随机向量及其分布PPT课件

2、火箭在空中的飞行姿态，水平位置和高度，经度（X），纬度（Y），高度（Z）是定义在上的三个随机变量。即每一个点对应三个实数值，称向量（X，Y，Z）为三维随机向量。 1 1、体检时每个人有身高和体重两个指标、体检时每个人有身高和体重两个指标, ,分别用分别用X X和和Y Y表示。表示。 随机向量的例子第1页/共25页二维随机向量的样本空间(1) (1) 二维随机向量（二维随机向量（X X，Y Y）的）的一个可能值可以用平面上的一一个可能值可以用平面上的一个点表示个点表示D(2)样本空间是平面上的一些离散点或者平面区域D第2页/共25页一、二维随机向量（X，Y）的联合分布函数1. 1. 定义：定义：F（x, y）=PXx, Yy 第3页/共25页第4页/共25页 对于任意的对于任意的x x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2， P P x x1 1XxXx2 2，y y1 1YyYy2 2 F F（x x2 2, y, y2 2）-F-F( (x x2 2,y,y1 1) ) - -F F( (x x1 1 ,y,y2 2) )+F+F( (x x1 1 ,y,y1 1) ) 3 矩形区域内的概率计算：第5页/共25页4 . 4 . F F（x,yx,y）的基本性质：（1）F(x,y) 是x和y的单调不减函数。即 对于任意固定的y，当x1x2时，F（x1 ,y）F（x2 , y）； 对于任意固定的x，当y1y2时，F（x ,y1）F( x, y2)（2）0F（x,y）1, F(-，-)=0，F（+，+）=1 对任意固定的y，F（-，y）=0 对任意固定的x，F（x，-）=0（3）F（x,y）关于 x 右连续，关于 y 也是右连续的，即 F（x+0,y）=F（x,y），F（x,y+0）= F（x,y）（4）对于任意的x1x2, y1y2有下列不等式 F（x2 , y2）-F（x2 , y1）-F（x1 ,y2）+ F（x1 ,y1）0第6页/共25页: F(- ,+ )=?思思考考第7页/共25页例1、设（X，Y）的分布函数 ( , )(arctan)(arctan)xxF x yA BC34求求 A,B,C 的值及概率的值及概率PX3,Y4解:由分布函数的性质, (,),F 1 (,),F 0 (,),F 0得得 ()()22A BC1 ()()22A BC 0 ()()22A BC 0解得 A 21 2B 2C ,()()()P XYF 219343,4422416 (,)xy 第8页/共25页二、二、 离散型随机向量的概率分布离散型随机向量的概率分布111 ijijp第9页/共25页 （5）（）（X，Y）的联合分布函数为：）的联合分布函数为：xxyyijijpyxF),(其中和式是对一切满足xix，yjy的i, j来求和的。 y1 y2 yj yj+1 x1 p11 p12 p 1j p 1j+1 x2 p21 p22 p 2j p 2j+1 ： ： ： ： ： xi pi1 pi2 pij pij+1 xi+1 pi+11 pi+12 pi+1j pi+1j+1 ： ： ： ： ：XY第10页/共25页例题例题3 3设随机变量设随机变量X X在在1 1，2 2，3 3，4 4四个数中等可能地取一个四个数中等可能地取一个数，另一个随机变量数，另一个随机变量Y Y在在1 1X X中等可能地取一个数，中等可能地取一个数，试求（试求（X X，Y Y）的分布律）的分布律x xy y1 2 3 4 1 2 3 4 1 12 23 34 41/4 0 0 01/4 0 0 01/8 1/8 0 01/8 1/8 0 01/12 1/12 1/12 01/12 1/12 1/12 01/16 1/16 1/16 1/161/16 1/16 1/16 1/16第11页/共25页的分布列。 ),(YXXY由乘法公式得 ,XY解解可能取值分别都为可能取值分别都为1 1，2 2，3 300411| 111, 111XYPXPYXPp6132411|212, 112XYPXPYXPp121314113p一袋中有四个球，一袋中有四个球， 上面分别标有数字上面分别标有数字1 1，2 2，2 2，3 3从袋中任取一球后不放回，从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一个球，以再从袋中任取一个球，以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求求第12页/共25页同理可得61314221p61314222p61314223p121314131p61324132p004133p 所以 的分布列为),(YXXY06/112/112/16/106/16/16/1321123可见可见0ijp1jijip第13页/共25页三、 二维连续型随机向量的概率分布( , )( , ) yxF x yf u v dudv 则称（则称（X X，Y Y）为二维连续型随机向量，）为二维连续型随机向量，f f( (x, yx, y) )为为（X,YX,Y）的（联合）概率密度或（联合）分布密度。）的（联合）概率密度或（联合）分布密度。第14页/共25页2 .概率密度 p(x, y) 的性质2( , )F x yx y (, )( , )DPX YDp x y dxdy第15页/共25页 例例5 5 已知二维连续型随机向量（已知二维连续型随机向量（X X，Y Y）的联合概率密）的联合概率密度，求度，求 (1)K ; (2)F(x,y);(3)P0X1,0Y1; (4) PX+Y 1 (),0,0( , )0,x ykexyp x y 当当其其它它 1),(dxdyyxpkekdyedxekdxdyekxyxyx 200000)()|(1第16页/共25页 ()0000(1)(1)xyxyu vuvxyedudve due dvee (1)(1),0,0( , )0,xyeexyF x y 其其他他（3）记D = （x , y）| 0 x1,0y1，则 01,01PXY ( ,)xyDDp x y dxdyedxdy 111200(1)0.3996xyedxedye第17页/共25页 （4）记D=（X，Y）| X+Y 1，则有1( , ) DP XYp x y dxdy () xyDed x d y 11()00 xxydxedy 110(1) xxeed x210.2642 e x+y=1第18页/共25页例6、设（X，Y）的分布函数 2( , )(arctan)(arctan)xxF x y 12324),(yx试求：试求：(1)(X(1)(X，Y)Y)的分布密度的分布密度(2) P0 X3解、解、2( )( , )()()f x yxy 2212191633200( )0303,( , )()()PXPXYf x y dxdyxy 22212dxdy19164第19页/共25页四、两个重要分布四、两个重要分布 1 均匀分布（1） 设平面区域D 的面积为 A ，若随机向量（X，Y）的概率密度为1,( ,)( ,) 0,x yDp x yA其 它111111(, ) DDAP X YDdxdydxdyAAA 则称随机向量（则称随机向量（X X，Y Y）在区域）在区域D D上服从均匀分布。上服从均匀分布。（2 2）若区域）若区域D D内任一部分区域内任一部分区域D D1 1，其面积为，其面积为A A1 1，则有，则有第20页/共25页 G=(X,Y)G,(X,Y)例题 设区域x,y)|0 x1,0yx例题 设区域x,y)|0 x1,0yx二维随机向量在 上服从均匀分布二维随机向量在 上服从均匀分布试求的分布函数试求的分布函数2 ( , ): ( , )0 x yGf x y 解解其他其他(1)x0 y0,F(X,Y)=0或时或时(2)01 , 0y, ( , )(2)xx F x yyxy2(3)01, ( , )xyxF X Yx时时(4)1,01, ( , )(2)xyF x yy y(5)1,1 F(x,y)=1xy第21页/共25页 的二维正态分布，记为 ),(YX 221211( , )exp2(1)21f x y 221122221122()()()()2 xxyy ,21210,02111),(YX,2121221212(,) (,) X YN 若二维随机变量若二维随机变量的概率密度为的概率密度为其中其中都是常数都是常数, ,且且则称则称服从参数为服从参数为第22页/共25页 一、 二维随机向量（X，Y）的联合分布函数：F（x, y）=PXx, Yy yxdudvvupyxF),(),( 四 、 两个重要分布。 二、已知 pij=P X = xi ,Y = yj 或 p（x，y），确定常数， 分布函数，求概率xxyyijijpyxF),( 三、 F（x，y），pij , p(x,y) 的性质小小 结：结：第23页/共25页 作业 P66 5 6第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页