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2022年高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案 新人教A版必修2(一)教学目标1知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用正确知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.3情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.(二)教学重点、难点重点:两条直线平行和垂直的条件.难点:启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题.(三)教学方法尝试指导与合作交流相结合,通过提出问题,观察实例,引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.由学生回忆上节课内容,再由老师引入新课.设置情境引入新课概念形成1特殊情况下,两条直线平行与垂直.两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90,另一条直线的倾斜角为0 ,两直线互相垂直.由学生讨论得出答案概念深化2两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直.设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的,所以我们下面要研究的问题是:两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果l1l2(图),那么它们的倾斜角相等;a1 = a2.(借助计算机,让学生通过度量,感知a1,a2的关系)tga1 = tga2.即k1 = k2.反过来,如果两条直线的斜率相等:即k1 = k2,那么tga1 = tga2.由于0a1180,0a180,a1 = a2又两条直线不重合,l1l2.结论:两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即l1l2k1 = k2.注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1 = k2那么一定有l1l2;反之则不一定.借助计算机,让学生通过度量,感知的关系. 通过斜率相等判定两直线平行,是通过代数方法得到几何结论,体现了用代数方法研究几何问题的思想.下面我们研究两条直线垂直的情形.如果l1l2,这时,否则两直线平行.设(图)甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方;乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方;丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有.因为l1、l2的斜率分别是k1、k2,即,所以.即或k1k2 = 1,反过来,如果即k1k2 = 1不失一般性,设k10.k20,那么.可以推出a1 = 90+.l1l2.结论:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即注意:结论成立的条件,即如果k1k2 = 1,那么一定有l1l2;反之则不一定.借助计算机,让学生通过度量,感知k1,k2的关系,并使l1(或l2)转动起来,但仍保持l1l2,观察k1,k2的关系,得到猜想,再加以验证,可使为锐角,钝角等. 通过计算机的演示,培养学生的观察、猜想,归纳的数学思想方法.应用举例例1 已知A (2,3),B (4,0),P( 3,1),Q(1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.借助计算机作图,使学生通过观察猜想:BAPQ,再通过计算机加以验证.(图略)例1 解:直线BA的斜率k1 = (3 0)/(2 (4) = 0.5,直线PQ的斜率k2 = (2 1)/( 1 (3) = 0.5,因为k1 = k2 = 0.5,所以直线BAPQ. 通过例题的讲解,使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件.例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B (2, 1),C (4,2),D (2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.例3 已知A(6,0),B (3,6),P (0,3),Q (2,6),试判断直线AB与PQ的位置关系.例4 已知A(5, 1),B (1,1),C (2,3),试判断三角形ABC的形状.分析:借助计算机作图,通过观察猜想:三角形ABC是直角三角形,其中ABBC,再通过计算加以验证.(图略)课堂练习 P94 练习1、2.借助计算机作图,使学生通过观察猜想:四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证.例2 解:直线BA的斜率k1 = (3 0)/(2 (4) = 0.5,直线PQ的斜率k2 = (2 1)/( 1 (3) = 0.5,因为k1 = k2 = 0.5,所以直线BAPQ.例3 解:直线AB的斜率k1 = (6 0)/ (3 (6) = 2/3,直线PQ的斜率k2 = (6 3) (2 0) = 3/2,因为k1k2 = 1,所以ABPQ.归纳总结(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件,判定两条直线平行或垂直.(3)应用直线平行的条件,判定三点共线. 由学生归纳,教师再补充完善.培养学生的概括能力课后作业见习案3.1的第二课时由学生独立完成巩固深化新学知识备选例题例1 试确定M的值,使过点A(m + 1,0),B(5,m)的直线与过点C(4,3),D(0,5)的直线平行.【解析】由题意得:由于ABCD,即kAB = kCD,所以,所以m = 2.例2 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A (0,1),B (1,0),C (3,2),求第四个顶点D的坐标.【解析】设第四个顶点D的坐标为(x,y)因为ADCD,ADBC 所以kADkCD = 1,且kAD = kBC, 所以第四个顶点D的坐标为(2,3).例3 已知定点A(1,3),B(4,2),以A、B为直径的端点,作圆与x轴有交点C,求交点C的坐标.【解析】以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.则ACBC,设C (x,0)则所以所以x = 1或2,所以C (1,0)或(2,0)
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