第八讲期权二叉树定价模型

第八讲第八讲 期权二叉树定价期权二叉树定价 8.1 单步二叉树图单步二叉树图8.1.1 二叉树图的构造二叉树图的构造问题问题 假设一种股票当前价格为假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格，三个月后的价格将可能为将可能为$22或或$18。假设股票三个月内不付红利。有。假设股票三个月内不付红利。有效期为效期为3个月的欧式看涨期权执行价格为个月的欧式看涨期权执行价格为$21。如何对。如何对该期权进行估值？该期权进行估值？ 思路思路 根据期权的特性，显然可以用图根据期权的特性，显然可以用图8-1所示的二叉树图来描所示的二叉树图来描述股票和期权的价格运动。述股票和期权的价格运动。 如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的，那么，根据月末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。出期权的价格。 构造一个证券组合，该组合包含一个构造一个证券组合，该组合包含一个股股票多头头寸股股票多头头寸和一个看涨期权的空头头寸。和一个看涨期权的空头头寸。是否可有多种构造方法是否可有多种构造方法? 由图由图8-1可知，当股票价格从可知，当股票价格从$20上升到上升到$22时，该证券组时，该证券组合的总价值为合的总价值为22-1；当股票价格从当股票价格从$20下降到下降到$18时，该证时，该证券组合的总价值为券组合的总价值为18。 完全可以选取某个完全可以选取某个值，使得该组合的终值对在上述两值，使得该组合的终值对在上述两种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。 由由 221=18 得得 =0.25 是否一定为正是否一定为正? ? 因此，一个无风险的组合由因此，一个无风险的组合由0.25股股票和一个期权空头股股票和一个期权空头构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。 在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率。利率。 假设无风险利率为年率假设无风险利率为年率12。则该组合的现值应为：。则该组合的现值应为： 4.5e-0.120.25=4.3674 股票现在的价格已知为股票现在的价格已知为$20。用。用f表示期权的价格。因此，表示期权的价格。因此，由由 200.25f=4.3674 得得 f=0.633 如果期权价格偏离如果期权价格偏离0.633，则将存在套利机会。，则将存在套利机会。 8.1.2 一般结论一般结论 考虑一个无红利支付的股票，股票价格为考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S。基于该股基于该股票的某个衍生证券的当前价格为票的某个衍生证券的当前价格为f。假设当前时间为零时刻，。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了在衍生证券给出了在T时刻的盈亏状况时刻的盈亏状况 。 一个证券组合由股的股票多头和一个衍生证券空头构成。 如果股票价格上升如果股票价格上升,在有效期末该组合的价值为：在有效期末该组合的价值为： 如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为：如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为： UUfSDDfS 当两个价值相等时当两个价值相等时 即即 （9.1） 该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻的时刻的两个节点之间运动时，两个节点之间运动时，是衍生证券价格变化与股票价格变是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。化之比。UUDDfSfSDUDUSSff 用用r表示无风险利率，该组合的现值应为：表示无风险利率，该组合的现值应为： 而构造该组合的成本是：而构造该组合的成本是： 因此因此 ()rTuSuf e()rTuSfSuf eSf 将式（将式（9.1）代入上式，得到）代入上式，得到 其中其中 （9.3）风险中性概率风险中性概率 运用单步二叉树图方法，式（运用单步二叉树图方法，式（9.2）和（）和（9.3）就可为衍）就可为衍生证券估值。生证券估值。(1)rTudfepfp fDUDrTSSSSep0 8.1.3 股票预期收益的无关性股票预期收益的无关性 衍生证券定价公式（衍生证券定价公式（9.2）并没有用到股票上升和下降）并没有用到股票上升和下降的概率。这似乎不符合人们的直觉，因为人们很自然地假的概率。这似乎不符合人们的直觉，因为人们很自然地假设假设如果股票价格上升的概率增加，基于该股票的看涨设假设如果股票价格上升的概率增加，基于该股票的看涨期权价值也增加，看跌期权的价值则减少。期权价值也增加，看跌期权的价值则减少。 之所以如此，原因在于，我们并不是在完全的条件下为之所以如此，原因在于，我们并不是在完全的条件下为期权估值，而只是根据标的股票的价格估计期权的价值。期权估值，而只是根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在股票的价格中。它说明，未来上升和下降的概率已经包含在股票的价格中。它说明，当根据股票价格为期权估值时，我们不需要股票价格上涨当根据股票价格为期权估值时，我们不需要股票价格上涨下降的概率。下降的概率。 8.2 风险中性估值风险中性估值8.2.1 风险中性估值原理风险中性估值原理 式（式（9.2）中的变量）中的变量p可以可以解释为解释为股票价格上升的概率，股票价格上升的概率，于是变量于是变量1p就是股票价格下降的概率。这样，就是股票价格下降的概率。这样， pfu+(1-p)fd 就是衍生证券的预期收益。于是，式（就是衍生证券的预期收益。于是，式（9.2）可以表述为：）可以表述为：衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值 。 同样，按照上式对同样，按照上式对p的解释，在的解释，在T时刻预期的股票价格时刻预期的股票价格 即即 将式（将式（9.2）中的）中的p代入上式，得代入上式，得 E(ST)=SerT （9.4） 这表明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。因这表明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。因此，设定上升运动的概率等于此，设定上升运动的概率等于p就是等价于假设股票收益等就是等价于假设股票收益等于无风险利率。于无风险利率。 DUTSppSSE)1 ()(DDUTSSSpSE)()( 我们把每一个人是风险中性的世界称为风险中性世界（我们把每一个人是风险中性的世界称为风险中性世界（ risk-nerisk-neutral worldrld ）。在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，所有证券的预在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，所有证券的预期收高效益是无风险利率。期收高效益是无风险利率。式（式（9.4）说明，当设定上升运动的概率为）说明，当设定上升运动的概率为p时，我们就在假设一个风险时，我们就在假设一个风险中性世界中性世界 。式（式（9.2）说明，衍生证券的价值是其预期收益在风险中性世界中按无）说明，衍生证券的价值是其预期收益在风险中性世界中按无风险利率贴现的值。风险利率贴现的值。以上过程表明，当为期权和其它衍生证券估值时，完全可以假设世界以上过程表明，当为期权和其它衍生证券估值时，完全可以假设世界是风险中性的。这就是所谓风险中性（是风险中性的。这就是所谓风险中性（risk-neutral valuation）原理。原理。在风险中性世界中得到的价格，在现实世界中也是正确的。在风险中性世界中得到的价格，在现实世界中也是正确的。 8.2.2 风险中性估值举例风险中性估值举例 我们将风险中性估值原理运用于图我们将风险中性估值原理运用于图8-1的例子。的例子。 在风险中性世界，股票的预期收益率一定等于无风险利在风险中性世界，股票的预期收益率一定等于无风险利率率12。则有：。则有： 22p+18(1-p)=20e0.120.25 即即 4p=20e0.120.25-18 得得 p=0.6523 在三个月末尾在三个月末尾:看涨期权价值为看涨期权价值为$1的概率为的概率为0.6523，价值，价值为零的概率为为零的概率为0.3477。因此，看涨期权的期望值为：。因此，看涨期权的期望值为： 0.65231+0.34770=$0.6523 按无风险利率贴现得期权现在的价值：按无风险利率贴现得期权现在的价值： f=0.6523e-0.120.25 =0.633 8.3 两步二叉树图两步二叉树图8.3.1 两步二叉树图的构造两步二叉树图的构造 假设一种股票开始的价格为假设一种股票开始的价格为$20，并在图，并在图8-3所示的所示的两步二叉树图的每个单步二叉树图中，股票价格可以上两步二叉树图的每个单步二叉树图中，股票价格可以上升升10或者下降或者下降10。 假设在每个单步二叉树的步长是三个月，无风险利假设在每个单步二叉树的步长是三个月，无风险利率是年率率是年率12。考虑一个执行价格为考虑一个执行价格为$21的期权。的期权。 在图在图8-3中，很容易得到，在节点中，很容易得到，在节点D，期权价格为期权价格为$3.2；在节点；在节点E和和F，期权价格为零。期权价格为零。 在节点在节点B的期权价格计算如下：的期权价格计算如下： u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 在节点在节点B的期权价格为：的期权价格为： e-0.120.25(0.65233.2十十0.34770)=2.0257 在节点在节点C，期权价格为期权价格为0。 在节点在节点A的期权价格为：的期权价格为：e-0.120.25(0.65232.0257十十0.34770)=1.2823 在构造这个例子时，在构造这个例子时，u和和d(股票价格上升和下降的比率股票价格上升和下降的比率)在树图的每个节点上是相同的，每个单步二叉树的时间长在树图的每个节点上是相同的，每个单步二叉树的时间长度是相等的。度是相等的。由式（由式（9.3）可得风险中性的概率）可得风险中性的概率p，它在每个它在每个节点都是相同的。节点都是相同的。 8.3.2 一般结论一般结论 如图如图8-4所示，初始股票价格为所示，初始股票价格为S。在每个单步二叉树在每个单步二叉树中，股票价格或者上升到初始值的中，股票价格或者上升到初始值的u倍，或下降到初始值倍，或下降到初始值的的d倍。假设无风险利率是倍。假设无风险利率是r。每个单步二又树的时间长每个单步二又树的时间长度是度是t年。年。 重复式（重复式（9.2）的计算，给出：）的计算，给出： （9.5） （9.6） （9.7）(1)r tuuuudfepfp f (1)r tdudddfepfp f (1)r tudfepfp f 将式（将式（9.5）和（）和（9.6）代入式（）代入式（9.7），得到：），得到： 式中，式中，p2，2p(1-p)和和(1-p)2是达到最后上、中、下三个是达到最后上、中、下三个节点的概率。节点的概率。衍生证券的价格等于它在它在风险中性世界衍生证券的价格等于它在它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的值。的预期收益按无风险利率贴现的值。 如果在树图中加入更多的步如果在树图中加入更多的步(step)以推广应用二叉树图以推广应用二叉树图方法，风险中性估值的原理一直是成立的。方法，风险中性估值的原理一直是成立的。衍生证券的价衍生证券的价格总是等于它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴格总是等于它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的值。现的值。 2222 (1)(1)r tuuudddfep fpp fpf 8.3.3 看跌期权的例子看跌期权的例子 考虑一个两年期欧式看跌期权，股票的执行价格为考虑一个两年期欧式看跌期权，股票的执行价格为$52，当前价格为，当前价格为$50。 假设价格为两步二叉树，每个步长为一年。在每个单假设价格为两步二叉树，每个步长为一年。在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上升步二叉树中股票价格或者按比率上升20，或者按比率，或者按比率下降下降20。无风险利率为。无风险利率为5。 构造如图构造如图8-5所示的两步二叉树图。风险中性概率所示的两步二叉树图。风险中性概率P的的值为：值为： 6282. 08 . 02 . 18 . 0105. 0ep 最后股票的可能价格为最后股票的可能价格为$72、$48和和$32。在这种情况下，。在这种情况下，fuu=0,fud=4,fdd=20,t=1，利用公式（利用公式（9.8），得到看跌期权的），得到看跌期权的价格价格 f=e-20.051(0.628220+ 20.62820.37184+0.3718220)=4.1923 利用每个单步二步二叉树向回倒推算，也可以得到这个利用每个单步二步二叉树向回倒推算，也可以得到这个结果。结果。 实际上，如果股票价格的变化是二值的，那么任何基于实际上，如果股票价格的变化是二值的，那么任何基于该股票的衍生证券都可以运用二叉树模型进行估值。该股票的衍生证券都可以运用二叉树模型进行估值。 84 美式期权估值美式期权估值8.4.1 方法方法 二叉树模型可以用于为美式期权估值。方法是：从二叉树模型可以用于为美式期权估值。方法是：从树图的最后末端向开始的起点倒推计算。在每个节点检树图的最后末端向开始的起点倒推计算。在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点的期权价值与欧式期验提前执行是否最佳。在最后节点的期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相同。在较早的一些节点，期权在最后节点的期权价值相同。在较早的一些节点，期杈的价值是取如下两者之中较大者：杈的价值是取如下两者之中较大者： 1）由式（）由式（9.2）求出的值。）求出的值。 2）提前执行所得的收益。）提前执行所得的收益。 9.4.2 举例举例 考虑一个两年期美式看跌期权，股票的执行价格为考虑一个两年期美式看跌期权，股票的执行价格为$52，当前价格为，当前价格为$50。假设价格为两步二叉树，每个步。假设价格为两步二叉树，每个步长为一年，在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上长为一年，在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上升升20，或者按比率下降，或者按比率下降20。无风险利率为。无风险利率为5。 如图如图8-6所示，在节点所示，在节点B，期权的价值为期权的价值为$1.4147，而，而提前执行期权的损益为负值提前执行期权的损益为负值(-$8)。在节点。在节点B提前执行不是提前执行不是明智的，此时期权价值为明智的，此时期权价值为1.4147。在节点。在节点C，期权的价值期权的价值为为$9.4636，而提前执行期权的损益为，而提前执行期权的损益为$12.0。在这种情况。在这种情况下，提前执行是最佳的，因此期权的价值为下，提前执行是最佳的，因此期权的价值为$12.0。 在初始节点在初始节点A，求出的期权价值为求出的期权价值为:f= e-0.051(0.62821.4147+0.371812.0)=5.0894 而提前执行的价值为而提前执行的价值为$2.0。在这种情况下，提前执行是不。在这种情况下，提前执行是不明智的。因此期权的价值为明智的。因此期权的价值为$5.0894。 8.5 Delta8.5.1 Delta的含义的含义 股票期权的股票期权的Delta是股票期权价格的变化与标的股票价格是股票期权价格的变化与标的股票价格的变化之比，是为了构造一个无风险对冲，对每一个卖的变化之比，是为了构造一个无风险对冲，对每一个卖空的期权头寸我们应该持有的股票数目。空的期权头寸我们应该持有的股票数目。 构造无风险对冲有时就称之为构造无风险对冲有时就称之为Delta对冲对冲(delta hedging)。 看涨期权的看涨期权的Delta是正值，而看跌期权的是正值，而看跌期权的Delta是负值。是负值。DUDUSSff 8.5.2 Delta的计算的计算 以图以图8-2所示的看涨期权估值为例，该看涨期权的所示的看涨期权估值为例，该看涨期权的Delta计算如下：计算如下： 这是因为当股票价格从这是因为当股票价格从18变化到变化到22时，期权价格从时，期权价格从0变化到变化到1。 在图在图8-3中，对于第一个时间步，股票价格变动的中，对于第一个时间步，股票价格变动的Delta为：为：1 00.2522 182.025700.506422 18 如果在第一个时间步之后，还有一个向上的运动，则如果在第一个时间步之后，还有一个向上的运动，则在第二个时间步股票价格变动的在第二个时间步股票价格变动的Delta为：为： 如果在第一个时间步之后，还有一个向下的运动，则如果在第一个时间步之后，还有一个向下的运动，则在第二个时间步股票价格变动的在第二个时间步股票价格变动的Delta为：为：3.200.727324.2 19.800019.8 16 在图在图8-5中，第一个时间步的中，第一个时间步的Delta为：为： 在第二个时间步，有两个在第二个时间步，有两个Delta： 或者或者1.41479.46360.40246040 040.16677248 4201.00004832 上面的两个例子说明，上面的两个例子说明，Delta值随时间而变化。值随时间而变化。这意味这意味着利用期权和标的股票来保持一个无风险对冲，我们需要着利用期权和标的股票来保持一个无风险对冲，我们需要定期调整我们所持有的股票数量。定期调整我们所持有的股票数量。 9.6 二叉树模型在实际中的应用二叉树模型在实际中的应用 在实际中应用二叉树图方法时，通常将期权有效期分在实际中应用二叉树图方法时，通常将期权有效期分成成30或更多的时间步。在每一个时间步，就有一个二叉树或更多的时间步。在每一个时间步，就有一个二叉树股票价格运动。股票价格运动。30个时间步意味着最后有个时间步意味着最后有31个终端股票价个终端股票价格格(terminal stock prices)，并且并且230即大约即大约10亿个可能的股亿个可能的股票价格路径票价格路径。 从股票价格波动率，可以确定从股票价格波动率，可以确定u和和d的值。可以有许多的值。可以有许多种不同的方式做到这一点。种不同的方式做到这一点。 定义定义t为单步时间步长，为单步时间步长，种可能就是去设定：种可能就是去设定： 于是，定义一个树图的完整方程式为于是，定义一个树图的完整方程式为 ：tue1dududepedeutrtt