集合的概念与运算例题及答案.doc

1 集合的概念与运算（一）目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合记作Z , （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , （5）实数集：全体实数的集合记作R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作注意：“”的开口方向，不能把aA颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （不确定）（2）好心的人 （不确定）（3）1，2，2，3，4，5（有重复）2、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2_3、由实数x,x,x,所组成的集合，最多含（ A ） （A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素4、设集合G中的元素是所有形如ab（aZ, bZ）的数，求证： (1) 当xN时, xG; (2) 若xG，yG，则xyG，而不一定属于集合G证明(1)：在ab（aZ, bZ）中，令a=xN,b=0,则x= x0*= abG,即xG 证明(2)：xG，yG，x= ab（aZ, bZ）,y= cd（cZ, dZ）x+y=( ab)+( cd)=(a+c)+(b+d)aZ, bZ,cZ, dZ(a+c) Z, (b+d) Zx+y =(a+c)+(b+d) G， 又且不一定都是整数，不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为-1，1注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：51，52，53，100所有正奇数组成的集合：1，3，5，7，（2）a与a不同：a表示一个元素，a表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：xA| P（x） 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合例如，不等式的解集可以表示为：或 所有直角三角形的集合可以表示为：注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：直角三角形；大于104的实数 （2）错误表示法：实数集；全体实数（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：何时用列举法？何时用描述法？有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合；集合1000以内的质数例 集合与集合是同一个集合吗？答：不是因为集合是抛物线上所有的点构成的集合，集合= 是函数的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合1，4，7，10，13 -2，-4，-6，-8，-10 2、用列举法表示下列集合xN|x是15的约数 1，3，5，15（x，y）|x1，2，y1，2 （1，1），（1，2），（2，1）（2，2）注：防止把（1，2）写成1，2或x=1，y=2 -1，1 （0，8）（2，5），（4，2） （1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）3、关于x的方程axb=0，当a,b满足条件_时，解集是有限集；当a,b满足条件_时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合： (1) 1, 5, 25, 125, 625 = ; (2) 0, , , , = 巩固提升：1、数集中元素x所满足的条件是 2、已知，其中，若，求实数的值；当为何值时，集合A的表示不正确。3、已知集合，若，求的值。变式：已知集合。若A是空集，求的取值范围；若A中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；若A中至多有一个元素，求的取值范围4、设集合，集合，若，试判断与集合B的关系。5、设，集合，点，点，点，求的值。知识点7、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合记作，如：知识点8、集合与集合之间的关系： （一）、子集（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A记作: ，AB或BA 读作：A包含于B或B包含A 当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB或BA注：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B（3）真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A（4）子集与真子集符号的方向 （5）空集是任何集合的子集A规定：空集是任何非空集合的真子集A 若A，则A任何一个集合是它本身的子集（6）易混符号：“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如R，11，2，30与：0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合 如 0不能写成=0，0例题精析3：1（1） 写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示（2） 判断下列写法是否正确A A AA 解（1）：NZQR （2）正确；错误，因为A可能是空集；正确；错误2 （1）填空：N_Z, N_Q, R_Z, R_Q，_0（2）若A=xR|x-3x-4=0,B=xZ|x|10,则AB正确吗？（3）是否对任意一个集合A，都有AA，为什么？（4）集合a,b的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A，高一年级同学组成的集合B，则A、B的关系为 .解：（1）NZ, NQ, RZ, RQ， 0（2）A=xR|x-3x-4=0-1,4,B=xZ|x|10=-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9AB正确（3）对任意一个集合A，都有AA，（4）集合a,b的子集有：、a、b、a,b（5）A、B的关系为.3 解不等式x+32，并把结果用集合表示出来.解：xR|x+32=xR|x-1.巩固提升：1、设，问A与B是什么关系？并用列举法写出集合B2、已知集合，则 （ ） 解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简3、设集合， ，则（ ） 4、若集合，集合，且，求实数的取值范围()5、已知，若，则适合条件的实数的集合为；的子集有 8 个；的非空真子集有 6 个6、已知：，则实数、的值分别为（二）全集与补集1 补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集ASA的补集（或余集），记作，即CSA=2、性质：CS（CSA）=A ，CSS=，CS=S 3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示例题精析3：1、（1）若S=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，求CSA （2）若A=0，求证：CNA=N*（3）求证：CRQ是无理数集解（1）S=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5， 由补集的定义得CSA=2，4，6证明（2）A=0，N=0,1,2,3,4,，N*=1,2,3,4,由补集的定义得CNA=N*证明（3）Q是有理数集合，R是实数集合 由补集的定义得CRQ是无理数集合2、已知全集UR，集合Ax12x19，求CA解：Ax12x19x|0X4，UR04xCAxx0，或x43、 已知Sx1x28，Ax21x1，Bx52x111，讨论A与CB的关系解：Sx|3x6，Ax|0x3， Bx|3x6CBx|3x3ACB知识点9、子集的个数：由例与练习题，可知 (1)集合a,b的所有子集的个数是4个，即 ,a,b,a,b (2) 集合a,b,c的所有子集的个数是8个，即 ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c 猜想：(1)集合a,b,c,d的所有子集的个数是多少？() (2)集合的所有子集的个数是多少？() 结论提炼：含n个元素的集合的所有子集的个数是，所有真 子集的个数是-1，非空真子集数为例题精析4：1、满足条件的集合M的个数是( )A 3 B 6 C 7 D 82、已知集合，且，则满足条件的集合B的个数是（ ）A 5 B 6 C 7 D 8高考链接：定义集合运算：。设集合，则集合的所有元素之和为（ ）A 0 B 6 C 12 D 18思想方法提炼：1 解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么,抓住集合中元素的3个性质（对互异性要注意检验），(类型与特性)；2正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化；3求集合问题，要充分发挥数轴或文氏图的作用； 4含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；5集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键