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如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做名称叫做圆周角圆周角。?(5)?(4)?(3)?(2)?(1)?O?B?A?(5)?(4)?(3)?(2)?(1)?O?B?A圆周角圆周角究竟什么样的角是圆周角呢？像图（究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的）中的解就叫做圆周角，而图（解就叫做圆周角，而图（2）、（）、（4）、（）、（5）中的角）中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。个角是不是圆周角。（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）1 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？的圆周角所对的弦是否是直径？的圆周角所对的弦是否是直径？线段线段ABAB是是OO的的直径直径，点，点C C是是OO上任意一点上任意一点（除点（除点A A、B B）, ,那么，那么，ACB ACB 就是直径就是直径AB AB 所对的圆周角所对的圆周角. .想想看，想想看，ACB ACB 会是怎么样的角？会是怎么样的角？为什么呢？为什么呢？ 证明：证明： 因为因为OAOAOBOBOCOC，所以，所以AOCAOC、BOC BOC 都是等腰三角形，所以都是等腰三角形，所以 OACOACOCAOCA，OBCOBCOCBOCB. . 又又OACOACOBCOBCACBACB180180， 所以所以ACBACBOCAOCAOCBOCB9090. . 因此，不管点因此，不管点C C在在O O上何处（除点上何处（除点A A、B B），），ACBACB总等于总等于9090，类比圆心角类比圆心角探知探知圆周角圆周角在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等相等的的弧弧所对的所对的圆心角相等圆心角相等. .在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等相等的的弧弧所对的所对的圆周角圆周角有什么关系？有什么关系？ 为了解决这个问题为了解决这个问题, ,我们先探究一条弧所对的圆周我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系角和圆心角之间有的关系. .OOOABCABCABC圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系 如图如图, ,观察圆周角观察圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOC,AOC,它们的大它们的大小有什么关系小有什么关系? ?n注意：注意：圆心与圆周角的位置关系圆心与圆周角的位置关系.OABCOABCOABC1.1.首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：当当圆心圆心(O)(O)在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系. .AOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=B+A.AOC=B+A.OA=OBOA=OB，OA AB BC CA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半. .如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ?2.2.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21A AB BC CD DABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半. .ODABC过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: : ABC = AOC. ABC = AOC.21ABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半. .如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ?3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的外部时的外部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?圆周角圆周角定理定理 在在同圆同圆或或等圆等圆中，中，同弧同弧或或等弧等弧所对的所对的圆周角相等圆周角相等，都等于这条弧所对的，都等于这条弧所对的圆心角圆心角的的一半一半 半圆半圆（或直径）（或直径）所对的所对的圆周角圆周角是是直角直角; ; 9090的圆周角所的圆周角所对的对的弦弦是是直径直径BC1OC2C3例例1 如图，如图， O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平分线交的平分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：解：AB是直径，是直径， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.ACDBCD OABCD2.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）ABCO求证：求证： ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：CO= AB,12以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO.点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,ACB= 180= 90.12已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线，12且且CO= AB ABC 为直角三角形为直角三角形.1.AB1.AB、ACAC为为O O的两条弦，延长的两条弦，延长CACA到到D D，使，使 AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35 ，求求BOCBOC的度数。的度数。 2 2、如图，在、如图，在O O中，中，BC=2DEBC=2DE， BOC=84BOC=84，求求A A的度数。的度数。BOC =140BOC =140 A=21A=21 4 4、在、在O O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为别为(2x+100)(2x+100)和和(5x-30)(5x-30)，则，则x=x=_ _ _；3. 3. 如图，在直径为如图，在直径为ABAB的半圆中，的半圆中，O O为圆心，为圆心，C C、D D 为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=50COD=50，则，则 CAD=_CAD=_；20205050小结小结 在在同圆同圆或或等圆等圆中，中，同弧同弧或或等弧等弧所对的所对的圆周角相等圆周角相等，都等于这条弧所对的，都等于这条弧所对的圆心角圆心角的的一半一半 半圆半圆（或直径）（或直径）所对的所对的圆周角圆周角是是直角直角; ; 9090的圆周角所的圆周角所对的对的弦弦是是直径直径BC1OC2C3
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