小学奥数面积计算[综合题型]

.wd.第十八周 面积计算一专题简析：计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究条件，并加以深化，再运用我们已有的 根本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通条件与所求问题的小“桥，就会使你顺利到达目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进展恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。图形面积简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 44 16格；右图是 35的长方形，它的面积是 35 15格.上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 542 10格；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4428格.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5 3 15格；右图是一个梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面积是4+74222格.上面面积计算的单位用“格，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.一、三角形的面积用直线组成的图形，都可以划分成假设干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积= 底高2.这个公式是许多面积计算的根基.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢解：三角形ABD与三角形ADC的高一样.三角形ABD面积=4高2.三角形 ADC面积=2高2.因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.例2 右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.解： BC 2 4 2 8.三角形 ABC面积= 8 4216.我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高一样，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形 DFE面积= 1644.例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影局部面积.解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影局部高都与BE一样长.而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是FEBE2，它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形阴影局部面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是20122120.通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这假设干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形阴影局部的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD阴影局部的面积是多少解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此面积=4102 20.对三角形 ADC来说， DC是底边，高是 8，因此面积=78228.四边形 ABCD面积= 20 28 48.这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE3，DF2，求三角形BEF的面积.解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形 ABE面积=362 9.三角形 BCF面积= 66-22 12.三角形 DEF面积=26-32 3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：三角形 BEF面积=66-9-12-312.例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如以以以下图，M是线段DE的中点，求四边形ABMD阴影局部的面积.解：四边形ABMD中，的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积.把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7227.因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 723.5.因为 BE 8是 CE 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是3.5414.长方形 ABCD面积=782=70.四边形 ABMD面积=70-7- 14 49.二、有关正方形的问题先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角90度，还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图a.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图b.一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图a知，它的面积是直角边长的平方2.当知道它的斜边长，从图b知，它的面积是斜边的平方4例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是88232.这一个图形的面积是3216 8 4 21 63.例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影局部的总面积是多少解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，G.三角形ABC的面积=2222.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积=ABC面积24.三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积21.阴影局部的总面积是 415.例9 如右图，一个四边形ABCD的两条边的长度AD7，BC3，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是45.求这个四边形的面积.解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.因为A是45，角D是90，角E是180-45-90 45，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即772-33220.这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A是 45，这一条件还用得上吗图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例10 在右图 1115的长方形内，有四对正方形标号一样的两个正方形为一对，每一对是一样的正方形，那么中间这个小正方形阴影局部面积是多少解：长方形的宽，是“一与“二两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一、“三与“二三个正方形的边长之和.长-宽 =15-114是“三正方形的边长.宽又是两个“三正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长=11-423.中间小正方形面积=33 9.如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地见图，剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.解：剩下的长方形土地，我们道长-宽=1米.还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢如果能求出，那么与上面“差的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起，如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如以以以下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.现在，我们就可以算出大正方形面积：15.754+11 64平方米.64是88，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的长+宽=8米.因此长=812 4.5米.宽=8-4.53.5米.那么划出的长方形面积是4.514. 5平方米.例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG阴影局部的面积.解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此四边形AECD面积=小正方形边长+大正方形边长大正方形边长2三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=小正方形边长+大正方形边长，因此三角形ADG面积=小正方形边长+大正方形边长大正方形边长2.四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有阴影局部面积=三角形ECG面积=小正方形面积的一半= 66218.十分有趣的是，影阴局部面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.三、其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形如右图，求它的面积.解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是44-3-5-1.56.5.例6与此题在解题思路上是完全类同的.例14 以以以下图中 ABCD是 68的长方形，AF长是4，求阴影局部三角形AEF的面积.解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此三角形AEF面积三角形 AEB面积-三角形 AFB面积862-482 8.这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的局部也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草局部的面积阴影局部有多大解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 102的长方形面积相等.可以设想，把这个平行四边形换成 102的长方形，再把横竖两条都移至边上如前页右图，草地局部面积阴影局部还是与原来一样大小，因此草地面积=16-210-2 112.例16 右图是两个一样的直角三角形叠在一起，求阴影局部的面积.解：实际上，阴影局部是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.阴影局部与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影局部面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影局部面积等于梯形 ABCD面积=88-352 32.5.上面两个例子都启发我们，假设何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换的本领，首先要提高对图形的观察能力.例17 以以以下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形. AF，FE，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求这个图形的面积.解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.三角形ABC面积=3334218.三角形CDE面积=44 3212.这两个直角三角形有一个重叠局部-四边形BCEG，只要减去这个重叠局部，所求图形的面积立即可以得出.因为 AF FE EC3，所以 AGF， FGE， EGC是三个面积相等的三角形.因为CBBD4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.2三角形DEC面积= 22三角形 GBC面积2三角形 GCE面积.三角形ABC面积= 三角形 GBC面积3三角形GCE面积.四边形BCEG面积=三角形GBC面积三角形GCE面积=2121858.4.所求图形面积=12 18- 8.421.6.例18 如下页左图，ABCG是47长方形，DEFG是 210长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.解：三角形BCM与非阴影局部合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影局部合起来是两个长方形的和.三角形BCM面积-三角形DEM面积=梯形ABEF面积-两个长方形面积之和=710422-47 210=3.例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影局部的面积是多少解：所求的影阴局部，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共局部，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的局部，因此三角形 ABC面积+三角形CDE面积134935长方形面积阴影局部面积.三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽；三角形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有阴影局部面积=13 49 35 97.例题1。181ABCFEDABCFED图181中，三角形ABC的面积为8平方厘米，AEED，BD=BC，求阴影局部的面积。181【思路导航】阴影局部为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知SAEF=SEDF等底等高，采用移补的方法，将所求阴影局部转化为求三角形BDF的面积。 因为BD=BC，所以SBDF2SDCF。又因为AEED，所以SABFSBDF2SDCF。 因此，SABC5SDCF。由于SABC8平方厘米，所以SDCF851.6平方厘米，则阴影局部的面积为1.623.2平方厘米。练习11、 如图182所示，AEED，BC=3BD，SABC30平方厘米。求阴影局部的面积。2、 如图183所示，AE=ED，DCBD，SABC21平方厘米。求阴影局部的面积。AABCFEDA3、 如图184所示，DEAE，BD2DC，SEBD5平方厘米。求三角形ABC的面积。FFEEDBCCDB184183182例题2。两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图185所示，两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少BCDAO612185【思路导航】SBOC是SDOC的2倍，且高相等，可知：BO2DO；从SABD与SACD相等等底等高可知：SABO等于6，而ABO与AOD的高相等，底是AOD的2倍。所以AOD的面积为623。因为SABD与SACD等底等高 所以SABO6因为SBOC是SDOC的2倍 所以ABO是AOD的2倍所以AOD623。 答：AOD的面积是3。练习21、 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图186所示，两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少2、 AOOC，求梯形ABCD的面积如图187所示。BCDAO3、 三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面积。如图188所示。BCDAO4BCDAO848188187186例题3。D四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积如图189所示。FAE189CB【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。 15345平方厘米 答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。练习31、 四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积如图1810。2、 四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影局部面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积如图1811所示。3、 如图1812所示，求阴影局部的面积ABCD为正方形。6EADADDEGA4FFGCBCBECB181218111810例题4。BADCO如图1813所示，BO2DO，阴影局部的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米E1813【思路导航】因为BO2DO，取BO中点E，连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质，可知SDBCSCDA；SCOBSDOA4，类推可得每个三角形的面积。所以， SCDO422平方厘米 SDAB4312平方厘米 S梯形ABCD12+4+218平方厘米 答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。练习41、 如图1814所示，阴影局部面积是4平方厘米，OC2AO。求梯形面积。2、 OC2AO，SBOC14平方厘米。求梯形的面积如图1815所示。D3、 SAOB6平方厘米。OC3AO，求梯形的面积如图1816所示。OADABADCOO1816CB18151814CB例题5。如图1817所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。AFFACCEDEDB1817【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。 由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半1628。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为522.5，所以，三角形ABC的面积为16342.56.5。练习51、 如图1818所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。2、 如图1819所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，SABE4平方厘米，SAFD6平方厘米，求三角形AEF的面积。3、 如图1820所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米，求三角形AEF的面积。ADDCBAFDAFFCCEBE1819BE18201818答案：练11、 305212平方厘米2、 21739平方厘米3、 5322平方厘米练21、 422 8242、 8216 16+82+4363、 15345 15+5+15+4580练31、 15230平方厘米2、 15460平方厘米3、 6626426平方厘米 6243平方厘米6+36227平方厘米练41、 428平方厘米 8216平方厘米 16+8+8+436平方厘米2、 1427平方厘米 723.5平方厘米 14+7+7+3.531.5平方厘米3、 63+124 632 24+6+232练51、 20273 31.5 20751.56.52、 20210 1042 2064273、 24212平方厘米 12415平方厘米 2444510平方厘米