常微分方程王高雄第三 PPT课件

定义定义1:1: 联系自变量、未知函数及联系自变量、未知函数及未知函数导数未知函数导数（或微（或微分）的关系式称为微分方程分）的关系式称为微分方程. ; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程 第1页/共39页 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程.;2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程1.常微分方程如第2页/共39页 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程偏微分方程.; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程. 2.偏微分方程如都是偏微分方程.第3页/共39页定义定义2 2：微分方程中出现的未知函数的：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数最高阶导数或或微分的微分的阶阶数称为微分方程的阶数数称为微分方程的阶数. . 2 ) 1 (xdxdy是一阶微分方程； 0 (2) ydxxdy是二阶微分方程； 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四阶微分方程. sin35 )4(2244txdtxddtxd二、微分方程的阶如:第4页/共39页) 1 (0),(nndxyddxdyx,y,Fn阶微分方程的一般形式为.是自变量,是未知函数,而且一定含有,的已知函数是0这里xyndxynddxyd,dxdyx,y,)dxyd,dxdyF(x,y,nnnn第5页/共39页 2 ) 1 (xdxdy 是线性微分方程是线性微分方程. 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxddtxd三 线性和非线性0)dxyd,dxdyF(x,y,nn如.,阶线性方程则称其为的一次有理式及的左端为ndxyddxdyynn1.如果方程第6页/共39页 是非线性微分方程是非线性微分方程. . 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxd2.n阶线性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函数是这里xxfxaxan不是线性方程的方程称为非线性方程第7页/共39页四 微分方程的解定义4:,),(满足条件如果函数Ixxy;阶的连续导数上有直到在)(1)nIxy,0)(),(),(,(:有对)2()(xxxxFIxn.0(x)上的一个解在为方程则称I)dxyd,dxdyF(x,y,ynn第8页/共39页例2.),(0cossin上的一个解在都是微分方程验证yyxx,yy证明:由于对,sin xy xx,yysincos(,),x 故对有 yyxsin0 xsin.),(在0sin上的一个解是微分方程故yyxy.),(0cos上的一个解在是微分方程同理yyxy第9页/共39页1 显式解与隐式解是方程的一个则称的解为方程所确定的隐函数如果关系式0),(,0),dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.)(xy第10页/共39页例如yxdxdy对一阶微分方程有显式解:2211.yxyx 和和隐式解:. 122 yx第11页/共39页2 通解与特解定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如:为任常数2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn阶微分方程通解的一般形式为),(1nccxy.,1为相互独立的任常数其中ncc 第12页/共39页注1:使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数,),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中第13页/共39页例3.6223c2321的通解是微分方程验证yyyyececeyxxxxxxececey23212c证明:由于,4c2321xxxececeyxxxececey23218c故yyyy22)2(c2321xxxecece)8(c2321xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2cc2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(86第14页/共39页.6223c2321的通解是微分方程故yyyyececeyxxx又由于3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 0.6223c2321的解微分方程是故yyyyececeyxxx第15页/共39页注2:.),(,0),(),(11该微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdyyxFccxy注3:类似可定义方程的隐式通解, 如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.第16页/共39页 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.例如.0cossin的特解都是方程yyxx,yy中分别取可在通解xcxcycossin21:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到c,sin xy .cosxy 定义6第17页/共39页问题问题：通解可能无穷多个，如何找到有用的特解呢？第18页/共39页3 定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题. 常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:)1(01)1()1(000,nnnydxydydxdyyyxx时当.1,)1(0)1(000个常数是给定的这里nyyyxn当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.第19页/共39页注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常记为问题的解的初值问题也称满足条件阶微分方程求,)(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy第20页/共39页例4.1)0(, 2)0(,045421的特解并求满足初始条件的通解是方程验证yyyyyececyx-xyyy45-4x21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4-4x21cex)e4c (5-4x21cex)ec (4-4x21cex解由于且xxxxeeee4442121cccc0第21页/共39页.045ec-4x21的通解是方程故yyyceyx有由初始条件1)0(, 2)0(yy221cc1421cc解以上方程组得1, 321cc的特解为满足初始条件故方程1)0(, 2)0(045yyyyy-4xe3xey第22页/共39页的如下解例：求微分方程12 xdxdy相切的解与直线满足通解1(3)3(2)(1)10 xyydxcxxy26132xxy12xxy的如下解例：求微分方程12 xdxdy相切的解与直线满足通解1(3)3(2)(1)10 xyydx的如下解例：求微分方程12 xdxdy第23页/共39页思考1、微分方程的解是否连续？是否可导？2、通解是否一定包含了全部解？3、所有方程都有通解吗？第24页/共39页五 积分曲线和方向场1 积分曲线一阶微分方程),(yxfdxdy,平面上的一条曲线所表示的解xy(x)y称为微分方程的积分曲线.,族称这族曲线为积分曲线平面上的一族曲线对应而其通解xy(x,c)y第25页/共39页2 方向场),(,),(,),(,),(,),(yxfdxdyDyxyxfyxDDyxf为方程有这种直线段的区域称带点的线段中心在的值为斜率上一个以都画处内每一点在的定义域为设函数在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场.,),(,),(为参数其中的等斜线为方程kkyxfyxfdxdy第26页/共39页 方向场画法：适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场.例例 画出方程画出方程 所确定的方向场示意图所确定的方向场示意图.22yxy 解解方程的等斜线为方程的等斜线为,22Cyx 画出五条等斜线画出五条等斜线,再在每条等斜线再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的上适当选取若干个点画出对应的向量，如图方向场。向量，如图方向场。xoy第27页/共39页根据方向场即可大致描绘出积根据方向场即可大致描绘出积分曲线分曲线经过点经过点(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三条积分曲线如左图所示。的三条积分曲线如左图所示。xoy第28页/共39页例5.的方向场研究方程xydxdy第29页/共39页例6.2, 2| ),(的方向场和积分曲线内画出方程在区域ydxdyyxyxD积分曲线方向场第30页/共39页方向场示意图 积分曲线 例7.2的方向场和积分曲线研究方程yxdxdy第31页/共39页六、微分方程组六、微分方程组定义定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组微分方程组。一般形式：1112211111( ;,)( ;,)( ; ),( ; )( ;,)( ;,)nnnnnnnnyf t yyyf t yydf tf tdtyft yyyf t yyyyyy第32页/共39页Lorenz方程方程Volterra两种种群竞争模型两种种群竞争模型()d xayxd td yx zc xyd td zyb zd t(1.18)()()d xxab xc yd td yyde xf yd t(1.19)第33页/共39页高阶微分方程高阶微分方程 的另一种形式的另一种形式( ; ,)0nndzd zF t zdtdt1( )1( ; ,)0nnndzdzzg t zdtdt如果把如果把 都理解为未知函数，并作变换都理解为未知函数，并作变换(1),nz z zz (1)123,nnyz yz yzyz1211( ;,)nnnndyydtdyydtdyg t yydt上述上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组高阶微分方程可以变为下列微分方程组并可以记为向量形式并可以记为向量形式( ; )dyf t ydt其中均为向量函数其中均为向量函数,( ; )y f t y分析分析：微分方程（组）的向量形式为其：微分方程（组）的向量形式为其用线性代数知识进行研究讨论提供了方用线性代数知识进行研究讨论提供了方便。便。第34页/共39页七、驻定与非驻定七、驻定与非驻定( ),ndfDdtyyyR与t无关，驻定系统( , ),ndf tDdtyyyR与t有关，非驻定系统第35页/共39页八 相空间与轨线 1. 不含自变量，只有未知函数构成的空间成为 相空间2. 积分曲线在相空间的投影称为轨线.3.( ),dfdtyy对( )0fyy奇点或平衡点相空间（x,y）又称相平面。第36页/共39页111111(,)( ,)nmnmmnyyxxD yyD xxyyxx 九、雅可比矩阵与函数相关性九、雅可比矩阵与函数相关性对于对于 个变元的个变元的 个函数定义雅可比矩阵为个函数定义雅可比矩阵为nm当当 时，称雅可比矩阵对应的行列式为雅可比行列式，记为时，称雅可比矩阵对应的行列式为雅可比行列式，记为nm11(,).( ,)nnyyxx第37页/共39页P27 4.第38页/共39页感谢您的观看。第39页/共39页