（浙江专用）2019高考数学二轮复习 专题七 数学思想方法（选用）第1讲 函数与方程思想、数形结合思想学案

第1讲函数与方程思想、数形结合思想高考定位函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查1函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法2函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论3数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：(1)借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；(2)借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质4在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.热点一函数与方程思想的应用 应用1不等式问题中的函数(方程)法【例11】 (1)f(x)ax33x1对于x1，1，总有f(x)0成立，则a_(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是_解析(1)若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0即x(0，1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x0即x1，0)时，f(x)ax33x10可化为a，设g(x)，则g(x)在区间1，0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而a4.综上a4.(2)设F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)在R上为奇函数又当x0时，F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以x0时，F(x)为增函数因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以x0时，F(x)也是增函数因为F(3)f(3)g(3)0F(3)，所以，可作yF(x)的示意图如图所示，由图可知F(x)0的解集是(，3)(0，3)答案(1)4(2)(，3)(0，3)探究提高(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)0或f(x)0恒成立，一般可转化为f(x)min0或f(x)max0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解应用2数列问题的函数(方程)法【例12】 已知数列an满足a13，an1anp3n(nN*，p为常数)，a1，a26，a3成等差数列(1)求p的值及数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bn，证明：bn.(1)解由a13，an1anp3n，得a233p，a3a29p312p.因为a1，a26，a3成等差数列，所以a1a32(a26)，即3312p2(33p6)，得p2.依题意知，an1an23n.当n2时，a2a1231，a3a2232，anan123n1.将以上式子相加得ana12(31323n1)，所以ana123n3，所以an3n(n2)又a13符合上式，故an3n.(2)证明因为an3n，所以bn.所以bn1bn(nN*)若2n22n10，则n，即当n2时，有bn1bn，又因为b1，b2，故bn.探究提高数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：(1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组求解(3)数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an0(an0)成立时最大的n值即可求解应用3解析几何问题的方程(函数)法【例13】 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点(1)若6，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值解(1)依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程组故x2x1.由6知x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2；由D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.(2)根据点到直线的距离公式和式知，点E，F到AB的距离分别为h1，h2.又|AB|，所以四边形AEBF的面积为S|AB|(h1h2)22，当4k21(k0)，即当k时，上式取等号所以S的最大值为2，即四边形AEBF面积的最大值为2.探究提高解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决热点二数形结合思想的应用应用1利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点【例21】 (1)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_(2)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0，1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos(x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为()A5 B6 C7 D8解析(1)由f(x)|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两个不等的实根，从而可得函数y|2x2|的图象与函数yb的图象有两个交点，如图所示结合函数的图象，可得0b2，故填(0，2)(2)根据题意，函数yf(x)是周期为2的偶函数且0x1时，f(x)x3，则当1x0时，f(x)x3，且g(x)|xcos(x)|，所以当x0时，f(x)g(x)当x0时，若0x，则x3xcos(x)，即x2cos x.再根据函数性质画出上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个交点所以总共有6个零点答案(1)(0，2)(2)B探究提高用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数应用2利用数形结合思想解不等式或求参数范围【例22】 (1)若不等式k(x2)的解集为区间a，b，且ba2，则k_(2)若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_解析(1)如图，分别作出直线yk(x2)与半圆y.由题意，知直线在半圆的上方，由ba2，可知b3，a1，所以直线yk(x2)过点(1，2)，则k.(2)作出y|x2a|和yxa1的简图，依题意知应有2a22a，故a.答案(1)(2)探究提高求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答应用3利用数形结合思想求最值【例23】 (1)已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_(2)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6)，当APF周长最小时，该三角形的面积为_解析(1)从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPAC|PA|AC|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|3，从而|PA|2.所以(S四边形PACB)min2|PA|AC|2.(2)设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，根据双曲线的定义可知|PF|2|PF1|，则APF的周长为|PA|PF|AF|PA|2|PF1|AF|PA|PF1|AF|2，由于|AF|2是定值，要使APF的周长最小，则|PA|PF1|最小，即P，A，F1三点共线，如图所示由于A(0，6)，F1(3，0)，直线AF1的方程为：1，即x3，代入双曲线方程整理可得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以点P的纵坐标为2.所以SAPFSAFF1SPFF1666212.答案(1)2(2)12探究提高破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.1当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想2借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解3许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量4在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都是实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的5有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的6利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.一、选择题1直线xym0与圆x2y22x20相切，则实数m等于()A.或 B或3C3或 D3或3解析圆的方程(x1)2y23，圆心(1，0)到直线的距离等于半径|m|2m或m3.答案C2已知函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1，1时，f(x)x2，则方程f(x)lg x解的个数是()A5 B7 C9 D10解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0，1的函数又f(x)lg x，则x(0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9个交点答案C3函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1，1) B(1，)C(，1) D(，)解析f(x)2转化为f(x)20，构造函数F(x)f(x)2x，得F(x)在R上是增函数又F(1)f(1)2(1)4，f(x)2x4，即F(x)4F(1)，所以x1.答案B4已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A. B2 C. D2解析如图，设a，b，c，则ac，bc.由题意知，O，A，C，B四点共圆当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|.答案A5当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A. B. C(1，) D(，2)解析利用指数函数和对数函数的性质及图象求解0x，14x2，logax4x1，0a1，排除答案C，D；取a，x，则有42，log1，显然4xlogax不成立，排除答案A；故选B.答案B二、填空题6已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为_解析如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1，0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e.答案7已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b满足|b|2，be11，be21，则对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|的最小值为_解析|b(xe1ye2)|2b2x2ey2e2xbe12ybe22xye1e24x2y22x2y(x1)2(y1)222，当且仅当x1，y1时，|b(xe1ye2)|2取得最小值2，此时|b(xe1ye2)|取得最小值.答案8设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆C：(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_解析设直线l的方程为xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线l的方程代入抛物线方程y24x并整理得y24ty4m0，则16t216m0，y1y24t，y1y24m，那么x1x2(ty1m)(ty2m)4t22m，则线段AB的中点M(2t2m，2t)由题意可得直线AB与直线MC垂直，且C(5，0)当t0时，有kMCkAB1，即1，整理得m32t2，把m32t2代入16t216m0，可得3t20，即0t23.由于圆心C到直线AB的距离等于半径，即d2r，所以2r4，此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条当t0时，这样的直线l恰有2条，即x5r，所以0r5.综上，可得若这样的直线恰有4条，则2r4.答案(2，4)三、解答题9已知数列an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值解(1)设an的公差为d，由已知条件，解得a13，d2.所以ana1(n1)d2n5.(2)Snna1dn24n4(n2)2.所以n2时，Sn取到最大值4.10椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且3.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，设c0，c2a2b2，由题意，知2b，所以a1，bc.故椭圆C的方程为y21，即y22x21.(2)当直线l的斜率不存在时，由题意求得m；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm(k0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k22)x22kmxm210，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)x1x2，x1x2.因为3 ，所以x13x2.所以所以3(x1x2)24x1x20.所以340.整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)(2m22)0.当m2时，上式不成立；当m2时，k2.由(*)式，得k22m22，又k0，所以k20.解得1m或m1.综上，所求m的取值范围为.11设函数f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它们在x1处的切线互相平行(1)求b的值；(2)若函数F(x)且方程F(x)a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围解函数g(x)bx2ln x的定义域为(0，)，(1)f(x)3ax23af(1)0，g(x)2bxg(1)2b1，依题意得2b10，所以b.(2)x(0，1)时，g(x)x0，即g(x)在(0，1)上单调递减，x(1，)时，g(x)x0，即g(x)在(1，)上单调递增，所以当x1时，g(x)取得极小值g(1)；当a0时，方程F(x)a2不可能有四个解；当a0，x(，1)时，f(x)0，即f(x)在(，1)上单调递减，x(1，0)时，f(x)0，即f(x)在(1，0)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)a2不可能有四个解当a0，x(，1)时，f(x)0，即f(x)在(，1)上单调递增，x(1，0)时，f(x)0，即f(x)在(1，0)上单调递减，所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)2a.又f(0)0，所以F(x)的图象如图(2)所求，从图(2)看出，若方程F(x)a2有四个解，则a22a，得a2，所以，实数a的取值范围是.13