第2节函数与导数

第2节 函数与导数一、知识框架1.导数的定义： 2.导数的几何意义： 3.导数运算公式及四则运算4.导数的应用（1）曲线的切线（2）函数单调性（3）极值与最值（4）优化问题二、基础自测1. 直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值是_2. 设P是函数y(x1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_3. 若函数f(x)ln x在区间(m，m2)上单调递减，则实数m的范围是_4. 已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则_ 5.若方程ln x2xa0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是_6. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 三、典型例题例1.已知函数f(x)ax3bx23x(a，bR)在点(1，f(1)处的切线方程为y20.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点M(2，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围例2. 已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若在上单调递减，求的取值范围。例3.若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)f(f(x)c，其中c2,2，求函数yh(x)的零点个数例4. 已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明对一切x(0，)，都有ln x成立例5. 已知函数f(x)axx2xln a(a0，a1)(1)当a1时，求证：函数f(x)在(0，)上单调递增；(2)若函数y|f(x)t|1有三个零点，求t的值；(3)若存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1，试求a的取值范围四、巩固提升1.已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不是单调函数，则t的取值范围是_ 2曲线在点(1，f(1)处的切线方程为 3. 已知函数是定义在R上的奇函数，则不等式的解集是 4. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)ex(x0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_5. 已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a0，b0（）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；（）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调递减区间为，求：（1）函数h（x）在区间（一，-1上的最大值M（a）；（2）若|h（x）|3，在x-2，0上恒成立，求a的取值范围。6.已知函数且x1)（1）若函数在上为减函数，求实数a的最小值；（2）若，使f(x1)成立，求实数a的取值范围参考答案一、基础自测1. ln 21 2. 3. 0m1. 4. 5. (，1ln 2)6.二、典型例题例1. 解：(1)f(x)3ax22bx3.根据题意，得即解得所以f(x)x33x.(2)因为点M(2，m)(m2)不在曲线yf(x)上，所以可设切点为(x0，y0)因为f(x0)3x3，所以切线的斜率为3x3.则3x3，即2x6x6m0.因为过点M(2，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，所以方程2x6x6m0有三个不同的实数解所以函数g(x)2x36x26m有三个不同的零点则g(x)6x212x.令g(x)0，则x0或x2.x(，0)0(0,2)2(2，)g(x)00g(x)极大值极小值则即解得6m2.所以m的取值范围为(6,2)例2. 答案：（1）单调减区间为，单调增区间为；（2实数的取值范围为。例3. 解： (1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x.因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32.于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0；当2x0，故2是g(x)的极值点当2x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.(3)令f(x)t，则h(x)f(t)c.先讨论关于x的方程f(x)d根的情况，d2,2当|d|2时，由(2)可知，f(x)2的两个不同的根为1和2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)2的两个不同的根为1和2.当|d|0，f(1)df(2)d2d0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)f(2)2，此时f(x)d无实根同理，f(x)d在(，2)上无实根当x(1,2)时，f(x)0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)d0，yf(x)d的图象不间断，所以f(x)d在(1,2)内有惟一实根同理，f(x)d在(2，1)内有惟一实根当x(1,1)时，f(x)0，f(1)d0，yf(x)d的图象不间断，所以f(x)d在(1,1)内有惟一实根由上可知：当|d|2时，f(x)d有两个不同的根x1，x2满足|x1|1，|x2|2；当|d|2时，f(x)d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|2，i3,4,5.现考虑函数yh(x)的零点()当|c|2时，f(t)c有两个根t1，t2满足|t1|1，|t2|2，而f(x)t1有三个不同的根，f(x)t2有两个不同的根，故yh(x)有5个零点()当|c|2时，f(t)c有三个不同的根t3，t4，t5满足|ti|2，i3,4,5，而f(x)ti(i3,4,5)有三个不同的根，故yh(x)有9个零点综上可知，当|c|2时，函数yh(x)有5个零点；当|c|2时，函数yh(x)有9个零点例4.解：(1)f(x)ln x1，当x，f(x)0，f(x)单调递增0tt2，t无解；0tt2，即0t时，f(x)minf；t0)，则h(x)，x(0,1)，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.(3)问题等价于证明xln x(x(0，)，由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到设m(x)(x(0，)，则m(x)，易得m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到，从而对一切x(0，)，都有ln x成立例5. (1)证明：f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a，由于a1，故当x(0，)时，ln a0，ax10，所以f(x)0.故函数f(x)在(0，)上单调递增(2)当a0，a1时，因为f(0)0，且f(x)在R上单调递增，故f(x)0有惟一解x0.所以x，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)递减极小值递增又函数y|f(x)t|1有三个零点，所以方程f(x)t1有三个根，而t1t1，所以t1(f(x)minf(0)1，解得t2.(3)因为存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1，所以当x1,1时，|f(x)maxf(x)min|f(x)maxf(x)mine1.由(2)知，f(x)在1,0上递减，在0,1上递增，所以当x1,1时，f(x)minf(0)1，f(x)maxmaxf(1)，f(1)而f(1)f(1)(a1ln a)a2ln a，记g(t)t2ln t(t0)，因为g(t)120(当且仅当t1时取等号)，所以g(t)t2ln t在t(0，)上单调递增，而g(1)0，所以当t1时，g(t)0；当0t1时，g(t)1时，f(1)f(1)；当0a1时，f(1)1时，由f(1)f(0)e1aln ae1ae，当0a1时，由f(1)f(0)e1ln ae10a，综上知，所求a的取值范围为e，)三、巩固提升1. 或 2. 3. 4. 5.（1） （2）（3）6.解：（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立 所以当时，又，故当，即时，所以于是，故a的最小值为 （2）命题“若使成立”等价于“当时，有” 由（1），当时， 问题等价于：“当时，有” 当时，由（1），在上为减函数，则=，故 当时，由于在上为增函数，故的值域为，即(i)若，即，在恒成立，故在上为增函数，于是，=，不合 (ii)若，即，由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；所以，=，所以，与矛盾，不合 综上，得