线性代数第四章PPT课件

1 向量之间关于这两个运算的关系, 即所谓的线性关系则是线性代数所要研究的核心内容. 利用这些理论去解释线性方程组求解过程, 将会发现对线性方程组的系数矩阵施行初等行变换并将其化为行阶梯型时, 这些阶梯型矩阵中其元素不全为零的行的数目其实是该矩阵行向量间和列向量间所共有的一个十分重要的数字特征, 从而我们能够更深入地了解线性方程组解的结构.第1页/共119页2第2页/共119页3第3页/共119页4nbbb12 第4页/共119页5第5页/共119页6第6页/共119页7第7页/共119页8 显然, 关于向量的加法和数乘, 定理中运算律成立. 我们现在定义：第8页/共119页9 1 + = + （加法交换律）（加法交换律） 2 +( + )=( + )+ （加法结合律）（加法结合律） 3 +O= 4 +(- )=O 5 1 = 6 k(l )=(kl) 7. k( + )=k +k 8. (k+l) = k +l 其中其中, , , 是任意向量是任意向量, k, l是任意的实数是任意的实数. 第9页/共119页10第10页/共119页11二二. 向量子空间向量子空间第11页/共119页12例1证明:如果W是Rn的一个子空间,则必有O W.aa3 例2设S为R2中所有形如(a为任意实数) 的向量的集合,验证S是R2的一个子空间.例3验证下述集合是Rn(n 2)的一个子空间. 121121( , , , , 0)|, , , nnSaaaaaaR第12页/共119页13例4验证如下形式的向量的全体构成的集合不是的子空间.Raa21,12(, 1),aa 明显地， Rn是Rn自身的子空间;另外,只含零向量的子集=O也是Rn的一个子空间.第13页/共119页14线性组合与线性表出线性组合与线性表出定义设 1, 2, m Rn,k1,k2,km为m个数,称向k1 1+k2 2+km m为向量组 1, 2, m的一个线性组合.，第14页/共119页15定义设 1, 2, m, Rn,如果存在数l1,l2,lm使得 =l1 1+l2 2+lm m则称向量可由向量组 1, 2, m线性表出.，第15页/共119页16例线性方程组的向量形式:给定一线性方程组令系数矩阵 aijm n的列向量组为 1, 2, n,而且令向量 =(b1,b2,bm)T,则该线性方程组可以表示为以下向量形式：x1 1+ x2 2+xn n = 从而,线性方程组是否有解当且仅当该方程组的常数项向量 是否可由其系数矩阵的列向量组 1, 1, n线性表出.mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111第16页/共119页17例试判定向量 =(1,2,0, 2)T是否可由向量组线性表出. 1=(1,1,1,0)T, 2=(1,1,0,1)T, 3=(1,0,1,1)T, 4=(0,1,1,1)T第17页/共119页18定理定理设设 1, 2, , m是一组向量，则是一组向量，则span( 1, 2, , m)是一个向量空间是一个向量空间.二、生成子空间*第18页/共119页19推论推论设设W是是Rn的一个子空间的一个子空间, 1, 2, , m是是W中一中一组向量组向量, 则则W=span( 1, 2, , m)（即即W由向量组由向量组 1, 2, , m所生成）的充分必要条件是：所生成）的充分必要条件是：W中每中每一向量可由一向量可由 1, 2, , m线性表出线性表出. 定理定理设设W是是Rn的一个子空间的一个子空间, 1, 2, , m是是W中中一组向量一组向量, 则则span( 1, 2, , m) W 第19页/共119页20注注. 若若W=span( 1, 2, , m) , 则称则称 1, 2, , m是子空间是子空间W的一组的一组生成元生成元, 并称并称W为为 1, 2, , m生成的子空间生成的子空间.第20页/共119页21第21页/共119页22 取取 , 为平面为平面 上起点在原点且不共线的两个向上起点在原点且不共线的两个向量量. 则则 , 生成了生成了 的一个子空间的一个子空间 . 由由 , 不共线知不共线知, 对任意的两个不全为零的数对任意的两个不全为零的数k和和l, 线性组合线性组合k +l 不不是零向量是零向量. 否则否则,如有不全为零的数如有不全为零的数k和和l, 使得使得 k +l =O不妨设不妨设l0，则有，则有 =( k/l) 从而从而 与与 共线共线(即即 是是 的的 倍倍),矛盾矛盾. 因此因此, 等式等式 k +l =O， k，l R 要成立要成立, 必须有必须有 k 0 和和 l 0同时成立同时成立. 此时称此时称 与与 是线性无关的是线性无关的. 第22页/共119页23 另外，由另外，由 , 生成生成W知，知，W中任意向量中任意向量 可由可由 , 线性表出线性表出, 即存在实数即存在实数c和和d，使得，使得 =c +d 即有即有 c +d =O 从而从而, 有不全为零的数有不全为零的数c, d, 和和 1, 使得成立使得成立. 这时称这时称向量组向量组 , , 是线性相关的是线性相关的.第23页/共119页24 设设 1, 2, , m是向量空间是向量空间V的一组向量的一组向量. 如存在如存在一组不全为零的数一组不全为零的数k1, k2, , km使得使得 k1 1+ k2 2 + + km m=O则称则称 1, 2, , m是是线性相关线性相关的；的；否则否则, 当且仅当当且仅当k1, k2, , km全为零时式才成立全为零时式才成立, 则则称称 1, 2, , m是是线性无关线性无关的的. 第24页/共119页25 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量两向量线性相关两向量对应元素成比例两向量线性无关两向量不对应成比例注. .第25页/共119页26 一向量组中存在一个向量，则一定线性相关 几何上：两向量线性相关两向量共线；三向量线性相关三向量共面. .第26页/共119页27( )( ,),( ,),(,),( ,) 123421102011 10021( )( ,) ,( ,) ,( ,)TTT 1233423201253第27页/共119页28kkkkkkkkk 123123123240204320第28页/共119页29 124211432rrrr 1213241240390514rr2353124039001第29页/共119页30 121010120101rr 12121002020101rr 23121001010202rr 232121001010004第30页/共119页31第31页/共119页32小结：判定给定的一向量组小结：判定给定的一向量组 1, 2, , m是否线是否线性相关或线性无关，通常运用性相关或线性无关，通常运用“待定系数法待定系数法”，即，即设待定系数设待定系数 满足关系式满足关系式再根据向量相等则各对应分量分别相等而得到一再根据向量相等则各对应分量分别相等而得到一个关于这个关于这m个待定系数（做为未知量）的齐次线个待定系数（做为未知量）的齐次线性方程组，并进一步求解性方程组，并进一步求解. 如有非零解如有非零解, 则则 1, 2, , m线性相关线性相关. 否则否则, 1, 2, , m线性无关线性无关. 在本章第六节我们还将引入初等变换的方法对向在本章第六节我们还将引入初等变换的方法对向量组的线性相关性进行判定量组的线性相关性进行判定.1122mmkkkO第32页/共119页33第33页/共119页34iisiiisiiiikkkkkkkk 111111证. . 必要性. .线性相关，iiiissiikkkkk 1 11111至少有一个系数ki0，使得第34页/共119页35充分性. .1111111111110iiiiissiiiiissllllllll 所以A线性相关. .第35页/共119页36第36页/共119页37第37页/共119页38ssssmmsmskkkkkk 111112121211 ,mmmssssmkkkkkkkkk 111212122121212第38页/共119页39通俗地：通俗地：“多的如能被少的表出，则相关多的如能被少的表出，则相关”.此定理可等价地叙述为：此定理可等价地叙述为：通俗地说，通俗地说，“少的不能表出多的无关组少的不能表出多的无关组”.第39页/共119页40第40页/共119页41,kkkabcabc 123111111000000第41页/共119页42第42页/共119页43第43页/共119页44第44页/共119页45第45页/共119页46证. .设向量组 中有r个向量线性相关，不妨设 线性相关，则存在一组不全为零的数 ，使得因而存在不全为零的数 使得故 线性相关. . 11220rrkkk 11221000rrrskkk 12, , ,s 12,rk kk12,r 12,0,0rk kk12,s 第46页/共119页47第47页/共119页48第48页/共119页49例6.6.若向量组 线性相关，而向量组 线性无关，则向量 可由 线性表出，且表示法唯一. .12,s 12,s 12,s 证明. .第49页/共119页50 向量空间V 中一组向量如满足(i)线性无关;(ii) V 中任一向量可由此向量组线性表出.则称为V 中的一个基.第50页/共119页51第51页/共119页52第52页/共119页53( ,),( ,),( ,) 12312 1 4 1 102 1 0 1 103 0 2 1 0 讨论向量空间讨论向量空间 span( 1, 2, 3)的维数的维数. 第53页/共119页54第54页/共119页55, 1234510001010110011100000 例如例如, 下述五个四维向量显然线性相关下述五个四维向量显然线性相关.第55页/共119页56第56页/共119页57第57页/共119页58定理 设向量组可由向量组1, 2, , s线性表出, 则向量组第58页/共119页59定理 设向量组可由向量组1, 2, , s线性表出, 则向量组第59页/共119页60 ,TTTT 1234031138226552000280411第60页/共119页61rr 21382203116552000280411rrrr 131534382203110291111000208821rrrr 232511838220311000400020003/()r 3438220311000100020003第61页/共119页62/1201 2010011000100000000r ,rrrrrrrr 31323435832330220011000100000000rr 21300210011000100000000第62页/共119页63. 31212第63页/共119页64给定一给定一 m n 级的矩阵级的矩阵 A=(aij)m n. . 第64页/共119页65第65页/共119页66第66页/共119页67：第67页/共119页68第68页/共119页69第69页/共119页70 1112121222121212(,)(,)sssnnnnsbbbbbbbbb 第70页/共119页71即， 1, 2, s可由 1, 2, n线性表出， r( AB)r( A)同理可证 r( AB)r(B),总之，r ABr Ar B()min( ( ),( ) 故 1, 2, s的任一极大无关组可由 1, 2, n的任一极大无关组线性表出，从而第71页/共119页72 第72页/共119页73设齐次线性方程组设齐次线性方程组 AXO (4.7.1) 其中其中 (),(,) ,( , ,)TTijm nnmAaXxxxO1210 00. . 第73页/共119页74第74页/共119页75第75页/共119页76rnrnrrrrrnr rrncccddccddA11111,11,11100000000000000 第76页/共119页77rrnnrrnnrr rrrnnxdxd xxdxd xxdxd x11,11122,112,11 ,rrnxxx12100010001 第77页/共119页78显然显然,rrnr rr rrnn rdddddd 111211212100010001是齐次方程组的一组解，且由于是齐次方程组的一组解，且由于右边的向量组无关，故以上的向右边的向量组无关，故以上的向量组也是一个无关组量组也是一个无关组. .,100010001 第78页/共119页79另一方面，把上述方程组写成向量的形式，另一方面，把上述方程组写成向量的形式，,rrnrr rr rrnrrrnrnxdddxdddxxxxxx111121121122100010001 ,n r12 第79页/共119页80第80页/共119页81 xxxxxxxxxxx 123123412342302440510170 例例求下述齐次线性方程组的一个基础解系，并写求下述齐次线性方程组的一个基础解系，并写出其通解出其通解.12132512301230244100215101710021rrrr 解. .对系数矩阵作初等行变换第81页/共119页822321121.50.512301201.500210010.500000000rrrrr 所以1242432212xxxxx 第82页/共119页831223/210,;01 201 从而基础解系为通解为1 12212,(,).xkkk kR 第83页/共119页84解. .对系数矩阵作初等行变换补充例补充例1 1 求下列齐次线性方程组求下列齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解. .1234123423340253207730 xxxxxxxxxxxx 111125327731A r102/73/7015/74/70000 第84页/共119页85122/73/75/74/7,;1001 从而基础解系为通解为1 12212,(,).xkkk kR 所以13423423775477xxxxxx 第85页/共119页86r171002231010440001200000 32050323612015316414A 补充例补充例2 求下列以求下列以A为系数矩阵齐次方程组的基为系数矩阵齐次方程组的基础解系与通解础解系与通解第86页/共119页87120.53.50.750.25,100201 所以，基础解系为所以线性方程组的通解为 1 12212,. xkkk kR 第87页/共119页88非齐次的线性方程组的解的讨论非齐次的线性方程组的解的讨论 设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组AX= 其中其中A=(aij)m n, , X=(x1, x2, , xn)T, , (b1, b2, , bm)T, 并且并且 b1, b2, , bm 不全为零不全为零. 上述方程组有解时上述方程组有解时, 其解与对应的齐次线性方程其解与对应的齐次线性方程组组AX=O的解有着密切的联系的解有着密切的联系.第88页/共119页89第89页/共119页90第90页/共119页91第91页/共119页92 xxxxxxxxxxx 123123412342312443510174 例例 求下述非齐次线性方程组的通解：求下述非齐次线性方程组的通解： 12132512301123012441300211510171400211rrrr 解. .对方程组的增广矩阵进行行初等变换：第92页/共119页932321121.50.5123011201.52.5002110010.50.50000000000rrrrr 所以12424352221122xxxxx 原方程组的一个特解为051,0,022T 第93页/共119页941223/210,;01 201 导出组的基础解系为通解为01 12212,(,).xkkk kR 第94页/共119页95 25,R AR B 因所以线性方程组有无穷多解. .解. .对增广矩阵进行行初等变换：1 1 1 1173 12 1320 2 12623B 1 0 1/2 029/20 1 1/2 1323/20 00000r 补充例3求解下列非齐次线性方程组123451234523457323222623xxxxxxxxxxxxxx 第95页/共119页96xxxxxxx135234519222123322 所所以以1231/2021/213,.100010001 令令，求得基础解系为，求得基础解系为345100010001xxx ，第96页/共119页97令令345000 xxx ，得一特解，得一特解9/223/2000 故所求通解为故所求通解为1231/2029/21/21323/2100001000010 xkkk 123,k k kR 第97页/共119页98求该方程组的通解求该方程组的通解. .补充例4设四元非齐次线性方程组Axb的系数矩阵A的秩为3，已知它的解向量为 ，其中123, 1233446,1820 解解. .方程组的导出组基础解系含方程组的导出组基础解系含4 3=1个向量，为个向量，为123171()232 第98页/共119页99故方程组的通解为故方程组的通解为13147()1322 xcccR 第99页/共119页100,n r 12 第100页/共119页1014) 通解即为通解即为 01122n rn rkkk. 第101页/共119页102设设 V 是一是一 n 维向量空间，维向量空间， 1, 2, , n是是 V 的一的一个基个基. 4.8 基变换与坐标变换基变换与坐标变换* V， 则存在则存在 c1, c2, , cn V 使得使得， =c1 1+ c2 2+cn n （23） 第102页/共119页103第103页/共119页104现在设现在设 1, 2, , n是是 V 的另一个基，那么又存在的另一个基，那么又存在 n个数个数 d1, d2, , dn为为 在基在基 1, 2, , n下的坐标， 即下的坐标， 即 第104页/共119页105问题问题是：作为同一向量在不同基下的坐标向量，是：作为同一向量在不同基下的坐标向量，(d1, d2, , dn)T与与(c1, c2, , cn)T之间的关系如何表之间的关系如何表示？示？因为因为 1, 2, , n是是 V 的一个基， 则对每一个的一个基， 则对每一个 j有线性有线性表达式表达式 , ,jjjnjnjn 1221 2 第105页/共119页106第106页/共119页107再由坐标的唯一性得再由坐标的唯一性得 nncdcdAcd 1122 第107页/共119页108定理定理4.8.2 向量空间向量空间V的任两个基之间的过渡矩的任两个基之间的过渡矩阵可逆阵可逆. 第108页/共119页109第109页/共119页110第110页/共119页111第111页/共119页112第112页/共119页113若已知具体的向量数值第113页/共119页114第114页/共119页115第115页/共119页116第116页/共119页117第117页/共119页118作业：pp.?-?，1,2，3,5(1)，6(2),(4)，8，11,13,18,19,22,23(2),25(2),26(1),27.第118页/共119页119感谢您的观看！第119页/共119页