基于PID控制的一级倒立摆系统的研究

本科生毕业设计（论文） 论 文 题 目：基于PID控制的一级倒立摆系统的研究 姓 名： 学 院： 专 业： 班 级 、 学 号： 指 导 教 师： 摘 要本文的研究对象为一级倒立摆系统，主要是基于PID控制的一级倒立摆控制系统的设计。利用PID参数整定的多种方法对PID的三个参数进行调节，并对其优化，然后用利用Matlab对其进行仿真，并对最后仿真图的结果进行分析与比较。倒立摆是一种典型的非线性、多变量、强耦合、快速的、自然不稳定的系统。在实际生产生活中有很多类似的系统，故研究一级倒立摆系统的PID控制具有很大的实际意义。本文介绍了多种PID参数整定算法，主要采用了的是Z-N整定法，并详细介绍了PID参数整定算法的相关理论和具体操作方法。在本文中还建立了一级倒立摆的数学模型和物理模型。本文着重讲述了Z-N整定法和试凑法对PID三个参数的进行优化的具体方法。用Matlab对一级倒立摆系统进行了仿真，并且比较这些方法的优缺点，对最后的仿真图结果研究和分析。得出PID参数整定方法的优缺点。关键词： PID控制器 参数整定 一级倒立摆 Matlab仿真AbstractObject of this paper is an inverted pendulum system is mainly based on PID control an inverted pendulum control system design. Use a variety of PID parameter tuning method to adjust the three parameters of PID, and its optimization, and then use them using matlab simulation, and the results of the last simulation diagram analysis and comparison.Inverted pendulum is a typical non-linear, multi-variable, strong coupling, fast, naturally unstable system. In real life there are a lot of similar production systems, it is of an inverted pendulum system PID control has great practical significance. This article describes a variety of PID parameter tuning algorithm, the main use of the Z-N entire titration, and details of the PID parameter tuning algorithms related theory and specific methods of operation. In this article, also established a mathematical model of the inverted pendulum and physical models. This paper focuses on the ZN Tuning Method for PID and genetic algorithms to optimize the three parameters of specific methods. Using Matlab on an inverted pendulum system is simulated, and compare the advantages and disadvantages of these methods, drawing on the final results of the simulation study and analysis. Draw two different PID parameter tuning method advantages and disadvantages.Key words: PID(ProportionIntegrationDifferentiation)controller Parameter tuning An inverted pendulum Matlab simulation 目 录摘 要IAbstractII1 绪论11.1 课题的研究背景及意义11.2 国内外的研究现状21.3 本文的主要内容32 PID控制器参数整定法42.1 PID控制器的原理42.2 PID参数整定方法52.3 PID控制器的参数整定142.4 PID控制的特点153 直线一级倒立摆系统的建模173.1 倒立摆系统的简介173.2 一级倒立摆系统数学模型的建立183.3 倒立摆系统的的控制方法204 直线一级倒立摆的PID控制器设计及仿真224.1 基于Z-N整定法的PID控制器设计与仿真224.2 基于试凑法的PID控制器设计与仿真244.3 仿真结果的分析255 结论26致 谢27参考文献281 绪论1.1 课题的研究背景及意义从最初的倒立摆概念提出，再到Bang-Bang的稳定控制，然后到状态反馈的理论，再到今天的模糊控制和神经网络。现在关于倒立摆的研究已经进入到了一个相对成熟的阶段。而关于PID的参数整定有很多种整定方法，不同的情况适应不同的整定方法。每种整定方法的结果并不一致，所以就需要我们比较从而找出一种最适合的。一级倒立摆系统是一种典型的、非线性、多变量、强耦合、快速的、自然不稳定的系统，这种系统在实际的生产生活中很常见。PID控制器是工业领域最常用的控制器，它的优点主要有以下方面，工作原理简单，使用比较方便; 适应性强，应用广泛; 鲁棒性强，控制品质受被控对象特性的变化影响较小。PID的几种控制思想：自适应控制思想和常规PID控制器相结合的自适应PID控制或自校正PID控制。智能控制与常规控制结合的智能PID控制。模糊PID控制。神经网络PID控制。预测PID控制。时至今日，PID控制技术在工业控制中仍然占有主导地位。所以对PID控制的一级倒立摆系统的研究具有很大的实际意义。首先，关于一级倒立摆系统的研究要先建立力学平衡的传递函数以及状态空间表达式等数学模型和物理模型，接着分析它的稳定性和客观可控性。最后运用一种或几种PID参数整定方法、系统频率响应分析与校正。最后在Matlab上进行仿真，比较几种算法的效果差别。从某种程度上来说，有关倒立摆的研究不仅有理论意义，而且还有一些工程背景，工程实践中，往往有些可行性的实验问题，倒立摆就可以起到桥梁作用能够使它的理论与方法得到检验。通过对一级倒立摆的系统的控制，我们检验了一些控制方法以及它们是否具有比较强的处理非线性和不稳定性问题的能力；这些控制方法在航天科技、军工制造以及机器人和一般的工业领域都有广泛的应用。在通过对一级倒立摆系统的不断研究中，总结一些非线性、多变量、强耦合、快速的、自然不稳定系统的特性。为我们进行新的课题研究提供了一个很好的参考平台。目前，PID控制器或智能PID控制器很多，产品在实际生产中得到广泛应用，各大公司相继开发了具有PID参数自整定功能的智能调节器， PID控制器参数的调整通过自校正、自适应算法和智能化调整来实现。不仅有用PID控制的温度、液位、流量和压力控制器，还有可以实现PID控制功能的可编程控制器，以及PID控制的PC系统等。 可编程控制器是用闭环控制来进行PID控制，可编程控制器直接与ControlNet相连，例如Rockwell 的Logix产品系列，它可以直接与ControlNet相连，利用网络来实现其远程控制功能。1.2 国内外的研究现状关于倒立摆系统的研究始于20世纪50年代，初期主要研究直线倒立摆的建模和摆杆的平衡控制（镇定问题），伴随着现代控制理论的不断发展，尤其是多变量线性系统理论及最优理论的发展，80年代后期模糊控制理论被用来控制倒立摆，90年代初神经控制倒立摆的研究发展迅速，它以自学习为基础，信息处理则采用了一种全新概念。此后，倒立摆的研究取得了许多实质性的突破。国内的有关倒立摆系统的研究开始比较晚，1982年西安交通大学实现了对二级倒立摆的控制，他们采用最优控制和降纬观测器。1983年国防科技大学实现了对一级倒立摆系统的控制；1987年上海机械学院完成了一、二级倒立摆系统的研究，实现了在倾斜轨道上对二级倒立摆的控制。1994年张明廉领导的课题组实现了由单电机控制的三级倒立摆。1995年任章等用振荡控制理论改善倒立摆系统的稳定性。1996年翁正新等用H状态的反馈控制器对二级倒立摆系统进行仿真控制，次年他们又用相同的方法实现了二级倒立摆在倾斜轨道上的仿真控制。1998年蒋国飞等将Q学习算法和BP算法神经网络结合，对状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。2001年单波等用基于神经网络的预测控制算法对倒立摆的控制进行了仿真。目前我国的倒立摆研究已是世界尖端水平，李德毅最早提出了“隶属云”，成功用该理论对三级倒立摆进行智能控制；李洪兴也对三级倒立摆进行智能控制。2002年李洪兴用变论域自适应模糊控制算法，对四级倒立摆实物系统进行控制。次年，复杂系统智能控制实验室用变论域自适应控制理论对平面运动二级倒立摆实物系统进行控制，2003年他们率先对平面三级倒立摆实物系统进行控制。国外学者早在上世纪60年代就开始了对倒立摆系统的研究。1966年Schacfer等运用Bang-Bang控制原理实现了对一级倒立摆的稳定控制。1972年Sturegeon和Loscutoff运用极点配置法并使用了全纬观测器对二级倒立摆设计了模拟控制器。1976年S.Mori等设计的前馈-反馈负荷控制器实现了一级倒立摆的稳定控制，并设计出比例微分控制器。1977年日本K.Furuta领导的研究组稳定了二维一级倒立摆，次年他们运用微机处理实现了二级倒立摆的控制，1980年他们对在倾斜轨道上的二级倒立摆进行了稳定控制，四年后他们又运用最优状态调节器对双电机的三级倒立摆进行控制，并且实现了二级平面倒立摆的仿真与控制。同年，Wattes研究LQR（Linear Quadratic Regulator）方法控制倒立摆，并验证了改变性能矩阵Q和R可以得到不同的状态反馈量，从而产生不同的控制效果。1988年Chariesw W.hndorson在运用自学习模糊神经网络控制了一级倒立摆， Furuta与Fradkov等分别在1992年和1995年提出了变结构控制与无源性控制。而INiklund等用李亚普诺夫方法成功控制环形一级倒立摆。日本学者在1997年成功控制平面倒立摆。与此同时，瑞士的Bernhard Sprenger等也成功控制直线平面倒立摆的运动机械臂1。1.3 本文的主要内容本文主要研究一级倒立摆系统PID控制器的设计，首先对该系统运用牛顿-欧拉法进行力学分析并建立数学模型。然后通过用Z-N整定或者试凑法来调节Kp、Ki、Kd三个参数来控制一级倒立摆，最后用Matlab下的Simulink来进行仿真，并对曲线图进行比较分析。其余章节安排如下：本文第二章详细介绍了PID控制的原理，以及多种PID参数整定方法。同时也介绍了PID控制器的特性。第三章主要是一级倒立摆数学模型的建立和倒立摆的控制方法。第四章主要对PID控制系统进行仿真，通过响应曲线的分析，比较两种参数整定方法的不同，找出两种方法的差异。最后总结全文。2 PID控制器参数整定法2.1 PID控制器的原理在实际的工程中，应用最多的调节器控制规律为PID（Proportion Integration Differentiation）控制。PID控制器的历史已有70余年，它的稳定性好、结构简单、可靠性高、操作方便，是当今工业控制的主要技术。在受控对象的结构和参数没有掌握或者它的数学模型无法精确建立的情况下，控制理论的一些技术无法使用，那么系统的控制器的结构和参数就需要依靠工程经验和现场调试确定。控制系统中，控制器最常用是PID控制。PID控制系统原理框图如下图1.1所示。图1.1 PID控制系统原理框图其中r(t)为给定值；y(t)为实际输出值；e(t)为偏差。PID控制是线性控制方法。偏差e(t)=r(t)-y(t)。然后把偏差e(t) 分别进行比例、积分和微分的运算，把三个结果相加，就是PID控制器的控制输出u(t)。在连续的时间域中，PID控制器的算法的公式如下：其中Kp为比例系数，Ti为积分时间常数；Td为微分时间常数PID控制器主要由比例环节（Proportion）、积分环节（Integration）和微分环节（Differentiation）三个环节组成。 比例环节调节作用：成比例反应偏差，偏差一旦产生，将立即进行调节作用，减少偏差。比例作用越大，调节越快，减少误差，但是比例过大，也会使系统的稳定性下降。积分环节调节作用：消除静差，提高系统的无差度。只要有误差，积分调节就进行，直至无差，积分调节停止后，输出常值。积分作用的强弱与积分时间常数Ti有关，Ti越小，积分作用就越强。反之积分作用越弱，积分调节使系统的稳定性下降，动态响应速度变慢。积分作用常与另外两种调节规律相结合，组成PI调节器或PID调节器。在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样即便误差很小，积分项随着时间的增加而变大，使控制器的输出增大从而减小稳态误差直至零。因此，选用比例加积分(PI)控制器，可以使系统在稳态后过程中无稳态误差。微分环节调节作用：主要反映偏差信号的变化趋势（变化速率），调节误差的微分输出，误差突变时，能及时控制，并能在误差偏差信号变的更大之前，在系统中引入一个的早期修正信号，加快系统动作速度，减少调节时间。控制器的输出与输入误差信号的微分成正比。在调节过程中伴随着克服误差所出现振荡及失稳等情况。由于较大惯性环节或滞后环节抑制误差，其变化一直落后于误差的变化。抑制误差的作用变化“超前”就可以有效解决这一问题，误差为零，抑制误差的作用也是零。在控制器中仅引入 比例环节是远远不够的，比例环节放大误差的幅值，而我们需要增加微分环节，因为由它能推测出误差变化趋势。具有比例、微分环节的控制器，能够提前使抑制误差的控制作用等于零，避免了被控量的严重超调。比例、微分、积分的组合就可以优化自动控制系统的控制性能。下面分别介绍Z-N整定法、工程整定法、经验法、凑试法、模糊自适应PID控制器参数整定算法、改进的遗传算法PID控制器设计、基于克隆选择算法的PID控制器参数整定等PID参数整定方法。2.2 PID参数整定方法2.2.1 Z-N整定方法常规Z-N整定方法于1942年由Ziegler和Nichols提出的。基于受控过程的开环动态响应中某些特征参数进行的参数整定，其经验整定公式是基于带有延迟的一阶惯性模型的提出的，对象模型如下： 其中K为放大系数；为惯性时间常数；L为延迟时间。提取特征参数的方法有以下两种。（1）通过试验方法和受控对象的动态仿真得到的开环阶跃响应曲线。如图2.1所示。设拐点P是特征曲线（阶跃响应）的，切线AB是切于P点，可以从图2.1中直接求出过程的特征参数图2.1 切线法求取特征参数如果用切线法计算特征参数的话，则很难做到精确自动化，除此之外，我们还可以采用面积法，如图2.2所示。图2.2 面积法求特征参数设，其中： (2.1) (2.2) (2.3)实验得到阶跃响应后由以上三式可得 ， (2.4)其中e为自然对数的底，取得特征参数之后，再用由Z-N提供的PID参数整定的经验公式，如表2.1所示，其中表2.1 Ziegler-Nichols整定公式（一）参数控制器KpKiKdP1/aPI0.9a3LPID1.2/a2L L/2 开环实验决定了上述整定算法的抗干扰能力差。（2）继电反馈自动整定方法如图2.3所示。图2.3 继电反馈自动整定结构图在继电反馈下观测受控对象的极限环振荡，再由极限环的特征确定过程的基本性质，计算得出PID控制器的参数。系统具有测试模态和调节模态。如果开关处于T侧，系统为测试模态，系统的特征参数：临界振荡角频率wc（或临界振荡周期Tc=2wc）和临界振荡增益Kc由继电非线性环节测试，再把开关处于A侧，系统为调节模态，根据Kc和wc计算的出PID控制器的参数，并进入控制过程。若系统的测试变化，那么重新进入测试模态测试，测试完成后继续调节模态继续进行控制。同样Ziegler和Nichols提供了特征参数的经验整定公式，如表2.2所示。表2.2 Ziegler-Nichols整定公式（二）参数控制器KpKiKdP0.5KcPI0.4Kc0.8KcPID0.6Kc0.5Kc0.12Tc由于该方法的结果由继电反馈的闭环实验计算求得，所以对于扰动并不灵敏，相对于开环实验来说提高了测算的精度。但是还是有其缺点，在工业控制中，实际对象的数学模型并不是都能简单建立，传统的Z-N整定参数很容易在设定点附近产生较强的振荡，且超调量较大。2.2.2 工程整定法PID数字调节器的参数，除了比例系数Kp，积分时间Ti和微分时间Td外，还有1个重要参数即采样周期T。包括采样周期T的选择确定、Kp，Ti，Td的选择方法等步骤（1）采样周期T的选择确定从理论上讲，采样频率越高，失真越小。但是对于控制器来说，因为调节计算依靠偏差信号来进行，所以采样周期T越小，偏差信号也越小，此时计算机无法进行调节；但是如果采样周期T过长，就会出现误差。因此采必须综合考虑样周期T时间。采样周期的选择方法有计算法和经验法。 计算法因为被控对象各环节时间常数不好确定，相对来说比较复杂；所以工程上很少使用。经验法则是一种试凑法，根据被控对象的特点以及控制工作实践中积累的经验来选择一个采样周期T，然后进行试验，再接着改变T，直到满意为止。（2）Kp，Ti，Td的选择方法1）扩充临界比例度法此种方法是种简易的工程整定方法，整定Kp，Ti，Td的步骤如下： 选取最短采样周期Tmin，然后把Tmin输入到计算机程序里，用比例环节控制，缩小其比例度直至系统产生了等幅振荡2-3。此时比例度为临界比例度Su，振荡周期为临界振荡周期Tu。选择控制度为： (2.5)当控制度为1.05时，就表明模拟方式的效果与数字控制的方式效果一致。再由计算度，查表2.3可求出Kp，Ti，Td。表2.3 扩充临界比例度法整定参数表控制度控制规律参数TKpTiTd1.05PIPID0.03Tu0.014Tu0.53Su0.63Su0.88Tu0.49Tu/0.14Tu1.2PIPID0.05Tu0.43Tu0.49Su0.47Su0.91Tu0.47Tu/0.16Tu1.5PIPID0.14Tu0.09Tu0.42Su0.34Su0.99Tu0.43Tu/0.20Tu2.0PIPID0.22Tu0.16Tu0.36Su0.27Su1.05Tu0.4Tu/0.22Tu2）扩充响应曲线法如果系统的动态特性曲线已知，就用和模拟调节方法同样的响应曲线法整定，整定步骤如下：首先切断微机调节器，让系统手动进行工作，当在给定值处系统处于平衡后，加入阶跃输入。此时仪表记录了被调参数在此阶跃作用下的变化过程曲线。如图2.4所示。 图2.4 阶跃信号下的过程曲线做切线于曲线最大斜率处，求出滞后时间t，对象时间常数和它们比值/t2。根据所求得的，t和/t值，查表2.4求得值Kp，Ti，Td。 表2.4 扩充响应曲线法的整定参数表控制度控制规律参数TKpTiTd1.05PIPID0.1t0.05t 0.84/t1.15/t 0.34t2.0t /0.45t1.2PIPID0.2t0.15t0.78/t1.0/t 3.6t1.9t /0.55t 1.5PIPID0.50t0.34t0.68/t0.85/t3.9t1.62t /0.65t 2.0PIPID0.8t0.6t0.57/t0.6/t 4.2t1.5t /t 2.2.3 经验法在实际生产过程中，被调对象的动态特性很难确定，即使确定的话，但是其工作量大，计算困难，其结果也与实际相差很大。因此，在实际生产过程中采用的多是经验法。根据各调节作用的规律，经过闭环试验，反复试凑，直至试出最佳调节参数。在现场试验好微机调速器参数后，然后选出最优参数。厂家有规定的一定范围的参考值，是由理论计算得出来的。选择出最优参数，必须在生产现场进行试验做记录曲线。2.2.4 试凑法确定PID调节参数试凑法是模拟运行系统的阶跃响应曲线，根据调节参数对系统响应的影响，反复试凑参数，达到满意的响应，从而确定PID的调节参数。比例系数Kp越大系统的响应越快，越有利于减小静差。但是过大的比例系数会使系统超调量过大，产生振荡，稳定性变差。Td越大系统响应越快，超调量越小，稳定性越高，但是抗干扰能力越弱弱。在试凑时，参考以上调节参数对控制过程的影响趋势，对调节参数进行比例、积分、微分的整定步骤。其具体步骤如下：比例控制作用由小变大，观察各次响应，直至响应曲线的反应快、超调小。如果比例环节控制的稳态误差不能满足要求，那么就要引入积分控制。先把比例系数减小到原来的5080，然后置积分时间于较大值，观察响应曲线。继续减小积分时间用来加大积分作用，再接着调节比例系数，反复试凑直至响应令人满意，最后确定比例环节与积分环节的参数。 若只有PI两个单元的控制消除了稳态误差，但是系统的动态过程无法让人满意的话，那就加入微分控制，从而构成PID三个单元的控制。选取微分时间Td=0，调节Td变大，与此同时改变比例系数和积分时间，反复试凑直至获得了符合要求的PID控制参数和满意的控制效果。在整定中调节参数的选定不是惟一的。比例、积分和微分三部分作用是互相影响。只要被控制过程的主要性能指标达到设计要求，那么比例、积分和微分参数也就确定了。表2.5提供一些常见的调节器参数选择范围。表2.5 常见被调量PID参数经验选择范围被调量特点参 数KpTi/ minTd/ min流量时间常数小，并有噪声，故Kp比较小，Ti较小，不用微分12.50.11温度对象滞后较大，常用微分1.653100.53压力对象滞后不大，不用微分1.43.50.43液位有静差时，可以不用积分和微分1.2552.2.5 模糊自适应PID控制器参数整定算法该算法基于PID算法，首先计算当前系统误差e以及误差变化率ec，然后使用模糊规则来模糊推理，再对照模糊矩阵表不断调整10。PID控制器的设计核心就是总结实际操作经验和现场工程设计人员的技术知识，构建对Kp、Ki、Kd分别整定的模糊控制表。建立好控制规则表后，将当前系统的误差e和误差变化率ec变化范围定义为模糊集上的论域，e，ec=-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5其模糊子集为e，ec=NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB假设Kp、Ki、Kd和e，ec都服从正态分布，各模糊子集的隶属度均可求出，根据各参数模糊控制模型和各子集的隶属度函数赋值表，然后应用模糊合成推理设计PID参数的模糊矩阵表，查出修正参数带入下式计算：；在线运行过程中，控制系统通过对模糊逻辑规则的结果处理、查表和运算，完成对PID参数的在线自校正。2.2.6 改进的遗传算法PID控制器设计主要步骤为编码、产生初始群体、计算适应度、选择、交叉变异收敛判断解码（1）编码。遗传算法在有优化算数钱，先将变量进行编码，形成一个定长的字符串，本节采用实数编码的遗传算法有效提高收敛速度和解的精度；有利于搜索大空间；不仅克服了二进制编码引起的海明悬崖问题还有微调功能11。为了得到最优PID调节参数，染色体的编码定义式如下：其中Kp，Ki，Kd分别为PID控制器的比例系数、积分系数、微分系数；G为个体标号。（2）产生初始群体。N个初始字符串随机产生，一个字符串代表一个体或者是一个染色体。一个群体由N个个体构成。遗传算法就是把N个字符串当作初始点进行迭代。 (2.6)（3）计算适应度。适应度函数表明了个体对环境的适应能力的强弱，问题不一样，其适应度函数的定义方式也不相同，本节采用适应度函数Fitness=1/F，F是目标函数。PID控制没有超调，则F取如下形式： (2.7)当PID控制有超调时，则F取如下的形式： (2.8)其中w1=0.999；w2=0.001；w3=2.0；w4=100（4）选择。用轮盘赌和精英选择结合，若当前代中最佳个体的适应度大于下一代群体中最佳个体的适应度，则把适应度大于下一代个体最佳适应度值的多个个体或当前群体中最佳个体复制到下一代中，然后替代最差的下一代群体中或随机替代其中相应数量的个体。（5）交叉。用一种交叉方式对选中个体互换两个字符串相应的基因，从而得到两个新个体，新个体组合父代的特性。本节用算术交叉的方式使相邻的第i个个体和第i+1如下所示： (2.9)为交叉概率其定义如下： （2.10）其中pc1=0.9，pc2=0.6。（6）变异。随机在群体中选择一个个体，然后一定概率的形式随机改变字符串中某字符的值，变异概率如下： (2.11)其中pm1=0.1pm2=0.001 (2.12) (2.13) (2.14)其中为随机数；Kpmax、Kpmin分别为基因Kp的上限和下限；Kimax、Kimin分别为基因Ki的上限和下限；Kdmax、Kdmin分别为基因Kd的上限和下限。（7）收敛判断。达到收敛标准，就把适应度值高的字符串作为搜索的结果；如果没有达到则转入步骤（3）重复以上过程。（8）解码。就是把最优的字符串转化为实际的物理参数3。因为本节用实数编码，无需解码，所产生最佳个体就是PID的三个参数Kp、Ki、Kd。2.2.7 基于克隆选择算法的PID控制器参数整定算法的参数说明被控对象为二阶传递函数 , 采样时间为1ms，输入指令为阶跃信号。用二进制编码为10位的二进制编码串分别表示三个决策变量Kp、Ki、Kd。选取误差绝对值时间积分性能指标作为参数选择的最小目标参数来获取满意的过渡过程动态特性。同时，目标函数中加入控制输入的平方项防止控制量过大，。选取式（2.15）作为参数选取的最优指标： (2.15)其中e(t)是系统误差;u(t)是控制器输出；tu是上升时间；w1，w2，w3，w4是权值为了避免超调，采用了惩罚功能，即一旦产生超调，将超调量作为最优指标的一项，此时最优指标为当ey(t)0,其中,其中y(t)为被控对象输出。样本个数为60，变异概率；参数的取值范围为0,20,取值范围为0,1,和。2.3 PID控制器的参数整定控制系统设计的核心内容是PID控制器的参数整定。PID控制器的比例系数、积分时间和微分时间的大小由被控过程的特性确定。PID控制器参数整定的方法很多，概括起来有两大类：一是理论计算整定法。它主要是依据系统的数学模型，经过理论计算确定控制器参数。这种方法所得到的计算数据未必可以直接用，还必须通过工程实际进行调整和修改。二是工程整定方法，它主要依赖工程经验，直接在控制系统的试验中进行，且方法简单、易于掌握，在工程实际中被广泛采用。PID控制器参数的工程整定方法，主要有临界比例法、反应曲线法和衰减法。三种方法各有其特点，其共同点都是通过试验，然后按照工程经验公式对控制器参数进行整定。但无论采用哪一种方法所得到的控制器参数，都需要在实际运行中进行最后调整与完善。现在一般采用的是临界比例法。利用该方法进行 PID控制器参数的整定步骤如下：首先预选择一个足够短的采样周期让系统工作；仅加入比例控制环节，直到系统对输入的阶跃响应出现临界振荡，记下这时的比例放大系数和临界振荡周期；在一定的控制度下通过公式计算得到PID控制器的参数。鲁棒性是指控制系统在其特性或参数发生摄动时仍可使品质指标保持不变的性能。鲁棒性最初是统计学中的专业术语，20世纪70年代在控制理论研究中出现，用来表征控制系统的参数摄动或特性的不敏感性。如果系统中存在模型摄动或随机干扰等不确定性因素时能保持其满意功能品质的控制理论和方法称为鲁棒控制。系统的特性或参数的摄动在实际问题中是无法避免的。产生摄动的原因主要有量测的不精确使特性或参数的实际值远远偏离它的设计值和系统运行过程因为环境因素的影响而造成的特性和参数的缓慢漂移。因此，鲁棒性不仅是控制理论的研究中重要的科研课题，也是控制系统的设计中所必须考虑的因素。线性定常控制系统常被用来对鲁棒性的研究，涉及的方面包括系统的适应控制、稳定性和无静差性等。鲁棒性问题与控制系统的相对稳定性和不变性原理有密切关系，内模原理的建立大大推动了研究鲁棒性问题的过程。早期的鲁棒控制主要研究单回路系统频率特性的某些特征的问题和基于小摄动分析上的灵敏度。现代的鲁棒控制就主要研究控制系统中包括的非微有界摄动下的分析和设计的方法理论。2.4 PID控制的特点它由于用途广泛、使用灵活，已有系列化产品，使用中只需设定三个参数（Kp，Ki，Kd）即可。比例、积分、微分三个单元在很多时候并不是都要有，有时候我们只需要一个或两个单元，但是比例控制单元是必需要有。首先，PID应用范围很广。通过对很多非线性或时变的工业过程进行简化可以转化成动态特性和基本线性不与时间变化相关的系统，然后就可以用PID进行控制。其次，PID参数很容易整定。依靠过程的动态特性来整定PID参数的三个Kp，Ki和Kd。若过程的动态特性发生变化， 那么就会重新整定PID参数。第三，PID控制器在不断的实践中改进，下面举两个例子。在工厂中，大多数回路都是处于手动状态主要是因为我们很难让过程在“自动”模式下平稳工作。由于PID工业控制的系统受到产品安全、质量、产量和能源浪费等诸多问题的影响。为了解决PID参数整定这个问题后来就产生了 PID参数的自整定。目前来说，商业单回路控制器和分散控制系统的一个标准就是自动整定或自身整定的PID控制器。虽然现在针对特定的一些系统所设计的PID控制器控制效果不错，但是我们还要解决很多问题。如果PID参数的自整定基于控制律，那就很难区分由负载干扰引起的影响和过程动态特性变化造成的影响，这时受到干扰的影响控制器就会产生超调和自适应转换。同时，目前基于控制律的系统仍然没有成熟的稳定性分析方法，所以参数整定可靠性的问题还是很多。如果PID参数的自整定是以模型为基础的话，PID参数很难重新整定在线寻找和保持好过程模型。在闭环工作时，插入一个测试信号在过程中。同样会引起扰动。所以说基于模型的PID参数自整定在工业应用中的实际效果并不好。基于上述种种原因，自身整定参数的PID控制器基本上都工作在自动整定模式。自动整定通常是指利用开环状态下的简单过程模型来取得PID的参数。PID控制在涉及到时变、耦合、非线性及参数和结构不确定等复杂的控制过程时，实际效果不佳。若PID控制器无法控制复杂过程，调节参数是起不到任何作用的。即使有上述缺点，PID控制器仍然是最好的也是最简单的控制器。3 直线一级倒立摆系统的建模3.1 倒立摆系统的简介倒立摆控制系统是一种典型的非线性、多变量、强耦合、快速的、自然不稳定的系统。同时也是控制实验和控制理论教学的理想实验平台。不仅如此，非线性问题、镇定问题、随动问题、跟踪问题和鲁棒性问题等典型问题都是通过对倒立摆系统的研究来反映的。通过控制倒立摆系统来检验新的控制方法是否有较强的处理不稳定性问题和非线性模型的能力4。通过对倒立摆系统的研究不仅可以解决控制中的理论和技术实现问题，还可以将控制理论涉及的力学，数学和计算机科学等进行有机的综合应用。其控制方法和思路对理论上和实际生产中的过程控制都有很好的启示，能有效检验控制理论和方法。关于倒立摆的研究有其深刻的理论意义和工程背景；在工程实践中，存在一种可行性的实验问题，为了使其理论与方法得到有效检验，就可以利用倒立摆对倒立摆系统的研究。目前，倒立摆的研究引起了国内外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题。倒立摆是优秀的教学实验仪器，也是控制理论研究的理想实验平台。倒立摆系统本身具有非线性、多变量、强耦合、快速的、自然不稳定等特性。所以研究者们把倒立摆系统作为典型的研究对象，从而不断研究出新的控制策略和方法，相关的科研成果更是在航天科技和机器人学方面得到了广阔的应用。二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点，每年在专业杂志上都有大量的优秀论文出现。因此，倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。倒立摆主要应用在以下几个方面:双倒立摆系统与机器人的行走站立很相似，虽然机器人的出现已经有三十年的时间了，但是机器人的行走控制仍然没有有效解决。为了保持类似火箭的飞行器在飞行过程中的正确姿态，需要连续进行实时的控制。，要保证通信卫星维持稳定的姿态并且同时还要在预先计算好的轨道和确定的位置上运行，让卫星天线指向地球和它的太阳能电池板指向太阳5。为了提高摄像的质量，要自动地保持伺服云台的稳定来消除摄像机的震动。单级火箭的飞行姿态的控制也可以用研究多级倒立摆系统的方法来防止因为断裂产生多级火箭6。因为双足机器人、多级火箭飞行控制和各类伺服云台稳定与倒立摆系统很相似，所以关于倒立摆系统控制的研究有着重要的理论和实践意义7。3.2 一级倒立摆系统数学模型的建立倒立摆系统的输入为小车的位移和摆杆的倾斜角度，计算机在每个采样周期过程中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，然后与期望值进行比较，采用控制算法算出控制量，最后通过数字模拟转换来驱动直流电机倒立摆的控制。直流电机连接皮带使小车在轨道上固定运动，摆杆以小车上的一点为轴心在垂直的平面上自由地摆动8-11。小车受到平行于轨道的方向的作用力，使摆杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿水平方向运动。没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（即竖直向下）。为了让摆杆摆动或者达到竖直向上的稳定，对小车施加一个控制力，使小车在轨道上被水平拉动。倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设12-13：摆杆及小车都是刚体。皮带轮和皮带间没有相对滑动，传动皮带没有伸缩。小车的驱动力和直流放大器的输入关系为正比，并且没有滞后，忽略交流伺服电机电枢组中的电感。实验过程中的摩擦力在建模过程中均可忽略不计。图3.1 倒立摆系统其中M是小车质量； m是摆杆质量；b是小车摩擦系数；l是摆杆转动的轴心到摆杆质心的长度；I是摆杆惯量；是摆杆和垂直向上的方向之间的夹角。采用力学方法来建立直线一级倒立摆系统的数学模型。受力分析见如下图3.2。 (a) 小车的受力分析 (b) 摆杆受力分析图3.2 小车与摆杆的受力分析通过对小车在水平方向上所受的力进行分析，可以得到方程： (3.1)对摆杆在水平方向上受的力进行分析，整理可得等式： (3.2)将式(3.2)代入式(3.1)可以得到其中一个运动方程： (3.3)再对摆杆在垂直方向上所受的力进行力分析，整理可得等式： (3.4)其力矩的平衡方程为： (3.5)将P和N的相关等式代入式（3.5）中，就得到另外的运动方程： (3.6)假设与1（单位弧度）相比很小，即，并设； (3.7)把被控对象的输入力F用u来表示，就得到线性化后的运动方程，如下所示： (3.8)对方程组式（3.8）拉氏变换，得到方程组： (3.9)令初始条件为零，然后第一个方程组中的第一个方程求解，得到等式： (3.10)由式（3.10）可得角度与位置的传递函数为： (3.11)令v=x,得到角度与速度的传递函数： (3.12)其中m=0.1kg,l=0.4m,I=mr2=0.004kgm2。代入式(3.12)可得： (3.13)3.3 倒立摆系统的的控制方法PID控制.将偏差的比例、积分、微分进行线性的组合作为控制量，对倒立摆系统进行控制。合理调节PID控制器的的参数，从而取得令人满意的效果。状态反馈控制 建立系统的动力学模型，利用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，最后用状态反馈，控制单级倒立摆。LQR控制.一级倒立摆系统是非线性、多变量、强耦合和自然不稳定的系统。线性二次型最优控制（Linear Quadratic RegulatorLQR）的性能指标易于分析、处理、计算，利用LQR的控制系统其鲁棒性与动态特性较好。状态反馈控制.通过对倒立摆系统的物理模型的分析，建立系统的动力学模型，然后使用状态空间空间理论推导出状态方程和输出方程，然后应用状态反馈，实现对一级倒立摆的控制。变结构系统控制.所谓变结构是指在倒立摆系统工作过程中,根据运行状态的变化使系统中环节之间的联结方式发生改变,或者某些信号的极性发生变化,具有这种特征的控制系统均可称为变结构系统。近20年来,由于微处理器的高速发展及高速切换电路的产生,变结构控制理论获得到了成功的应用。智能控制.是指在无人干预的情况下，自主地驱动智能机器实现控制目标的技术。它主要涉及控制理论、计算机技术、人工智能等学科，智能控制并不需要精确的数学模型，目前应用的有模糊逻辑、神经网络、遗传算法和自学习控制等技术。本文采用PID控制方法，控制直线一级倒立摆的摆杆角度与小车位移，使摆杆角度稳定在垂直于水平面向上的方向上。PID控制器是单输入单输出的系统，控制器设计时不需要有关被控对象的精确模型。对于倒立摆系统来说，系统输出量是摆杆的角度。4 直线一级倒立摆的PID控制器设计及仿真Matlab是由美国MathWorks公司开发的商业数学软件。主要用于算法开发、数据分析、数值计算和数据可视化的高级技术计算语言和交互式环境，主要有Matlab和Simulink。Simulink是Matlab重要的组件，它主要提供动态系统建模和仿真以及综合分析的集成环境。该环境下，不再需要书写大量程序，只要通过最简单的鼠标操作，就能建立复杂系统。Simulink具有效率高、使用灵活、适应广泛、仿真精细、贴近实际、结构和流程清晰等优点。基于上述优点Simulink已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计。目前大多数的硬件和第三方软件均可用于Simulink的仿真14-15。4.1 基于Z-N整定法的PID控制器设计与仿真本文是在得到被控对象有效模型的基础上，通过Matlab仿真控制系统的性能指标对控制器参数进行优化的。一级倒立摆是一个系统， PID是一个单输入单输出的控制器，所以用一个PID控制器分别对一级倒立摆的这个变量进行控制。这个变量就是一级倒立摆的角度16-17。针对一级倒立摆系统，PID控制器参数先用Z-N整定法计算得到。通过试验方法测取过程开环阶跃响应曲线，然后采用面积法求取特征参数。具体过程如下用Z-N整定法中的面积法提取特征参数，采用式(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)，求出K，T，L，其中a=KL/T。计算得出a=0.04,L=10。最后用Z-N整定公式中PID控制器：Kp=1.2/a,Ki=2L,Kd=L/2。代入结果如下：Kp =30；Ki =20；Kd =5。仿真框图如下：图4.1 PID控制一级倒立摆框图摆杆的角度响应曲线如下图4.2所示。超调量为(1.4-1)/1=40%，调整时间18s（选取5%误差带）。图4.2 摆杆角度的响应曲线一继续调节Kp =30；Ki =30；Kd =30，仿真曲线图如图4.3所示：图4.3 摆杆角度的响应曲线二在图4.3中，超调量为(1.38-1)/1=38%，调整时间为8.5s（选取5%误差带）。4.2 基于试凑法的PID控制器设计与仿真下图为试凑法的仿真框图。图4.4 PID控制一级倒立摆仿真框图试凑法参考三个参数取自表2.5。采用试凑法，首先采用Kp =20；Ki =40；Kd =60，仿真曲线如下图4.5所示：图4.5 摆杆角度的响应曲线三在图4.5中，超调量为(1.79-1)/1=69%，调整时间为41.5（选取5%误差带）。上述参数调整仅是一个PID参数调整的起点，为了得到更满意的效果，在此基础上继续调整参数为Kp =25；Ki =15；Kd =25，仿真曲线如下图4.6所示，超调量为(1.58-1)/1=58%，调整时间为14s（选取5%误差带）。图4.6 摆杆角度的响应曲线四4.3 仿真结果的分析经过对上述的仿真结果的分析，PID控制Z-N算法在参数优化上有不错的寻优能力，其对一级倒立摆的控制效果好，精度高。经过此种算法优化PID参数后得出的调整时间和超调量都很小，系统的稳定性高。系统的响应速度有很好的改善，符合设计要求。但是试凑法的得出参数需要不断调试因而在响应速度与稳定性和准确性方面远不如Z-N算法得出的参数效果要好。从以上的分析可知，PID缺点是这种传统的控制理论都是建立在被控对象有精确的模型(传递函数和状态方程)的基础上，但是对复杂系统来说，数学模型的建立比较困难，因而无法自动控制系统，人工控制却效果更好。模糊控制是总结操纵者的经验形成的语言规则，运用模糊集合论模拟操纵职员的操纵和决策，从而实现自动控制。因此下面的研究可以尝试用模糊控制。5 结论传统的非线性系统分析方法需要非线性系统的精确模型，而大量复杂的多变量非线性系统则表现为参数的不确定性和结构的不确定性。PID控制理论为解决这类复杂多变量非线性系统开辟了一条新途径。本文围绕一级倒立摆系统，采用自动控制理论中的经典控制理论研究了倒立摆控制问题。用Simulink进行了倒立摆的PID控制系统仿真研究，并且结合计算机控制技术研究了倒立摆实物系统的控制问题。通过该系统的设计，也说明了PID控制系统的设计的一般步骤，提供了一套利用Matlab进行控制器设计的有效方法，对PID控制系统设计具有借鉴意义。本文围绕一级倒立摆系统，采用Z-N算法对PID参数进行优化的方法研究了倒立摆控制问题，文中设计了倒立摆系统的PID控制器，然后利用Z-N算法进行PID参数寻优。通过理论推导和仿真结果分析，得到如下结论：(1) 对于具有非线性、多变量等特点的倒立摆系统进行系统分析，推导出其非线性数学模型，分析其非线性因素，扰动对倒立摆系统的影响。(2) 详细叙述了以经典控制论为基础的PID控制理论，针对倒立摆系统为控制对象设计了PID控制器及相关的控制方法。以倒立摆摆角为被控量，PID控制器结构简单，实施行好。(3) PID控制方法实现了倒立摆的良好控制。运用经典控制的基本理论和方法，即可实现对PI