高考数学 高考必会题型 专题8 概率与统计 第36练 概率的两类模型

1 第 36 练 概率的两类模型 题型一 古典概型问题 例 1 某班级的某一小组有 6 位学生 其中 4 位男生 2 位女生 现从中选取 2 位学生参加 班级志愿者小组 求下列事件的概率 1 选取的 2 位学生都是男生 2 选取的 2 位学生一位是男生 另一位是女生 破题切入点 先求出任取 2 位学生的基本事件的总数 然后分别求出所求的两个事件含有的 基本事件数 再利用古典概型概率公式求解 解 1 设 4 位男生的编号分别为 1 2 3 4 2 位女生的编号分别为 5 6 从 6 位学生中任取 2 位学 生的所有可能结果为 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 共 15 种 从 6 位学生中任取 2 位学生 所取的 2 位全是男生的方法数 即从 4 位男生中任取 2 个的方 法数 共有 6 种 即 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 所以选取的 2 位学生全是男生的概率为 P1 615 25 2 从 6 位学生中任取 2 位 其中一位是男生 而另一位是女生 其取法包括 1 5 1 6 2 5 2 6 3 5 3 6 4 5 4 6 共 8 种 所以选取的 2 位学生一位是男生 另一位是女生的概率为 P2 815 题型二 几何概型问题 例 2 2013 四川改编 节日前夕 小李在家门前的树上挂了两串彩灯 这两串彩灯的第一次 闪亮相互独立 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生 然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪 亮 那么这两串彩灯同时通电后 它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 破题切入点 由几何概型的特点 利用数形结合即可求解 答案 34 解析 设在通电后的 4 秒钟内 甲串彩灯 乙串彩灯第一次亮的时刻为 x y x y 相互独立 由题 意可知Error 如图所示 两串彩灯第一次亮的时间相差不超过 2 秒的概率为 P x y 2 S正 方 形 2S ABC S正 方 形 2 4 4 2 12 2 2 4 4 1216 34 题型三 古典概型与几何概型的综合问题 例 3 已知关于 x 的一元二次方程 9x2 6ax b2 4 0 a b R 1 若 a 是从 1 2 3 三个数中任取的一个数 b 是从 0 1 2 三个数中任取的一个数 求已知方程 有两个不相等实根的概率 2 若 a 是从区间 0 3 内任取的一个数 b 是从区间 0 2 内任取的一个数 求已知方程有实数 根的概率 破题切入点 本题中含有两个参数 显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件 问题 第 1 问利用列举法将基本事件罗列出来 再结合题意求解 第 2 问将 a b 满足的不等式转化为可行域 平面区域问题 从而利用几何概型的概率公式 求解 解 设事件 A 为 方程 9x2 6ax b2 4 0 有两个不相等的实数根 事件 B 为 方程 9x2 6ax b2 4 0 有实数根 1 由题意 知基本事件共 9 个 即 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 其中第一个数表示 a 的取值 第二个数表示 b 的取值 由 36a2 36 b2 4 36a2 36b2 36 4 0 得 a2 b2 4 事件 A 要求 a b 满足条件 a2 b2 4 可知包含 6 个基本事件 1 2 2 1 2 2 3 0 3 1 所以方程有两个不相同实根的概率 P A 69 23 2 由题意 方程有实根的区域为图中阴影部分 故所求概率为 P B 1 6 6 6 总结提高 1 求解古典概型问题的三个步骤 判断本次试验的结果是否是等可能的 设出所求事件 A 分别计算基本事件的总数 n 和所求事件 A 所包含的基本事件的个数 m 利用古典概型的概率公式 P A 求出事件 A 的概率 若直接求解比较困难 则可以利用 mn 间接的方法 如逆向思维 先求其对立事件的概率 进而再求所求事件的概率 2 几何概型并不限于向平面 或直线 空间 投点的试验 如果一个随机试验有无限多个等可 3 能的基本结果 每个基本结果可以用平面 或直线 空间 中的一点来表示 而所有基本结果 对应于一个区域 这时 与试验有关的问题即可利用几何概型来解决 3 几何概型的概率求解 一般要将问题转化为长度 面积或体积等几何问题 在转化中 面 积问题的求解常常用到线性规划知识 也就是用二元一次不等式 或其他简单不等式 组表示 区域 几何概型的试验中事件 A 的概率 P A 只与其所表示的区域的几何度量 长度 面积或体 积 有关 而与区域的位置和形状无关 1 从标有 1 2 3 7 的 7 个小球中取出一球 记下它上面的数字 放回后再取出一球 记 下它上面的数字 然后把两数相加得和 则取得的两球上的数字之和大于 11 或者能被 4 整 除的概率是 答案 1649 2 已知实数 a b 满足 Error x1 x2 是关于 x 的方程 x2 2x b a 3 0 的两个实根 则不 等式 0 x1 10 f 1 0 即Error 建立平面直角坐标系如图 满足题意的区域为图中阴影部分 故所求概率 P 32 16 332 3 2014 陕西改编 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中 任取 2 个点 则这 2 个点的距离 不小于该正方形边长的概率为 答案 35 解析 取两个点的所有情况为 10 种 所有距离不小于正方形边长的情况有 6 种 概率为 610 35 4 有一底面半径为 1 高为 2 的圆柱 点 O 为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱内随机取 一点 P 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 答案 23 4 解析 设点 P 到点 O 的距离小于等于 1 的概率为 P1 由几何概型 则 P1 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率 P 1 V半 球V圆 柱 2 3 13 12 2 13 13 23 5 在面积为 S 的矩形 ABCD 内随机取一点 P 则 PBC 的面积小于 的概率是 S4 答案 12 解析 如图 M N 分别为 AB CD 中点 当点 P 位于阴影部分时 PBC 的面积小于 根据几何概型 其概率为 P S4 S矩 形 MBCNS矩 形 ABCD 12 6 已知点 A 在坐标原点 点 B 在直线 y 1 上 点 C 3 4 若 AB 则 ABC 的面积大于10 5 的概率是 答案 524 解析 设 B x 1 根据题意知点 D 1 34 若 ABC 的面积小于或等于 5 则 DB 4 5 即 DB 12 52 所以点 B 的横坐标 x 而 AB 74 134 10 所以点 B 的横坐标 x 3 3 所以 ABC 的面积小于或等于 5 的概率为 5 P 3 74 6 1924 所以 ABC 的面积大于 5 的概率是 1 P 524 7 2013 湖北 在区间 2 4 上随机地取一个数 x 若 x 满足 x m 的概率为 则 56 m 答案 3 解析 由 x m 得 m x m 当 m 2 时 由题意得 解得 m 2 5 矛盾 舍去 2m6 56 当 2 mn x2m2 y2n2 如图 由题意知 在矩形 ABCD 内任取一点 Q m n 点 Q 落在阴影部分的概率即为所求的 概率 易知直线 m n 恰好将矩形平分 所求的概率为 P 12 9 2013 江苏 现有某类病毒记作 XmYn 其中正整数 m n m 7 n 9 可以任意选取 则 m n 都取到奇数的概率为 6 答案 2063 解析 P 4 57 9 2063 10 平面内有一组平行线 且相邻平行线间的距离为 3 cm 把一枚半径为 1 cm 的硬币任意 投掷在这个平面内 则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 答案 13 解析 如图所示 当硬币中心落在阴影区域时 硬币不与任何一条平行线相碰 故所求概率 为 13 11 已知向量 a 2 1 b x y 1 若 x y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子 六个面的点数分别为 1 2 3 4 5 6 先后抛掷 两次时第一次 第二次出现的点数 求满足 a b 1 的概率 2 若 x y 在连续区间 1 6 上取值 求满足 a b 0 的概率 解 1 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次 所包含的基本事件总数为 6 6 36 个 由 a b 1 有 2x y 1 所以满足 a b 1 的基本事件为 1 1 2 3 3 5 共 3 个 故满足 a b 1 的概率为 336 112 2 若 x y 在连续区间 1 6 上取值 则全部基本事件的结果为 x y 1 x 6 1 y 6 满足 a b 0 的基本事件的结果为 A x y 1 x 6 1 y 6 且 2x y 0 画出图形如图 矩形的面积为 S 矩形 25 阴影部分的面积为 S 阴影 25 2 4 21 12 7 故满足 a b85 78 方法二 该同学参加这次水平测试物理 化学 生物成绩至少一个为 A 的事件概率大于 85 理由如下 该同学参加这次水平测试物理 化学 生物成绩全不为 A 的事件有 1 种情况 即 其概率为 则物理 化学 生物成绩至少一个为 A 的概率为W1W2 W3 18 P2 1 85 18 78