重积分习题课讲义

重积分习题课讲义一、选择题1设连续，且，其中D是由， 所围成区域，则等于（ C ） （A）； （B）； （C）； （D）。 解：设（常数）。在D上对两边积分得： ，解得， 故。2二次积分可以写成（ D ） （A）； （B）； （C）； （D）。3设为连续函数，则I =（ B ） （A）； （B）； （C）； （D）。二、填空题1计算下列积分（1）。 解：。（2）。 解：。（3）。解：该积分不是二重积分的二次积分。2在极坐标系下的二次积分 为。三、解答题 1设区域为，求。解法1：关于直线对称，利用轮换对称性化简计算。 。解法2：根据积分区域形状选用极坐标计算。 。2计算，D：。解：直线将积分区域D分成两个子域，且。3设函数在区间上连续，并设， 求。解法1：化为二重积分，然后利用二重积分的性质。如图，： ，：。 ， 。解法2：更换二次积分顺序 。解法3：利用定积分换元法。 。解法3：利用分部积分 ， 得所求二重积分的方程，解之得。4计算二重积分，其中D是由直线，以及曲线 所围成的平面区域。解法1：解法2： .5求由曲面，所围立体的体积。解法1：两曲面的交线。故所求立体在面上的投影区域为。 。解法2：。解法3：。6设，其中是由和围成的区域，试在直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下分别将I化为三次积分。解：（1）在直角坐标系下，两曲面的交线为，面上的投影区域为。 。（2）在柱面坐标系下，。（3）在球面坐标系下，。7求，其中：。解：令，则：，。 。或由轮换对称性知：，.8利用广义球面坐标变换计算曲面（）所围成的体积V。解：作广义球面坐标变换，曲面方程化为，由。