初三数学换元法专练

利用换元法解分式方程的四种常见类型一、直接换元例1 解方程.解：设，则原方程可化为.解得 .当时，解得 ；当时，解得 .经检验，是原方程的根.二、配方换元例2 解方程 .解：原方程配方，得 .设则.解得 .当时，即.因为，所以方程无实数根.当时，即.解得 .经检验，是原方程的根.三、倒数换元例3 解方程.解：设，则原方程可化为.去分母，整理，得，解得 .当时，即.解得 .当时，即.解得 .经检验，都是原方程的根.四、变形换元例4 解方程.解：原方程可变形为.设，则原方程可化为.去分母，整理，得.解得 .当时，即.解得 .当时，即.因为，所以方程无实数根.经检验，是原方程的根.例1 解方程分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。解 设，于是原方程变形为解得例2 解方程分析 方程左边分式分母为，可将右边看成一个整体，然后用换元法求解。解 设，则原方程变形为例3 解方程分析 这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。解 原方程为例4 解方程解 设练习：1. 解方程2. 解方程3. 解方程提示：1. 设2. 3. 设。 二次根式一、知识要点概述1、二次根式：式子叫做二次根式2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式4、二次根式的主要性质5、二次根式的运算 (1)因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去 (2)有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化 (3)二次根式的加减法： 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 (4)二次根式的乘除法 二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式 (5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算二、典例剖析分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手例3、已知xy0，化简二次根式的正确结果是（ ） A B C D分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号例6、已知，求abc的值分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试 点评： 应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，|a|，a2n，是三种重要的非负数表现形式判断一个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式，如： 在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简二次根式21.1 二次根式：1. 使式子有意义的条件是 。2. 当时，有意义。3. 若有意义，则的取值范围是 。4. 当时，是二次根式。5. 在实数范围内分解因式：。6. 若，则的取值范围是 。7. 已知，则的取值范围是 。8. 化简：的结果是 。9. 当时，。10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。11. 使等式成立的条件是 。12. 若与互为相反数，则。13. 在式子中，二次根式有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D. 15. 若，则等于（ ）A. B. C. D. 16. 若，则（ ）A. B. C. D. 17. 若，则化简后为（ ）A. B. C. D. 18. 能使等式成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 19. 计算：的值是（ ）A. 0 B. C. D. 或20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）A. B. C. D. 21. 若，求的值。22. 当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。23. 去掉下列各根式内的分母： 24. 已知，求的值。25. 已知为实数，且，求的值。21.2 二次根式的乘除1. 当，时，。2. 若和都是最简二次根式，则。3. 计算：。4. 计算：。5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ） A. B. C. D. 8. 对于所有实数，下列等式总能成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定10. 对于二次根式，以下说法中不正确的是（ ）A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为311. 计算： 12. 化简： 13. 把根号外的因式移到根号内： 21.3 二次根式的加减1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与是同类二次根式 C. 与不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. 与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 3 D. -36. 若，则的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 38. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，与是同类二次根式的是 。10.若最简二次根式与是同类二次根式，则。11. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则。13. 已知，则。14. 已知，则。15. 。16. 计算：. . . . 17. 计算及化简：. . . . 18. 已知：，求的值。19. 已知：，求的值。20. 已知：为实数，且，化简：。21. 已知的值。答案：21.1 二次根式：1. ； 2. ； 3. ； 4. 任意实数； 5. ； 6. ；7. ； 8. ；9. 4； 10. ； 11. ； 12. -1； 1320：CCCABCDB21. 4； 22. ，最小值为1； 23. ；24. ； 25. -221.2 二次根式的乘除：1. ； 2. 1、2； 3. 18； 4. -5； 5. 2.83；610： DDCAB11. ；12. ；13. 21.3 二次根式的加减：18：BAACCCCC9. ； 10. 1、1； 11. ； 12. 1； 13. 10；14. ； 15. ；16. ；17. ；18. 5； 19. ； 20. -1； 21. 218