求导然后分析函数单调性根据a，b取值情况，重点分析最值即可得出原函数的单调情况，从而得出结论 10. 【浙江省台州中学2018届高三模拟】当时，则下列大小关系正确的是（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：由得到，要比较与的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出与的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到与的大小，从而求得最后的结果.详解：根据得到，而，所以根据对数函数的单调性可知时，从而可得，函数单调递增，所以，而，所以有，故选D. 二能力题组1. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】已知函数（1）判断的单调性；（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】求导后分类讨论的取值范围来确定函数单调性存在极值即在上有解，即方程在上有解，然后讨论求出结果【详解】（2）对函数求导得. 因为存在极值，所以在上有解，即方程在上有解，即.显然当时，无极值，不合题意，所以方程必有两个不等正根. 设方程的两个不等正根分别为，则，由题意知 ，由得，即这些极值的和的取值范围为【点睛】本题考查了含有参量的函数单调性和极值问题，求导后对其分类讨论是解答此类问题的关键，在分类过程中，一定要理清题意和思路，按部就班求出分类后的结果，一定要熟练掌握这类题目的解答方法。2.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：.【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】分析：（）先求，再求切线的斜率即可得到曲线在处的切线.（）要证，只要，而，故应考虑在上的零点，又，此方程在仅有一个根且为的最小值点，所以待证成立，可估算，故成立.详解：（）所以，则切线方程为.点睛：解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.函数不等式的证明，可归结为函数的最值来处理，有时最小值点难以计算时，须估算最小值点的范围.3. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】设函数，（1）求的导函数；（2）求在上的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）利用初等函数求导公式以及导数的求导法则可得， ；（2）求出，在上，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间,根据单调性可得在上的取值范围详解：（1） 点睛：求函数极值及最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.4. 【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】设函数，（）求曲线在点（1,0）处的切线方程；（）求函数在区间上的取值范围【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)先断定在曲线上，从而需要求，令，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.详解：（）当，. ，当， 所以切线方程为.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.5. 【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】已知函数，其中.（）若函数在区间上不单调，求的取值范围；（）若函数在区间上有极大值，求的值.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）先求导，再分离参数转化为在上有解，再求a的取值范围.(2)先对a分类讨论求函数在区间上极大值，得，再求和a的值. 详解：（1）= 在上有解，所以在上有解，设g(x)=所以函数g(x)在（1，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数.所以点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值、极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的难点求得极大值，得（*）后，如何求的值.这里又利用了构造函数和求导解答. 6. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知函数.（1）求的导函数；（2）求的定义域及值域.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）根据复合函数以及幂函数的求导公式进行运算；（2）根据根式的性质以及二次函数的值域求出函数的定义域，对函数求导，判断出单调性求出函数的极大值，即函数的最大值，再由根式的性质得出函数的值域详解：（1）对求导得： .点睛：利用导数解答函数最值或值域的一般步骤：第一步：先求出函数的定义域；第二步：利用或求单调区间；第三步：解得两个根；第四步：比较两根同区间端点的大小；第五步：求极值；第六步：比较极值同端点值的大小7. 【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）由题意求得，令得 或，分类讨论即可求解函数的单调区间；（2）由（1）知，当时，函数的单调性，求得函数的极大值与极小值，又由要对任意的 恒成立，结合图象得，即可求解.（2）因为，则.且由（1）知，当时，函数在上单调递增，在单调递减，所以函数的极大值与极小值分别为.若要对任意的恒成立，结合图象可知只需满足即可，解得.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.8. 【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知函数，.（）讨论的单调性；（）记在上最大值为，若，求实数的取值范围.【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：（）求导可得：，分类讨论：当时，函数在上单调递增；当时，函数的递增区间有，递减区间有.（）由（）知：当时，；当即时，；当时，分类讨论有：当时，；当时，.据此可得若，则实数的取值范围为.（）由（）知：当时，函数在上单调递增，此时；当即时，在单调递减，即；当时，而在，递增，在上递减， .由，得，令，则，即 ，.当时，；当时，.综合得：若，则实数的取值范围为.9. 【浙江省金丽衢十二校2018届高三第二次联考】已知函数f（x）=axxlna（a0且a1）（）求函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）单调区间；（）若对任意x1，x2R，有|f（sinx1）f（sinx2）|e2（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围【答案】（1）y=1（2）在0，+）递增，在（，0递减；（3） 【解析】分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程，（2）根据a与1大小分类讨论导函数符号，再根据导函数符号确定单调区间，（3）先将恒成立问题转化为对应函数最值，再根据单调性确定函数最值，通过构造函数解不等式，可得实数a的取值范围详解：（）当a1时，令f（x）0，解得：x0，令f（x）0，解得：x0，当0a1时，令f（x）0，解得：x0，令f（x）0，解得：x0，故对a0，且a1，f（x）在0，+）递增，在（，0递减；（）记f（x）在x1，1上的最大值是M，最小值是m，要使对任意x1，x2R，有|f（sinx1）f（sinx2）|e2，只需Mme2即可，根据f（x）的单调性可知，m=f（0）=1，M为f（1），f（1）的最大值，f（1）=+lna，f（1）=alna，f（1）f（1）=a+2lna，令g（x）=x+2lnx，g（x）=0，故g（x）在（0，+）递减，又g（1）=0，a1时，g（a）g（1）=0，即f（1）f（1），此时M=alna，要使Mme2，即有alna1e2，再令h（x）=xlnx，由h（x）=可知h（x）在（1，+）递增，不等式alnae1可化为h（a）h（e），解得：1ae，当0a1时，g（a）g（1）=0，即f（1）f（1），此时M=+lna，要使Mme2，即有+lna1e2，再令l（x）=+lnx，由l（x）=，可知l（x）在（0，1）递减，不等式+lnae1可化为l（a）l（），解得：a1，综上，a的范围是，1）（1，e10. 【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性】已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若，且函数与在处的切线重合，求证：恒成立.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）代入的值，求出切线方程，一方面先证：，另一方面：恒成立，令 ，根据函数的单调性证明即可【详解】（1）令 在，上单调递减，在上单调递增极大值，极小值 11. 【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性】已知，关于的方程恰有三个不等实根，且函数 的最小值是，则_【答案】5【解析】【分析】由条件可得直线与相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得的方程，再由函数 的单调性，可得的最小值，化简变形即可得到 的关系式，可得所求值【详解】关于的方程恰有三个不等实根，可得直线与相切相切，设切点为，则 ，消去，可得 设 与轴的两个交点的横坐标为： ，即有函数 ，当时，取得最小值是，即有 可得 即为 ，化为，可得或，由，可得，即 故答案为：512. 【浙江省宁波市2018届高三5月模拟】已知函数，其中为实常数（）若是的极大值点，求的极小值；（）若不等式对任意， 恒成立，求的最小值【答案】（）极小值（）.【解析】分析：（）先根据是的极大值点求出 ,再利用导数求的极小值. （）先分离参数得到，再分类讨论求即得b的最小值. 详解：（）， 因为由，得 ，所以 , 此时 则所以在上为减函数，在上为增函数 所以为极小值点，极小值 13. 【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】设是函数的一个极值点.（1）求与之间的关系式，并求当时，函数的单调区间： （2）设，.若存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）由题意可得 ， 结合题意可得. 当时，利用导函数研究函数的单调性可得在上单调递增，在和单调递减. （2）结合(1)的结论可知在上单调递增，在单调递减，则，； 而. 据此可得，求解不等式可得.详解：（1） ， 由题意知，解得. 当，则，故令得：，于是在上单调递增，在和单调递减. （2）由（1）得：，令得：（），所以在上单调递增，在单调递减，于是，； 另一方面在上单调递增，. 根据题意，只要，解得，所以.14. 【浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟】已知函数（）求函数在处的切线方程；（）证明：仅有唯一的极小值点.【答案】（）；（）证明见解析.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，求出和，利用直线的点斜式可得切线方程；（2）令，对其求导得与0的关系，继而得与0的关系，结合以及在上单调递增可得结论. 15. 【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】已知函数f(x)（）求函数f(x)的导函数f (x)；（）证明：f(x)（e为自然对数的底数）【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】分析：（）由题意，根据函数导数的计算公式、法则进行运算，从而问题可得解；（）由题意，可将不等式的证明转化为求函数的单调性、最值的问题，通过研究函数的单调性，求出函数的最值，再根据最值点的范围，从而问题可得解.详解：（I） 16. 【浙江省绍兴市2018届高三3月模拟】已知函数 .（）当时，判断的单调性；（）当时，恒有，求的取值范围.【答案】(1) 在上单调递增(2) 【解析】试题分析：（1）第（）问利用导数求导，研究函数的单调性. (2)对进行分类讨论，探究每一种情况是否满足.试题解析：（）当时，.故在上单调递增.（）由于，即，解得.当时， ，当时，所以在上单调递增，符合题意.当时，存在，使得，故在单调递减，在单调递增.因为 ，所以 ， .由单调性知.符合题意.当时， ，在上递减，在上递增，且.符合题意.当时， ，对称轴.故在内有两个不同的实根，设，则在单调递减，在单调递增，在单调递减.必有，不符合题意.综合，所以的取值范围是.17. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】设函数（）当(为自然对数的底数)时，求的极小值；（）若对任意正实数、（），不等式恒成立，求的取值范围【答案】() 取极小值为；() .【解析】试题分析：（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（）构造函数，可知为上为减函数.所以对任意恒成立，可求 的取值范围试题解析;（）时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增，故当时， 取极小值为。（）不妨设，则有，即，构造函数，所以，所以为上为减函数.所以对任意恒成立即. 18. 【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】已知函数（）求函数在点处的切线方程；（）求证：【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】分析：（1）求切线方程先求导，然后代入切点横坐标的出切线斜率即可求得切线方程；（2）分析函数单调性求出函数最值即可. （）所以则切线方程为 19. 【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）】已知函数（1）当时，试求曲线在点处的切线；（2）试讨论函数的单调区间【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】将代入，求导后求出切线方程求导后对参量进行分类讨论，然后结合定义域给出单调区间【详解】（）当时，函数定义域为，切线为20. 【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试（一）】已知函数（1）当时，试求曲线在点处的切线；（2）试讨论函数的单调区间【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】将代入，求导后求出切线方程求导后对参量进行分类讨论，然后结合定义域给出单调区间【详解】（）当时，函数定义域为，切线为（）当时，函数定义域为，在上单调递增当时，恒成立，函数定义域为，又在单调递增，单调递减，单调递增当时，函数定义域为，在单调递增，单调递减，单调递增当时，设的两个根为且，由韦达定理易知两根均为正根，且，所以函数的定义域为，又对称轴，且，在单调递增，单调递减，单调递增21. 【浙江省台州中学2018届高三模拟】已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)求出原函数的导函数，求出函数，再求出的值，由直线方程的点斜式写出切线方程并化简，即可得结果.(2)将不等式进行化简，移项，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，最后证得结果.