2022年高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第4讲 平面向量的应用习题 理 新人教A版

2022年高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第4讲 平面向量的应用习题 理 新人教A版一、选择题1.已知点A(2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6.答案D2.在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析由()|2，得()0，即()0，20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形.答案C3.(xx深圳调研)在ABC中，ABAC2，BC2，则()A.2 B.2C.2 D.2解析由余弦定理得cos A，所以|cos A222，故选D.答案D4.已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是()A. B.C. D.解析由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos 0，cos ，又0，.答案D5.(xx杭州质量检测)设O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心).若，则BAC的度数等于()A.30 B.45C.60 D.90解析取BC的中点D，连接AD，则2 .由题意得32，AD为BC的中线且O为重心.又O为外心，ABC为正三角形，BAC60，故选C.答案C二、填空题6.(xx广州综合测试)在ABC中，若2，则边AB的长等于_.解析由题意知4，即()4，即4，|2.答案27.(xx天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则的最大值为_.解析以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(1，1)，M，设E(x，0)，x0，1，则(1x，1)(1x)2，x0，1时，(1x)2单调递减，当x0时，取得最大值.答案8.(xx太原模拟)已知向量a(cos ，sin )，向量b(，1)，则|2ab|的最大值与最小值的和为_.解析由题意可得abcos sin 2cos，则|2ab|0，4，所以|2ab|的最大值与最小值的和为4.答案4三、解答题9.已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0，1)，若abc，求，的值.(1)证明由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)解因为ab(cos cos ，sin sin )(0，1)，所以由此得，cos cos().由0，得0，又0，故.代入sin sin 1，得sin sin .又，所以，.10.(xx襄阳测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(1，0)，|1，且AOCx，其中O为坐标原点.(1)若x，设点D为线段OA上的动点，求|的最小值；(2)若x，向量m，n(1cos x，sin x2cos x)，求mn的最小值及对应的x值.解(1)设D(t，0)(0t1)，由题意知C，所以，所以|2tt2t2t1(0t1)，所以当t时，|最小，为.(2)由题意得C(cos x，sin x)，m(cos x1，sin x)，则mn1cos2xsin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sin，因为x，所以2x，所以当2x，即x时，sin取得最大值1.所以mn的最小值为1，此时x.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(xx衡水中学一调)已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是()A. B.C. D.解析设a与b的夹角为.f(x)x3|a|x2abx.f(x)x2|a|xab.函数f(x)在R上有极值，方程x2|a|xab0有两个不同的实数根，即|a|24ab0，ab，又|a|2|b|0，cos ，即cos ，又0，故选C.答案C12.(xx郑州质检)在RtABC中，CACB3，M、N是斜边AB上的两个动点，且MN，则的取值范围为()A. B.2，4C.3，6 D.4，6解析设MN的中点为E，则有2，222，又|的最小值等于点C到AB的距离，即，故的最小值为4.当点M与点A(或B)重合时，|达到最大，易知|的最大值为，故的最大值为6，因此的取值范围是4，6.答案D13.在ABC中，A90，AB1，AC2，设点P，Q满足，(1)，R.若2，则_.解析(1)，2(1)2，化简得(1)(1)222，又因为0，24，21，所以(1)412，解得.答案14.(xx江西五校联考)已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围.解mnsin cos cos2sin cos sin.(1)mn1，sin，cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin(BC).ABC，sin(BC)sin A，且sin A0，cos B，B.0A.，sin1.又f(x)mnsin，f(A)sin，故1f(A).故函数f(A)的取值范围是.