2018版高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（三）学案 新人教A版必修5

1.2 应用举例（三）学习目标1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用知识点一三角形常用面积公式及其证明1公式(1)三角形面积公式Sah(2)三角形面积公式的推广Sabsin Cbcsin Acasin B.(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)2证明(1)三角形面积公式的推广在ABC中，边BC，CA，AB对应的边长分别为a，b，c，边上的高分别记为ha，hb，hc，则habsin Ccsin B，hbcsin Aasin C，hcasin Bbsin A.借助上述结论，如图，若已知ABC中的边AC，AB，角A，那么AB边上的高CDbsin_A，ABC的面积Sbcsin A，同理可求得Sabsin Cacsin B.(2)三角形的面积与内切圆已知ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则ABC的面积为Sr(abc)如图，设ABC内切圆圆心为O，连接OA，OB，OC，则SABCSAOBSAOCSBOCcrbrar(abc)r.思考(1)已知ABC的面积为，且b2，c，则A_(2)在ABC中，A30，AB2，BC1，则ABC的面积等于_答案(1)60或120(2)解析(1)Sbcsin A，2sin A，sin A，又A(0，180)，A60或120.(2)由正弦定理，sin C1，又C(0，180)，C90，b.SABC1.知识点二多边形的面积对于多边形的有关几何计算问题，特别是面积问题可以利用“割补法”将多边形转化为三角形，利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决题型一三角形的面积公式及其应用例1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，cos A，b.(1)求sin C的值；(2)求ABC的面积解(1)因为角A，B，C为ABC的内角，且B，cos A，所以CA，sin A.于是sin Csincos Asin A.(2)由(1)知sin A，sin C，又因为B，b，所以在ABC中，由正弦定理得a.于是ABC的面积Sabsin C.反思与感悟求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，使之转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用，另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增解跟踪训练1如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB2，BC6，CDDA4，求四边形ABCD的面积解连接BD，则四边形ABCD的面积为SSABDSCDBABADsin ABCCDsin C.AC180，sin Asin C，S(ABADBCCD)sin A(2464)sin A16sin A.在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A2242224cos A2016cos A.在CDB中，由余弦定理得BD2CB2CD22CBCDcos C5248cos C.2016cos A5248cos C.cos Ccos A，64cos A32，cos A，又A(0，180)，A120，S16sin 1208.题型二三角形面积的最值问题例2已知ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2R(sin2Asin2C)(ab)sin B，求ABC面积的最大值解由正弦定理得a2c2(ab)b，即a2b2c2ab.由余弦定理得cos C，C(0，)，C.Sabsin C2Rsin A2Rsin BR2sin Asin BR2sin Asin(A)R2sin A(cos Asin A)R2(sin Acos Asin2A)R2(sin 2A)R2sin(2A)A(0，)2A(，)sin(2A)(，1，S(0，R2，面积S的最大值为R2.反思与感悟求三角形面积的最值时，我们一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系式(注意消元)，再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值跟踪训练2若ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且Sc2(ab)2，ab2，求面积S的最大值解Sc2(ab)2c2a2b22ab2ab(a2b2c2)，由余弦定理得a2b2c22abcos C，c2(ab)22ab(1cos C)，即S2ab(1cos C)，Sabsin C，sin C4(1cos C)又sin2Ccos2C1，17cos2C32cos C150，解得cos C或cos C1(舍去)sin C，Sabsin Ca(2a)(a1)2.ab2，0a2，当a1，b1时，Smax.题型三三角形中的综合问题例3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为ABC的面积，满足S(a2b2c2)(1)求角C的大小；(2)求sin Asin B的最大值解(1)由题意可知absin C2abcos C.所以tan C，因为0C，所以C.(2)由已知sin Asin Bsin Asinsin Asinsin Acos Asin Asin(0A)，当A，即ABC为等边三角形时取等号所以sin Asin B的最大值为.反思与感悟(1)本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角函数运算求解能力(2)此类问题常以三角形为载体，以正弦、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，有时会以向量的知识作为切入点进行破题跟踪训练3已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，C，求ABC的面积(1)证明mn，asin Absin B.ab(2R为ABC外接圆直径)，a2b2，ab，ABC为等腰三角形(2)解由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理得4a2b2ab(ab)23ab，(ab)23ab40，ab4或1(舍)，SABCabsin C4sin .故ABC的面积为.1已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(ab)2c24，C120，则ABC的面积为()A. B. C. D2答案C解析将c2a2b22abcos C与(ab)2c24联立，解得ab4，SABCabsin C.2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，B45，SABC2，则ABC的外接圆直径为()A4 B60C5 D6答案C解析SABCacsin Bcsin 45c2，c4，b2a2c22accos 4525，b5.ABC的外接圆直径为5.3设A是ABC中最小的内角，则sin Acos A的取值范围是()A(，) B， C(1，) D(1， 答案D解析sin Acos Asin(A)A为ABC中最小内角，A(0，)，A(，)，sin(A)(，1，sin Acos A(1， 4在ABC中，已知B，D是BC边上一点，AD10，AC14，DC6，则AB的长为_答案5解析在ADC中，AD10，AC14，DC6，cosADC.又ADC(0，)，ADC，ADB.在ABD中，由正弦定理得，AB5. 1.三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般要用公式Sabsin Cbcsin Aacsin B进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解2与面积有关的三角形综合问题的解题思路选取适当的面积公式，结合正弦、余弦定理及三角恒等变换的知识，将问题转化为求函数的最值或范围，进而予以解决 7