高数下册总复习知识点课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高数下册总复习知识点归纳,高数下册总复习知识点归纳,第八章 向量代数与空间解析几何总结,各章节,知识点,归纳,第十张：重积分，三重积分,第十一章：曲线积分与曲面积分,第十二章：无穷级数,第九章多元函数微分法,第八章 向量代数与空间解析几何总结各章节第十张：重积分，三重,向量的分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标表示式：,向量的坐标：,1,、向量的坐标表示法,（一）向量代数,第八章 向量代数与空间解析几何总结,向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量,向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,向量模长的坐标表示式,向量方向余弦的坐标表示式,向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式,它们距离为,两点间距离公式,:,它们距离为两点间距离公式:,2,、数量积,(,点积、内积,),数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,2、数量积(点积、内积)数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐,3,、向量积,(,叉积、外积,),向量积的坐标表达式,3、向量积(叉积、外积)向量积的坐标表达式,方程特点,:,1.,旋转曲面,（二）空间解析几何,方程特点:1. 旋转曲面（二）空间解析几何,旋转单叶双曲面,旋转双叶双曲面,旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面,x,y,z,旋转抛物面,o,y,z,x,xyz旋转抛物面oyzx,旋转椭球面,o,z,y,x,旋转椭球面ozyx,（,2,）圆锥面,（,1,）球面,（,3,）旋转双曲面,（2）圆锥面（1）球面（3）旋转双曲面,2.,柱面,定义：,平行于定直线并沿定曲线,C,移动的直线,L,所形成的曲面称之,.,这条定曲线叫柱面的,准线,，动直线叫柱面的,母线,.,2. 柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的,从柱面方程,(,的特征,:,二元方程,),看柱面的,特征,：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面 母线,/,轴,双曲柱面 母线,/,轴,抛物柱面 母线,/,轴,从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：（其他类推）实,抛物柱面,x,y,z,x,y,z,椭圆柱面,双曲柱面,x,y,z,抛物柱面xyzxyz椭圆柱面双曲柱面xyz,3.,二次曲面,定义,:,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面,.,（,1,）椭球面,（,2,）椭圆抛物面,3. 二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,特殊地：当 时，方程变为旋转抛物面（由,（,3,）马鞍面,（,4,）单叶双曲面,（,5,）圆锥面,（3）马鞍面（4）单叶双曲面（5）圆锥面,4.,空间曲线,1,空间曲线的一般方程,2,空间曲线的参数方程,4.空间曲线1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参,C,C,C,关于 的投影柱面,C,在 上的投影曲线,O,x,z,y,设曲线,则,C,关于,xoy,面的投影柱面方程应为消,z,后的方程,：,所以,C,在,xoy,面上的投影曲线的方程为：,3,空间曲线在坐标面上的投影,CCC关于 的投影柱面C在 上的投影曲,5.,平面,1,平面的点法式方程,2,平面的一般方程,3,平面的截距式方程,5.平面1 平面的点法式方程2 平面的一般方程3,4,平面的夹角,5,两平面位置特征：,/,重合,4 平面的夹角5 两平面位置特征：/重合,1,、偏导数概念,第九章多元函数微分法,1、偏导数概念第九章多元函数微分法,高数下册总复习知识点课件,2,、全微分公式,用定义证明可微与不可微的方法,可微,不可微,2、全微分公式用定义证明可微与不可微的方法可微不可微,多元函数连续、可导、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数可导,有极限,3,、关系,多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数,4,、多元复合函数求导法则,定理,1,若函数,在点 处偏导连续,在点,t,可导,则复合函数,且有链式法则,中间变量均为一元函数的情形,在点,t,处可导，,公式的记忆方法：连线相乘，分线相加,.,4、多元复合函数求导法则定理1 若函数在点,5,、全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的,.,5、全微分形式不变性,定理,1,设函数,单值连续函数,y = f,(,x,) ,并有连续,(,隐函数求导公式,), 具有连续的偏导数,;,的,某邻域内可唯一确定一个,的某一邻域内满足,满足条件,导数,在点,则方程,在点,6,、隐函数的求导法则,定理1 设函数单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(,定理,2,的某邻域内具有连续偏导数,;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数,z = f,(,x , y,) ,满足, 在点,若函数,满足,:,某一邻域内可唯一确,定理2 的某邻域内具有连续偏导数 ;则方程在点并有连续偏导数,定理,3,的某一邻域内具有连续偏,导数,设函数,则方程组,的单值连续函数,计算偏导数按直接法求解,., 在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足,:,在点,定理3的某一邻域内具有连续偏导数设函数则方程组的单值连续函,7,、微分法在几何上的应用,切线方程为,法平面方程为,(1),空间曲线的切线与法平面,(,关键,:,抓住切向量,),7、微分法在几何上的应用切线方程为法平面方程为(1)空间曲,1,）空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,(,取 为参数,),1）空间曲线方程为法平面方程为特殊地：(取 为参数),2,）空间曲线方程为,(,取 为参数,),切线方程为,法平面方程为,2）空间曲线方程为(取 为参数)切线方程为法平面方程为,(,),曲面的切平面与法线,切平面方程为,法线方程为,(,关键,:,抓住法向量,),()曲面的切平面与法线 切平面方程为法线方程为(关键:,曲面在,M,处的切平面方程为,曲面在,M,处的法线方程为,令,则,（特殊情形）,曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令则（特殊情形,8,、方向导数,记为,（,1,）方向导数的定义及存在的充分条件,8、方向导数记为（1）方向导数的定义及存在的充分条件,三元函数方向导数的定义,方向导数的存在性及其计算方法,:,定理,那么,函数在,该点沿任一方向 的方向导数存在,且有,三元函数方向导数的定义方向导数的存在性及其计算方法:定理那么,说明,:,可微,沿任一方向的方向导数存在,.,反之不一定成立,.,(2),梯度的概念,记为,说明:可微沿任一方向的方向导数存在.反之不一定成立.(2),梯度与方向导数的关系,梯度与方向导数的关系,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和,.,1,、二重积分的定义,第十张：重积分，三重积分,、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体,3,、二重积分的计算,X,型,X-,型区域的特点,：,穿过区域且平行于,y,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,（）直角坐标系下,3、二重积分的计算X型 X-型区域的特点：,Y,型区域的特点,：,穿过区域且平行于,x,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,Y,型,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界,求二重积分的方法步骤,:,1.,作图求交点；,2.,选择积分次序；,4.,计算,.,(,先内积分后外积分,;,计算内积分时把,在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序,.,(,把,D,写成不等式形式,),；,外积分变量看成常数,),3.,确定积分限,求二重积分的方法步骤:1.作图求交点；2.选择积分次序；4.,1,、选择积分次序,(1),首先被积函数要易积分，能积分；,(2),积分区域,D,尽量少分块,.,2,、确定积分限,计算二重积分的两个关键：,内限,平行线穿越法,.,外限,投影法；,1、选择积分次序(1)首先被积函数要易积分，能积分；(2)积,（,2,）极坐标系下,（2）极坐标系下,2,、定限方法,内限（ 的限）,射线穿越法,.,外限（ 的限）,看 夹在那两条射线之间；,利用极坐标计算二重积分应注意：,积分次序,先,后,1,、,何时用极坐标？,1,、当积分区域为圆域或其一部分时 ；,2,、被积函数中含有 或 时,.,3,、用直角坐标求不出的积分,.,2、定限方法内限（ 的限）射线穿越法.外限（,4,、二重积分的应用,(1),体积,设,S,曲面的方程为：,曲面,S,的面积为,(2),曲面积,设 上连续，,曲顶柱体,顶,被积函数；,底,积分区域,.,(3),求质量,4、二重积分的应用(1) 体积设S曲面的方程为：曲面S的,6,、三重积分的几何意义,7,、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,5,、三重积分的定义,6、三重积分的几何意义7、三重积分的性质类似于二重积分的性质,