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第四章 三角形3.1 认识三角形 知识导航1、三角形的有关概念（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形。（2）三角形的基本构造：组成三角形的三条线段叫做三角形的 三条边，两条边相接的点叫做三角形的顶点相邻两边组成的角叫做三角形的内角2、三角形的三边关系：（1）三角形任意两边之和大于第三边。（2）三角形任意两边之差小于第三边。3、三角形的角平分线、中线、高（1）、在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线（2）、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。（3）、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。4：三角形按角分类5、三角形内角和与外角和定理（1）三角形三个内角的和等于180（2）直角三角形两锐角互余。（3）三角形一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。（4）三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。（5）三角形三个外角的和等于360.6：认识直角三角形：直角三角形的表示方法、性质：直角三角形两锐角互余。 同步练习一、填空题1、在ABC中， A40，BC，则C2、三角形的一边为5 cm，一边为7 cm，则第三边的取值范围是 3.三角形三个内角中, 最多有（ ）个直角,最多有（ ）个钝角,最多有（ ）个锐角,至少有（ ）个锐角。4.在ABC中,B,C的平分线交于点O,若BOC=132,则A=_度。5.已知是ABC的三边，且三角形的周长是偶数，求c=_；判断ABC的形状为_。6.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20,则此三角形的最小内角的度数是_.7.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_.8.在ABC中,B,C的平分线交于点O,若BOC=132,则A=_度.9.已知ABC为等腰三角形，当它的两个边长分别为8 cm和3 cm时，它的周长为_；如果它的一边长为4cm，一边的长为6cm，则周长为_. 10.若设是ABC的三边，则= 二、判断题。1、有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形。 （ ）2、一个等腰三角形的顶角是80，它的两个底角都是60。 （ ）3、两个内角和是90的三角形是直角三角形。 （ ）4、一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角。 （ ）5、在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于90。 （ ）6、一个三角形，已知两个内角分别是85和25，这个三角形一定是钝角三角形。（ ）三、选择题:1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形 2.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 3.等腰三角形的底边BC=8 cm，且|ACBC|=2 cm，则腰长AC的长为( ) A.10 cm或6 cm B.10 cm C.6 cm D.8 cm或6 cm 4在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）（A）4cm （B）5cm （C）9cm （D）13cm5已知ABC的三个内角A、B、C满足关系式B+C=3A，则此三角（ ）A、一定有一个内角为45B一定有一个内角为60C一定是直角三角形D一定是钝角三角形6、已知三角形的三边分别为2，a、4，那么a的范围是（） A、1a5B、2a6C、3a7D、4a6三、解答题。BA1、画一画 如图，在ABC中：（1）.画出C的平分线CD（2）.画出BC边上的中线AE（3）.画出ABC的边AC上的高BF2. (2001天津)如图所示,在ABC中,B=C,FDBC,DEAB,AFD=158, 则EDF=_度 .BDCADCEDCFDC3、如图，已知B40，C59，DEC47，求F的度数。4、如图所示,已知1=2,3=4,C=32,D=28,求P的度数. 6.已知在ABC中，A62，BO、CO分别是ABC、ACB的平分线，且BO、CO相交于O，求BOC的度数。1 2BCAO1 27.如图，已知在ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE=2，AF=3，且ABC的周长为15，求BC的长。5、如图所示,将ABC沿EF折叠,使点C落到点C处,试探求1,2与C的关系. 3.2 图形的全等 知识导航1、两个能够重合的图形称为全等图形。2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。 同步练习 一、选择题1全等图形是指两个图形（）A大小相同B形状相同C能够重合D相等2下面不是全等图形的性质特征的是（）A大小相同 B形状相同C颜色相同 D周长相同3两个全等图形中可以不同的是（ ）A位置 B长度 C角度 D面积4一个正方形的侧面展开图有（ ）个全等的正方形.A.2个 B.3个 C.4个 D.6个5.下列各组中可能不是全等形的是（ ）A两条长度相等的线段 B两个大小相等的角C两条长度相等的圆弧D两条互相垂直的直线二、填空题6请你写出生活中的一组全等图形 .7两个正方形具有 条件时能成为全等图形.8把2张纸叠在一起，用剪子随意剪出一个图形，把剪得的2个图形摆放在桌面上，比较一下，它们全等吗？能够_的两个图形叫全等图形，由此可知，全等图形的形状一定_，大小一定_9请在下图中把正方形分成2个、4个、8个全等的图形三、解答题11找出下列图中的全等图形13把下列各图分成若干个全等图形，请在原图上用虚线标出来 14把一个正方形划分成四个全等的部分，这个问题对于各位同学来说易如反掌，图1和图2是小明和小彬的分划图，但请他们将正方形分成五个全等的部分时，他们一时感到为难，你会吗？ 15如图，把这个丁字形分成四个全等的部分，试试看 3.1 探索三角形全等的条件 知识导航一、 全等三角形 能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“”连接，读作“全等于”。 用“”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。1判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）。具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注： 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； 全等三角形面积相等2证题的思路：同步练习一、填空题:1. 如图1,已知AC=BD,要使得ABCDCB,只需增加的一个条件是_.毛(1) 2.如图2,(1)连结AD后,当AD=_,AB=_,BD=_时可用“SSS”得ABDDCA. (2)连结BC后,当AB=_,BC=_,AC=_时,可推得ABC DCB.3如图4,若AB=CD,AD=CB,B=25,则D=_.（4） （5）4如图5,已知ABBD于B,EDBD于D,AB=CD,BC=DE,则ACE=_.二、选择题:5在下列各组的三个条件中,不能判定ABC与DEF全等的是( )A.AB=DE,B=E,C=FB.AC=DF,BC=DE,BA=EF C.AB=EF,A=E,B=F D.A=F,B=E,AC=DE6.如图6所示,AB=CD,AC=BD,则下列说法正确的是( ) A. 可用“SAS”证AOBDOC B.可用“SAS”证ABCDCB C.可用“SSS”证AOBDOC D.可用“SSS”证ABCDCB7.如图7,已知ABCF,E为DF的中点,若AB=9cm,CF=5cm,则BD等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm (7) （8） (9)8.如图8,ABC是等边三角形, 若在它边上的一点与这边所对的角的顶点的连线恰好将ABC分成两个全等三角形,则这样的点共有( ) A.1个 B.3个 C.4个 D.9个10. 如图9,小民用五根木条钉成如图所示的两个三角形,且AB=AC,BD=CD,若ABD为锐角三角形,则ACD中的最大角a的取值范围是( ) A.30a60 B.45a60 C.45a90 D.60aAD+AE.四、借助角平分线造全等5、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD五、旋转6、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 7、D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。 （2）若AB=2，求四边形DECF的面积。3.4 用尺规做三角形 知识导航 1、作图题的一般步骤：（1）已知，即将条件具体化；（2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件；（3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；（4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；（5）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）。2、熟练以下三种三角形的作法及依据。（1）已知三角形两边及其夹角，作三角形。（2）已知三角形两角及其夹边，作三角形。（3）已知三角形的三边，作三角形。 同步练习一、选择题1利用尺规作图不能唯一作出三角形的是（ ） A已知三边 B已知两边及其夹角 C已知两角及其夹边 D已知两边及其中一边的对角2用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）A作一个角等于已知角 B作已知直线的垂线C作一条线段等于已知线段 D作角的平分线3已知线段a，b和m，求作ABC，使BC=a，AC=b，BC边上的中线AD=m，作法合理的顺序依次为（ ） 延长CD到B，使BD=CD；连接AB；作ADC，使DC=a，AC=b，AD=m A B C D二、填空题4如图，使用直尺作图，看图填空：(1) (2) (3) (4) （1）过点_和_作直线AB；（2）连接线段_；（3）以点_为端点，过点_作射线_（4）延长线段_到_，使BC=2AB5如图，使用圆规作图，看图填空：(1)在射线AM上_线段_=_；(2)以点_为圆心，以线段_为半径作弧交_于点_(3)分别以点_和点_为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧分别交于点_和点_；(4)以点_为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AOB两边_，_于点_，点_三、解答题6如图所示，已知和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，夹这个角的两边分别为2a和a7如图，已知线段a，用尺规作ABC，使AB=a，BC=AC=2a四、作图题8如图所示，已知和线段L，求作等腰三角形ABL，使其底角B=，腰长AB=L3.5利用三角形全等测距离 知识导航1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离。2、运用全等三角形解决实际问题的步骤：（1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；（2）根据实际问题抽象出几何图形；（3）结合图形和题意分析已知条件；（4）找到解决问题的途径。 同步练习一、训练平台1根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（ ）A用尺规作一条线段等于已知线段；B用尺规作一个角等于已知角C用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D不能确定2已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（ ）A作一条线段等于已知线段B作一个角等于已知角C作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3如图所示，ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，B=36，C=44，请你从中选择适当的数据，画出与ABC全等的三角形，不写画法，但要在所画的三角形中标出用到的数据，并说明符合条件的三角形共有多少个 二、提高训练4如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，因无法直接量出A，B两点的距离，请你设计一种方案，求出A，B的距离，并说明理由二、 探索发现5. 为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP并延长到C，使PC=PB测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；中考演练6.（2005梅州）如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点 （1）如果_，则DECBFA；（请你填上能使结论成立的一个条件） （2）说明你的结论的正确性 10
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