浙大概率论与数理统计概率论PPT课件

1概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门学科。2u第一章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间 1.3 概率和频率 1.4 等可能概型（古典概型） 1.5 条件概率 1.6 独立性u第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数 2.4 连续型随机变量及其概率密度 2.5 随机变量的函数的分布u第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布 3u第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵u第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 u第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布4u第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 u第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验u第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归5u第十章 随机过程及其统计描述 10.1 随机过程的概念 10.2 随机过程的统计描述 10.3 泊松过程及维纳过程u第十一章 马尔可夫链 11.1 马尔可夫过程及其概率分布 11.2 多步转移概率的确定 11.3 遍历性u第十二章 平稳随机过程 12.1 平稳随机过程的概念 12.2 各态历经性 12.3 相关函数的性质 12.4 平稳过程的功率谱密度6 概 率 论7关键词：样本空间 随机事件频率和概率条件概率事件的独立性第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念81 1 随机试验 确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定确定性现象不确定性现象确定不确定不确定自然界与社会生活中的两类现象例： 向上抛出的物体会掉落到地上 明天天气状况 买了彩票会中奖9概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律 对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：1. 可以在相同条件下重复进行2. 事先知道可能出现的结果3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生 例： 抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；102 2 样本空间随机事件( (一) )样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S=e， 称S中的元素e为基本事件或样本点S=0,1,2,；S=正面，反面；S=(x,y)|T0yxT1；S= x|axb 记录一城市一日中发生交通事故次数 例：一枚硬币抛一次记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y 记录一批产品的寿命x11(二) 随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。S0,1,2,；记 A至少有10人候车10,11,12, S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。例：观察89路公交车浙大站候车人数， 如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。为方便起见，记为不可能事件，不包含任何样本点。 12(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等）例：记A=明天天晴，B=明天无雨记A=至少有10人候车，B=至少有5人候车一枚硬币抛两次，A=第一次是正面，B=至少有一次正面 2 ABABBA1 ABAB： 事 件发 生 一 定 导 致发 生BABABASAB13 事件的运算 | ABxxAxBAB或：与至 少 有 一 发 生 。121121,ninininiAAAAAAAA ：至 少 有 一 发 生：同 时 发 生SBASABSBAAB A与B的和事件，记为,ABABA B A与B的积事件，记为 | ABxxAxBAB且：与同 时 发 生 。当AB=AB=时，称事件A A与B B不相容的，或互斥的。 14 “和”、“交”关系式1211nniiniiAAA AA；1211nniiniiAAAAA ；AB AB ABA BABA BSABASA | A BABxxAxB且 , AASABSAAA BA BA A 的记 为, 逆 事 件互若,称逆 、 互 斥 例：设A A= 甲来听课 ，B B= 乙来听课 ，则：甲、乙至少有一人来甲、乙都来甲、乙都不来甲、乙至少有一人不来153 3 频率与概率(一)频率 定义：记 其中 A发生的次数(频数)；n总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率。例：中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记A=听课迟到，则 # 频率 反映了事件A发生的频繁程度。An()nAfAnn；()nfA1 n ；()15 1788%nfA()nfA试验序号n =5n =50n =500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表表 1 1 例：抛硬币出现的正面的频率17实验者nnHfn(H)德摩根204810610.5181蒲 丰404020480.5069K皮尔逊1200060190.5016K皮尔逊24000120120.5005表表 2 218* 频率的性质：且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p()nfA121110()12()13,()()nnkkkniniiifAfSAAAfAfA。 。 。 若, ,两 两 互 不 相 容 ， 则 19 (二) 概率 定义1： 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义2：将概率视为测度，且满足： 称P(A)为事件A的概率。()nfA10()1PA。 2()1P S。 12113,()()kkkiiiiAAAPAPA。 若, ,两 两 互 不 相 容 ， 则 202()()()()()ABP BAP BPAP BPA，若则 有 3 ()()()()PABPAP BPA B概 率 的 加 法 公 式 ：1 ()1()PAPA性质：AAS()()1PAPA()0PBAA B()()()P BPAPA B()()()()0P BPAPA BP BA()()P BPA()ABABA B()()()PABPAP BA B2()()()BA BP BA BP BPA B。又， 由 知()()()()PABPAP BPA B# 3。的 推 广 ：1111121()()()()(1)()nniiijiijninijknijknPAPAPA APA A APA AA ()0()1PAAPAAS 不 能；不 能；214 4 等可能概型（古典概型）定义：若试验E满足：1.S中样本点有限(有限性)2.出现每一样本点的概率相等(等可能性)APAS所 包 含 的 样 本 点 数中 的 样 本 点 数称这种试验为等可能概型( (或古典概型) )。22例1：一袋中有8个球，编号为18，其中13 号为红球，48号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A= 摸到红球 ，求P(A) 解： S=1,2,8 A=1,2,3 38PA23例2：从上例的袋中不放回的摸两球， 记A=恰是一红一黄，求P(A) 解：11235815()/53.6%28PAC CC()/, 0,1,knknkDNDNPACCCkn0LmC（注：当Lm或L0，i=1,2,n；则称：12nAA SA BA BA B 1()(|)(|)()(|)iiinjjjP BPABP BAP BPAB()(|)()iiP B AP BAPAijA BA Bij与不 相 容1()()(|)njjjPAP BPAB为全概率公式全概率公式1()()njjPAPAB1()(|)njjjP BPABB1B2BnSA证明： 定理：接上定理条件， 称此式为BayesBayes公式。36* 全概率公式可由以下框图表示：设 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,n易知：11njjpSP1P2Pn.B2B1Bn.q2q1qnA1|njjjPAPBPAB37例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%，若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差，则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 ()0.80, (|)0.20, (|)0.90PAP BAP BA已 知 1 ()()P BPABAB( ) ( | )()( | )PAPBAP A PBA0.80.20.20.934 % ()()1682 (|)( )()()3417P ABP ABP A BP BP ABP ABA BA B与不 相 容Bayes公式全概率公式()()PA BPA B解：设A=甲出差，B=乙出差38 例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：若设A=试验反应是阳性，C=被诊断患有癌症 则有：已知某一群体P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？(|)5% ,(|)5% ,PACPAC()(|)()P ACP CAP A()(|)0.087()(|)()(|)P CPACP CPACP CPAC若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987说明这种试验方法可在医院用解：考察P(C|A)的值若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。39 例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次,每次取1件，设Ai=第i次取到正品，i=1,221278(|)()910PAAPA2128(|)()10PAAPA()0,()0PAP B不放回抽样时，放回抽样时，即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响定义：设A，B为两随机事件， 若P(B|A)=P(B)， 即P(AB)=P(A)*P(B) 即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立。 40 注意：, 1A BA BA BA BPA BPAPBPA BPAA BPAPA BPAPBPAPB相 互 独 立相 互 独 立相 互 独 立相 互 独 立当时1212112,2, ,kjnkiiiijnAAAnknPA AAPAAAA定 义 ： 设为个 随 机 事 件 ， 若 对 均 有 ：则 称相 互 独 立1 两 两 独 立 不 能相 互 独 立2 实 际 问 题 中 ， 常 常 不 是 用 定 义 去 验 证 事 件 的 独 立 性 ， 而 是 由 实 际 情 形 来 判 断 其 独 立 性 。41 例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被 击中的概率。()()()()CABP CPAP BPAB则 ：，()0.70.80.560.94P C 解：设 A=甲击中,B=乙击中C=目标被击中 甲、乙同时射击，其结果互不影响， A，B相互独立42 例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的 概率。 ,1, 2, 3, 4 iAiiA解 ： 设第 个 元 件 运 行 正 常系 统 运 行 正 常1432注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同1234AAA AA则 ：1234,AAAA由 题 意 知 ，相 互 独 立231234()()()()PAPAPA AApppp32512314()()PAPA A AA Appp另 解 ， 对 吗 ？43 1,2pp 例 ： 甲 、 乙 两 人 进 行 乒 乓 球 比 赛 ， 每 局 甲 胜 的 概 率 为 对 甲 而 言 ， 采 用 三 局 二 胜 制 有 利 ， 还 是 采 用 五 局 三 胜 制 有 利 ？ 设 各 局 胜 负 相 互 独 立 。, 1, 2, 5iiAiPApi解 ： 设第 局 甲 胜A 再 设甲 胜 22121231231121PAPA AA A AA A Apppp 三 局 二 胜 制 ： 22213121PPPPP123452313233422 11PAPA A AAApCppCppp 五 局 三 胜 制 ： 前 三 次 有 一 次 输前 四 次 有 两 次 输21211, 2 1, 2pppppp当当44总结： 1. 2. ; ;3. 01;1 1 1 2AnSeASABABABABAnfAnPAPSA BPABPAPBPAPAABPAP 样 本 空 间 随 机 事 件事 件 的 关 系 ：事 件 的 运 算 ：频 率 ：概 率 的 定 义 ： 满 足当时 ，概 率 的 性 质 ： 当时 1211 3 = 4. |,()(|) ()()(|), (|)()(|)5. nniijjinjjjjBPABPAPBPA BPA BPBAPA BPAPBAPABBBSP BPABPAP BPABP BAP BPAB条 件 概 率 ： 当为的 一 划 分 时 ，事 件 独 立 性45复习思考题复习思考题 1 1 ,3. , ABABABABABA BA BABABA BAB设和为两事件即“至少有一发生”事件 为“恰有一发生”事件与“同时发生”事件的和事件。 此结论成立吗？1.“事件A不发生，则A=”,对吗？试举例证明之。2. “两事件A和B为互不相容，即AB=,则A和B互逆”，对吗？ 反之成立吗？试举例说明之。4. 甲、乙两人同时猜一谜，设A=甲猜中，B=乙猜中， 则AB=甲、乙两人至少有1人猜中。若P(A)=0.7,P(B)=0.8, 则“P(AB)=0.7+0.8=1.5”对吗？5. 满足什么条件的试验问题称为古典概型问题？12 10,19 , , ,6. AAS SA ASAPA一 口 袋 中 有个 球 其 中 有 个 白 球 及个 红 球 。 从 中 任 意 取 一 球 设取 到 白 球则取 到 红 球且 设 样 本 空 间 为中 有 两 个 样 本 点 而是 其 中 一 个 样 本 点 问对 吗 ？467.如何理解样本点是两两互不相容的？8.设A和B为两随机事件，试举例说明P(AB)=P(B|A)表示不同的意义。10.什么条件下称两事件A和B相互独立？什么条件下称n个事件A1,A2,An相互独立？11.设A和B为两事件，且P(A)0,P(B)0,问A和B相互独立、A和B互不相容能否同时成立？试举例说明之。12.设A和B为两事件，且P(A)=a,P(B)=b,问：(1) 当A和B独立时,P(AB)为何值？(2) 当A和B互不相容时, P(AB)为何值？ ,0,| |1|9.ABPAPBAPBPBAPBAPBA设和为 随 机 事 件问是 否 成 立 ？是 否 成 立 ？4713.当满足什么条件时称事件组A1,A2,An为样为本空间 的一个划分？14.设A,B,C为三随机事件，当AB，且P(A)0, P(B)0时，P(C|A)+P(C|B)有意义吗？试举例说明。15.设A,B,C为三随机事件,且P(C)0,问P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)是否成立？若成立，与概率的加法公式比较之。48第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布关键词：随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数491 1 随机变量随机变量* * 常见的两类试验结果：示数的降雨量；候车人数；发生交通事故的次数示性的明天天气（晴，多云）；化验结果（阳性，阴性）esx离散型的连续型的X=f(e)为S上的单值函数，X为实数 * * 中心问题：将试验结果数量化* * 定义：随试验结果而变的量X为随机变量* * 常见的两类随机变量502 2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 定义：取值可数的随机变量为离散量离散量离散量的概率分布(分布律)10,1iiipp样本空间S X=x1，X=x2，X=xn， 由于样本点两两不相容111()()iiiiP SP Xxp1、写出可能取值即写出了样本点2、写出相应的概率即写出了每一个样本点出现的概率P1x2xix1p2pipX# # 概率分布51 例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。1(0)() PXPAp；12(1)()(1) PXPA App；2123(2)()(1) PXPA A App；3123(3)()(1) PXPA A Ap；pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3 0 ,1 ,2 3XXXXS注 意 ：为的 一 个 划 分 解： 设Ai=第i个灯为红灯，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。52 例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0p1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品， 试写出X的概率分布律。1121()()(1), 1, 2,kkkPXkPA AAAppk 解：设Ai=第i次抽到正品，i=1,2, 则A1,A2,相互独立。 亦称X为服从参数p的几何分布。53三个主要的离散型随机变量 01(p) 分布 二项分布Xpq01p样本空间中只有两个样本点即每次试验结果互不影响在相同条件下重复进行(p+q=1),AA * * n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串的试验为n重贝努利试验贝努利试验。54例：1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面，如果是不放回抽样呢？,A A,A A1 2P出 现 正 面1 6PA1 2PA 2.将一颗骰子抛n次，设A=得到1点，则每次试验 只有两个结果： 3.从52张牌中有放回地取n次，设A=取到红牌，则 每次只有两个结果：55设A在n重贝努利试验中发生X次，则并称X服从参数为p的二项分布二项分布，记()(1) 0 1kknknPXkCppkn， ，()Xb np，3123(0)()(1)PXPA AAp3123(3)()PXPA AAp22321231231233(2)()(1)PXPA AAA AAA AACpp11311231231233(1)()(1)PXPA AAA AAA AACpp ()(1),0,1, 2,kknknPXkCppkn一 般0 1() 1nnkknknkpqCp qqp注 ：其 中推导：设Ai i= 第i次A发生 ，先设n=356例： 设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。571, 2, 3, 420iXAii解 ：以记 “ 第 一 人 维 护 的 20台 中 同 一 时 刻 发 生 故 障 的 台 数 ” 。 以表 示 事 件 “ 第 人 维 护 的台 中 发 生 故 障 不 能 及 时 维 修 ” ， 则 知 80台 中 发 生 故 障 不按 第 一 种 方 法 。 能 及 时 维 修 的 概 率 为 ：123412PAAAAPAPX20, 0.01 ,Xb而故 有 ：1021kPXPXk 12020010.010.990.0169kkkkC12340.0169PAAAA即 有 ：80,80, 0.01 ,80YYb按 第 二 种以记台 中 同 一 时 刻 发 生 故 障 的 台 数 ，此 时故台 中 发 生 故 障 而 不 能 及 时 维 修方 法 。的 概 率 为 ： 380800410.010.990.0087kkkkPYC58 例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次红灯的概率。 (3,)Ybp 331 ()(1), 0,1, 2, 3kkkP YkCppk2232 (2)(1)P YCpp 解：这是三重贝努利试验59 例：某人独立射击n次，设每次命中率为p， 0p0为常数，则称X服从参数为的指数分布指数分布。记为 0()0 0 xexfxx()XEP1 0()0 0 xexFxx00(|)PXttXt00()()PXttPXt001()1()tFtteFt()PXt X具有如下的无记忆性：71 210tNttPoissonTT例 ： 某 大 型 设 备 在 任 何 长 度 为 的 区 间 内 发 生 故 障 的 次 数 服 从 参 数 为的分 布 ， 记 设 备 无 故 障 运 行 的 时 间 为 1 求的 概 率 分 布 函 数 ； 已 知 设 备 无 故 障 运 行个 小 时 ， 求 再 无 故 障 运 行 8个 小 时 的 概 率 。 /!, 0,1, 2,ktPNtketkk解 ： 1 00TtFt当时 ， 1TFtPTtPTt 0101tTtFtPNte当时 ，8182 18 |10810PTPTTePTPT72 正态分布正态分布定义：设X的概率密度为其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)，记为可以验算：22()21( ) 2xfxex ，2(,)XN ()1fx dx+ ()fx dx22 tIedt记2212xttedt 令2212tedt22()22xyIedxdy22200rdredr2I( )1fx dx2, 2, 73称为位置参数(决定对称轴位置) 为尺度参数(决定曲线分散性)m ax21 ()12 ()23 ()0(,)xfxxfflimfxXN 关 于对 称0 fx1x550.51.0 fxx1.50.7980.3990.266074X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散， 是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。752 (,) XN 当时 (0 1) ZNZ记， ，称服 从 标 准 正 态 分 布()()()baP aXb ()P aXb xt作 变 换 ：221 2xZxe的 概 率 密 度 ：221 ()2txZxedt的 分 布 函 数 ：1xx22()212xbaedx ()P aXb2212btaedt()yx()x()x0yxxx76 例：2(,)XN ()() (1)(1)2(1)10.6826PXPX(2)2(2)10.9544PX (3)2(3)10.9974PX查书后附表9 9 .7 4 %3268.26%2395.44%77 例：一批钢材(线材)长度(1)若=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm 的概率；(2)若=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间(97,103)内，问至多取何值？2() (,)XcmN (97.8)PX 解 ：(1)97.8100()21(1.1)10.86430.1357查 附 表= 9710390%PX(2) 令 ：103100971003 ()()2()190%即3()0.9531.6451.823778 例：设某地区男子身高(1) 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm的概率；(2) 若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？2()(169.7, 4.1 )XcmN (175)PX 解 ： (1) 5175(5,), 0.0985cmbpp(2) 设人 中 有 Y人 身 高 大 于， 则 Y其 中175169.71()4.11(1.293)10.90150.0985查 表5(1)1(0)1(1)0.4045P YP Yp1145(1)(1)0.3253P YCpp795 随机变量的函数分布问题：已知随机变量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。2(,)XN，(0)P Y Xpi i0.2-1010.50.3(0)0.5PX(1)P Y (1)(1)PXX (1)(1)0.5PXPX 例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？例：已知X具有概率分布 且设Y=X2，求Y的概率分布。解：Y的所有可能取值为0,1即找出(Y=0)的等价事件(X=0)；(Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1)80例：设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。, 04()80, Xxxfx其 他2()YFyPYyPXyPyXy 0()0;YyFy当时 ， 16 ()1YyFy当时 ， 016 y当时 ,11, 0168162 0, yyy其 他()()( )() ( )()()xauxadfxft dtfxdxdft dtfu xuxdx连 续 时 ，() ()XYFxFy，解：分别记X,Y的分布函数为()0YFyPXy()XFy( )yXft dt1(), 0162() 0, XYfyyyfy其 他Y在区间(0,16)上均匀分布。81一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：12 ,(),()();jjiYYyyyYyXDP YyPXD1. 若为 离 散 量 ， 则 先 写 出的 可 能 取 值 ：再 找 出的 等 价 事 件得2. ()() (), ()()()YYYYYFyP YyYyXDFyPXDYfy若为 连 续 量 ， 则 先 写 出的 概 率 分 布 函 数 ：，找 出的 等 价 事 件得； 再 求 出的 概 率 密 度 函 数；关键是找出等价事件。82例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。13X-110p131323Z01p1313Y-220p1313解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1)故得：83例： 2() ()YXfxxYXYfy 设的 概 率 密 度 为，求的 概 率 密 度()YYFy解 ： 设的 概 率 分 布 函 数 为 0()YyFy当时 ，()P Yy2()PXy( )yyft dt00( )( )yyft dtft dt()()YYfyFy1()(), 02 0 , 0fyfyyyy84(),()0 ()0)() XXfxxgxgxYgXY 定 理 ： 设，或。，则具 有 概 率 密 度 为 ：()() , () 0, XYfh yhyyfy其 他m in (),() m ax (),()()()gggghyxygx 其 中，()0,gx证 明 ： 不 妨 设()0hy且 ：()()()()()YXXfyfhyhyfhyhy()0 gx同 理 可 证 ： 当时 ， 定 理 为 真xh(y),yy0y=g(x)ygx则为 单 调 增 函 数 , ()()()()0YyFyP YyP gXyPX 当时 ，； y当时 ，()1YFy ； y当时 ，()()YFyP Yy()P gXy()PXh y()( )hyXft dt85(), ()0(,) ,()0 ()0)() ()() , () 0, m in(),( ) m ax(),( )()()XXYXfxxfxa baxbgxgxYgXYfh yhyyfyg ag bg ag bh yxygx推 论 ： 设当时或。，则具 有 概 率 密 度 为 ：其 他其 中，86例：2(,) ()YXXNYYfy 设，求的 概 率 密 度()xygx，3, 04() ()80, YxxXfxYXfy。若，求 其 他3() ygxx，131, 06 4()2 4 0 , Yyyfy其 他222(,) (,)XNYaXbYNab a 一 般 若，1 ()0gx，()xh yy()()YXfyfy2212ye(0,1)YN13 ()xyh y2()30gxx，21331()()3YXfyyfy解：例： 解：87 1 2,0,1XFxXFxYFXYU例 ： 设服 从 参 数 为的 指 数 分 布 ，为的 分 布 函 数 。求；设试 证即 均 匀 分 布。 ,01 0 , 0 xexXfxx解 ：由 前 知 ,1,0 0 ,0 xexFxx1,02 0 ,0XeXYFXX01YYFyY记为的 概 率 分 布 函 数 ,00YyFyPYy当时 ，11YyFyPYy当时 ，011XYyFyPey当时 ，1XPey11PXlny 0, 0 , 01 , 0,11, 1YyFyyyYUy即111lnyey88复习思考题复习思考题 2 21.什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？2.满足什么条件的试验称为“n重贝努里试验”？3.事件A在一次试验中发生的概率为p,0p1。若在n次独立重复的试验中，A发生的总次数为X,则X服从什么分布？并请导出：4.什么条件下使用泊松近似公式等式较为合适？5.什么样的随机变量称为连续型的？6.若事件A为不可能事件，则P(A)=0,反之成立吗？又若A为必然事件， 则P(A)=1，反之成立吗？7.若连续型随机变量X在某一区间上的概率密度为0，则X落在该区间 的概率为0，对吗？8.若随机变量X在区间(a,b)上均匀分布，则X落入(a,b)的任意一子区间 (a1,b1)上的概率为(b1-a1)/(b-a),对吗？9.若XN(,2)，则X的概率密度函数f(x)在x=处值最大，因此X落在附近的概率最大，对吗？1, 0,1,nkkknPXkCpkkn89 概 率 论90第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量分布函数 分布律 概率密度边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度条件分布函数 条件分布律 条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度911 1 二维随机变量二维随机变量问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H H的分布或仅研究体重W W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。92定义：设E是一个随机试验，样本空间S=e；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量二维随机向量或二维随机变量二维随机变量。(,)()() (,)Fx yPXxYyPXx Yy记 成0 x,x yySey ,XeYex定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，二元函数称为二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数。93 分布函数分布函数 的性质的性质1212(,)(,)xxFxyFxyx1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)(,)Fx y1212(,)(,)yyFx yFx y2 0(,)1 (,)1 ,Fx yFx y ，对 任 意 (,)(,)(,)0FyFxF 1,Fx yx y。关 于单 调 不 减 ， 即 ：940(,)(,)lim FxyFx yx2y1x1y20 (,)(,)lim Fx yFx y12124 ,xxyy若22211211(,)(,)(,)(,)0FxyFxyFxyFxy3,Fx yx y。关 于右 连 续 ， 即 ：121222211211,(,)(,)(,)(,)0PxXxyYyFxyFxyFxyFxy因 为95二维离散型随机变量二维离散型随机变量 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。, ,1, 2,iiXYxyij 设所 有 可 能 取 值 为, ,1, 2,ijijPXxYypij称y1y2yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij1x2xix离散型随机变量的联合概率分布：为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示：96 分布律的性质分布律的性质 例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。1 0 ,1, 2, ijpij，11(,)()(|)41, 2, 3, 4 PXi YjPXi P YjXiiiji；116YX12344000116111220116112300116112112 1ijijP 解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4； j取不大于i的正整数。即(X,Y)的联合概率分布为：97 2112,1, 2 ,iitNttP oissonXtittXX例 2： 某 足 球 队 在 任 何 长 度 为的 时 间 区 间 内 得 黄 牌或 红 牌 的 次 数服 从 参 数 为的分 布 记为 比 赛 进 行分 钟 后 的 得 牌 数。 试 写 出的 联 合 分 布 。 , 0,1, 2,!ktetPNtkkk解 ：12121,|PXi XjPXiPXjXi211211, 0,1, 2,1,.!()!jiitttettetiji iiji98 二维连续型随机变量二维连续型随机变量,(,)(,)yxXYFx yfx yx yFx yfu v dudv对 于 二 维 随 机 变 量的 分 布 函 数 如 果 存 在 非 负 函 数， 使 对 于 任 意， 有定 义 ：,XY连 续 型 的 二 维称为随 机 变 量,XYfx y二 维 随 机 变 量称为的 概 率 密 度99概 率 密 度 的 性 质 ： 1. ,0fx y 2. (,)1fx y dxdy 3. , (,)(,)GGxoyXYGPXYGfx y dxdy设是平 面 上 的 区 域 ， 点落 在内 的 概 率 为 ： (,)1(,)(,)zfx yxoyPXYGzfx y1 在 几 何 上 ，表 示 空 间 一 个 曲 面 ， 介 于 它 和平 面 的 空 间 区 域 的 体 积 为 2等 于 以 G为 底 ， 以 曲 面为 顶 面 的 柱 体 体 积 。 所 以X,Y落 在 面 积 为 零 的 区 域 的注 ：概 率 为 零 。 2(,)(,)(,)Fx yfx yfx yx y 4.在的 连 续 点 (x,y)， 有100 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度： ( 23), 00(,) 0, xykexyfx y，其 他2(,)Fx y 求 分 布 函 数； 3()P YX求的 概 率(1 )k求 常 数；(,)1,fx y dxdy解 ： (1)利 用得230061xykedxedyk6k101( 23)6, 00(,) 0, xyexyfx y，其 他2 (,)(,)yxFx yfu v dudv ( 23)03 ()6xyyP YXedxdy ( 23)006, 0,0 0 , yxuvedudvxy 其 他230023, 0,0 0 , xyuveduedvxy其 他23(1)(1), 0,0 0, xyeexy其 他3203(| )yxyeedy3203yyeedy503yedy5033|55ye 102 例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常数k；(2) 求概率 解：, 01(,)0, kxyxyfx y其 他 1 (,)1fx y dxdy利 用 1(,)fx y dxdy得 ：2 (1)PXY(1)PXY100ykxydxdy 13028kky dy8k11208xxdxxydy122204 (1)xxxdx1201114(12)236xx dx1xyyx01032 2 边缘分布边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数边缘分布函数。(,),Fx y() ()XYFxFy，()(,)()(,)XYFxFxFyFy ()()(,)YFyP YyFy同 理 得 ：()()(,)(,)XFxPXxPXx YFx (,) ()XFx yyFx 即 在 分 布 函 数中 令，就 能 得 到事实上，104对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为( ) ,1, 2,ijijPXxYypij，1()() 1, 2,iiijijPXxPXxYppi 记 为，=1()() 1, 2,jjijjiP YyPXYyppj 记 为，= iiijjijpppjppi记 号中表 示是 由关 于求 和 后 得 到 的 ； 同 样是 由关 于 求 和 后 得 到 的 ；p11p12p1jp11xp21p22p2jp22xpi1pi2pijpi ixXYy1y2yjiPXxp1p2p.j1jPYyX,Y的边缘分布律为：注意：105对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为(,)fx y()(,)()(,)XYfxfx y dyfyfx y dx()XFx(,)Fx( ,)xft y dy dt( )xXft dt()YFy(,)Fy(, )yfx t dx dt( )yYft dt事实上，同理： X,Y的边缘概率密度为：106 0, 0, 1, , 10, 2, 20, ,XYXYXY例 1： 对 一 群 体 的 吸 烟 及 健 康 状 况 进 行 调 查 ， 引 入 随 机 变 量健 康不 吸 烟和如 下 ：一 般一 天 吸 烟 不 多 于 15支不 健 康一 天 吸 烟 多 于 15支根 据 调 查 结 果 ,得的 如 下 的 联 合 概 率 分 布 ：00.0250.350.04YX0102010.02520.0200.100.250.150.04 12 |20XYPXY 试 写 出 关 于和的 边 缘 概 率 分 布 ；2 求的 值 。X0210.3700.4150.215p 解 ：1 由 题 意 可 得 ：Y020100.3150.3950.290p0.2522 |200.7940.315PXY107 例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) (1 |1)PXYYX-1100.20.1a120.10.2b(1 |1)0.5P YX已 知 ：0 .2(1 |1)0 .3aP YX又X10.420.6ipjpY0.30.5-1100.2 23 (1 |1)0.45PXY0 .210 .3a2a0 .1 b = 0 .3，(2) 解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4108 例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布均匀分布。现设(X,Y)在有界区域上均匀分布，其概 率密度为 求边缘概率密度 解：1, (,)(,)0 , Ax yGfx y其 他2xyx26, (,)0, xyxfx y其 他() ()XYfxfy，()(,)Xfxfx y dy2266(), 01 0, xxdyxxx其 他()(,)Yfyfx y dx66(), 01 0, yydxyyy其 他109 212221122222121212121241 (,)21()()()()1exp22(1) , 0 011, fx yxxyyXXYyYx 例： 设 二 维 随 机 变 量的 概 率 密 度 为 ： 其 中，都 是 常 数 ， 且，； ， 我 们 称为 服 从 参121222(,)(;)1212XYN数 为，的 二 维 正 态 分 布 ，记 为 ：； 试 求 二 维 正 态 随 机 变 量 的 边，缘 概 率 密 度 。1102211222222121212()(,)()()()()11exp22(1)21Xfxfx y dyxxyydy 解 ：2212122211()122 (1)212121xyxeedy 221221222112()1()22(1)21211221xyxeedy 2121()211 2xex 2222()221 (), 2xYfyey 同 理即 二 维 正 态 分 布 的两 个 边 缘 分 布 都 是一 维 正 态 分 布 ，并 且 都 不 依 赖 于 参 数1113 3 条件分布条件分布正如对两事件A,B，若 可以考虑条件概率一样，对二维离散型随机变量(X,Y)，其分布律为：我们也可以考虑条件概率(|)P BA()0,PA() ,1, 2,ijijPXxYypij，()0,jjP Yyp若(|) 1, 2,ijPXxYyi()(|) 1, 2,()ijijijjjP XxYyPP XxYyiP Yyp，由条件概率公式可得：112 定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj， ()0jP Yy若， 则 称 ：()(|) 1, 2()ijijjiiiPXxYypP YyXxjPXxp，jYyX为 在条 件 下 ， 随 机 变 量的；条条 件件 分分 布布 律律()(|) 1, 2()ijijijjjPXxYyPPXxYyiP YyP， ()0iPXx若， 则 称 ：iXxY为 在条 件 下 ， 随 机 变 量的。条条 件件 分分 布布 律律同样，对于固定的xi，113 例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中 任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球 的只数。求 （1）X，Y的联合分布率； （2）X=1时Y的条件分布率； (3) Y=0时X的条件分布率。 解：X, Y的联合分布率为X Y 0 1 2 01/154/152/15 13/154/15 0 21/15 0 0114故在X=1的条件下，Y的分布律为：(1)7 15 ,PX 由 于(0 |1)3 7P YX(1 |1)4 7P YX(2 |1)0P YX同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的条件下，X的分布律为：X Y 0 1 2 01/154/152/15 13/154/15 0 21/15 0 0 X 0 1 2P(X=k/Y=0) 1/5 3/5 1/5 Y 0 1 2P(Y=k/X=1) 4/7 3/7 0115 例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直至击中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。 解：(01),pp22(,)(,), 1, 2, 3, 1, 2,1.nXYPXm Ynp qqpnmn的 分 布 律 为 ：22111()(,), 1, 2,nmnmnmXPXmPXm Ynp qpqm的 边 缘 分 布 律 为 ：11122221()(,)(1), 2,3,nmnnnmYP YnP Xm Ynp qnp qn的 边 缘 分 布 律 为 ：116(2, 3,),()0n nP Yn于 是 对 每 一，YnX在条 件 下 ，的 条 件 分 布 律 为 ：22221(|), 1, 2,1.(1)1nnp qPXmYnmnnp qn(1, 2,),()0m mPXm对 每 一，XmY在条 件 下 ，的 条 件 分 布 律 为 ：2211(|), 1,2,nnmmp qP YnXmpqnmmpq117 定义：条件分布函数()0,P Yy若YyX则 在条 件 下 ，的 条 件 分 布 函 数 为 ：|(,)(|)(|)()X YPXx YyFxyPXxYyP Yy()0, 0,()0P YyPyYy若但 对 任 给YyX则 在条 件 下 ，的 条 件 分 布 函 数 为 ：|00(,)(|)(|)()X YPXx yYyFxylim PXxyYylimPyYy(|)PXxYy仍 记 为118 定义：条件概率密度,( ,),XYfx y设 二 维 随 机 变 量的 概 率 密 度 为,(),YXYYfy关 于的 边 缘 概 率 密 度 为,()0Yyfy若 对 于 固 定 的|(,)()(,)(|)()YX YYfx yYyXfyfx yfxyfy则 称为 在的 条 件 下 ，的 条 件 概 率 密 度 ，记 为 ：,()0Xxfx同 理 ， 若 对 于 固 定 的|( ,)(|)()Y XXfx yXxYfyxfx在条 件 下 ，的 条 件 概 率 密 度 为 ：119由定义：|(,)(|)(|)(|)()X YX YX YYfx yfxyFxyfxyxfy|(|)(|)X YX YfxyFxyx0(,)()PXx yYylimxPyYy0(,)(,)()()YYFx yFx ylimxFyFy00(,)(,)()()YYFx yFx ylimFyFyxlim(,)()YFx yydFyxdy2(,) ()YFx yx yfy (,) ()Yfx yfy事实上，120 例3：设二维随机变量(X,Y)在区域(x,y): y x1 内均匀分布，求条件概率密度21|32(|)()X YfxyPXY及1, y1(,)0, xfx y其 他11, 11()(,) 0, yYdxyyfyfx y dx其 他|1, y x11(|) 0, X Yyfxy其 他二维均匀分布的条件 分布仍为均匀分布2132122 312 3()()223X YPXYfxdxdx 解： 根据题意，(X,Y) 的概率密度为： Y的边缘概率密度为： 于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：xyo112140,101,1()YXXxxYxYfy。例： 设 数在 区 间上 随 机 取 值 ， 当 观 察 到时 数在 区 间上 随 机 取 值 ， 求的 概 率 密 度 ,YXY为 求的 概 率 密 度 ， 就 要 先 求的 概 率 密 度 ；:分 析1 01,()0 XxXYfx即 可 求 得的 概 率 密 度 ,而其 他XYX而 根 据的 边 缘 概 率 密 度 和在给 定 下 的 条 件 概 率 密 度 ，|(01),1 1 (|)10 Y XxxXxYxyfyxx解 ： 对 任 给在条 件 下 ，的 条 件 概 率 密 度 为 ：其 他|1 1, 01,(,)()(|)10 XY XxyxXYfx yfxfyxx故的 概 率 密 度 为 ：其 他01(1) 01 ()( ,)10 yYYdxlnyyfyfx y dxx 所 以的 边 缘 概 率 密 度 为 ：其 他 1224 4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 (,)()() ( ,)()()XYP Xx YyP Xx P YyFx yFx Fy即,(,),(),(),(,)()()XYXYXYfx yfxfyXYXYfx yfxfy若是随 机 变 量 ，分 别 是的 概 率 密 度 和 边 缘 概 率 密 度 ， 则相 互 独 立 的条 件 等 价 于 ：几 乎 处 处 成 立 ；即 在 平 面 上 除 去 “ 面 积 ” 为 零 的 集 合 以 外 ， 处连 续 型处 成 立 。,x y的 分 布 函 数 及 边 缘 分 布 函 数 ， 若 对 所 有有 ：,XY称 随 机 变 量相 互 独 立 。,(,)()() ,ijijijijXYXYPXxYyPXxP Yypppij若是随 机 变 量 ， 则相 互 独 立 的条 件 等 价 于离：即对切散 型一都 成 立 。(,)(),(),XYFx yFxFyXY设及分 别 是 二 维