三角函数、解三角形教师

第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的概念(1)角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转至另一个位置所成的图形(3)所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：S|k360，kZ或|2k，kZ2弧度制(1)1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角(2)角的弧度数如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.(3)角度与弧度的换算180rad；1rad；1 rad.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，则l|r，扇形的面积为Slr|r2.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦4判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)第一象限角一定是锐角()(2)不相等的角终边一定不相同()(3)终边落在x轴非正半轴上的角可表示为2k(kZ)()(4)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位()(5)三角函数线的方向表示三角函数值的正负()(6)为第一象限角，则sin cos 1.()(7)将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是.()(8)角的三角函数值与终边上点P的位置无关()(9)若sin 0，则的终边在第一象限或第二象限()(10)，则tan sin .()考点一终边相同的角和象限角命题点1.写出终边相同的角2.判断角所在的象限例1(1)在7200范围内找出所有与45终边相同的角为_解析：所有与45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而k2或k1，代入得675或315.答案：675或315(2)设是第三象限角，且cos，则是()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：若是第三象限角，即，kZ，kZ.当k为偶数(0,2，)时，在第二象限，当k为奇数(1,3，)时，在第四象限，又cos，cos0，为第二象限答案：B方法引航(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0，2)范围内的一个角与2的整数倍的和，然后判断角的象限.,(3)象限角用终边相同的角的形式作为边界来表示，讨论k的取值来确定其它角所在象限.1终边在直线yx上的角的集合是_解析：(1)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ答案：|k，kZ2若k18045(kZ)，则在()A第一或第三象限 B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限解析：选A.当k2n(nZ)时，n36045，所以在第一象限当k2n1(nZ)时，n360225，所以在第三象限综上可知，在第一或第三象限考点二三角函数的定义命题点1.已知角终边上点的坐标求三角函数值2.已知三角函数值求点的坐标3.已知三角函数值判断角所在象限例2(1)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos _.解析：因为A点纵坐标yA，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA，由三角函数的定义可得cos .答案：(2)已知是第二象限角，设点P(x，)是终边上一点，且cos x，求4cos3tan 的值解：r，cos ，从而x，解得x0或x.又是第二象限角，则x，r2.sin ，tan .因此4cos3tan 4sin 3tan 43.(3)已知sin 0，cos 0，则所在的象限是()A第一象限B第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限解析：因为sin 0，cos 0，所以为第二象限角，即2k2k，kZ，则kk，kZ.当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角，故选C.答案：C方法引航定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.1角的终边过点P(1,2)，则sin 等于()A. B.C D解析：选B.由三角函数的定义，得sin .2点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A. B.C. D.解析：选A.xcos，ysin.3若是第三象限角，则下列各式中不成立的是()Asin cos 0 Btan sin 0Ccos tan 0 Dtan sin 0解析：选B.在第三象限，sin 0，cos 0，tan 0，则可排除A、C、D，故选B.考点三扇形的弧长及面积命题点1.求扇形的弧长或面积2.求扇形的圆心角或半径例3已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积解：(1)60，l10(cm)(2)设弓形面积为S弓由题知lcm，S弓S扇形S三角形222sin(cm)2.方法引航(1)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.(3)应用上述公式时，角度应统一用弧度制表示.1在本例(1)中，R10 cm改为弧长l10 cm，求扇形的半径R和面积S.解：60，lR，即10RRcm.SlR10cm2.2若本例(2)改为在半径为10 cm，面积为100 cm2的扇形中，弧所对的圆心角为()A2B2C2 D10解析：选A.由扇形的面积公式Sr2可得100102，解得2.考点四三角函数线及应用命题点1.利用三角函数线解三角方程2.利用三角函数线解三角不等式例4(1)若(0,2)，sin ，则_.解析：如图，的终边与单位圆的交点的纵坐标y，即A，B.xOA，或xOB.答案：或(2)函数y 的定义域是_解析：由题意知即x的取值范围为2kx2k，kZ.答案：(kZ.)满足sin 的的集合为_解析：作直线y交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为.答案：易错警示错用角的终边概念典例已知角的终边上一点P(3a,4a)(a0)，则sin _.正解x3a，y4a，r5|a|.(1)当a0时，r5a，sin .(2)当a0时，r5a，sin .sin .答案易误(1)角的终边是一条射线，而不是直线该题中，我们只能确定角的终边所在直线(2)由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，从而求出r5a，结果得到错误的答案：sin .警示(1)区分两种三角函数定义如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，则sin y，cos x，tan ，但如果不是在单位圆中，设角的终边经过点P(x，y)，|OP|r，则sin ，cos ，tan .(2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系高考真题体验1(2011高考课标全国卷)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2()ABC. D.解析：选B.设P(t,2t)(t0)为角终边上任意一点，则cos .当t0时，cos ；当t0时，cos .所以cos 22cos211.2(2014高考课标全国卷)如图所示，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，上的图象大致为()解析：选B.以O为坐标原点，射线OA为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，故点M到直线OP的距离为f(x)|sin xcos x|sin 2x|，x0，故选B.3(2014高考大纲全国卷)设asin 33，bcos 55，ctan 35，则()Aabc BbcaCcba Dcab解析：选C.bcos 55sin 35.作sin 33，sin 35，tan 35的函数线，如图，aNQ，bMP，cAT.ATMPNQ，即cba.4(2014高考大纲全国卷)已知角的终边经过点(4,3)，则cos ()A. B.C D解析：选D.因为角的终边经过点(4,3)，所以x4，y3，r5，所以cos .5(2011高考江西卷)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.解析：因为|OP|，由任意角的三角函数的定义得，解得y8，又因为sin 0及点P(4，y)是角终边上一点，所以为第四象限角，故y8.答案：8课时规范训练A组基础演练1下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)解析：选C.与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确2若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选C.由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，从而为第三或第四象限角，故为第三象限角3在直角坐标平面内，对于始边为x轴非负半轴的角，下列命题中正确的是()A第一象限中的角一定是锐角B终边相同的角必相等C相等的角终边一定相同D不相等的角终边一定不同解析：选C.第一象限角是满足2k2k，kZ的角，当k0时，它都不是锐角，与角终边相同的角是2k，kZ；当k0时，它们都与不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同4给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选A.由于第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sinsin，但与的终边不相同，故错；当cos 1，时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故错综上可知只有正确5已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3解析：选A.cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.故选A.6如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若AOP，则点P的坐标是()A(cos ，sin )B(cos ，sin )C(sin ，cos )D(sin ，cos )解析：选A.由三角函数的定义知P(cos ，sin )7已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()A B.C D.解析：选B.r，cos ，m0，即m.8已知角的终边与单位圆的交点P，则tan ()A. BC. D解析：选B.由|OP|2x21，得x.tan .9点P(tan 2 017，cos 2 017)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D.2 0173605217是第三象限角tan 2 0170，cos 2 0170， 因此点P位于第四象限10已知角终边上一点P的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则sin 等于()Asin 2 Bsin 2Ccos 2 Dcos 2解析：选D.角终边上一点P(2sin 2，2cos 2)，x2sin 2，y2cos 2，r2，sin cos 2.B组能力突破1已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4C1或4 D2或4解析：选C.设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而4或1.2若x(0,2)，则sin x的必要不充分条件是()A.x B.xC.x D.x解析：选B.依题意，由sin x，x(0,2)得知x，可以推得x；反过来，由x不能得出sin x，如取x，此时sin x.因此，sin x的必要不充分条件是x，故选B.3若角的终边落在直线xy0上，则_.解析：原式，由题意知角的终边在第二、四象限，sin 与cos 的符号相反，所以原式0.答案：04在与2 010终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_解析：2 01012，与2 010终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为.答案：5设为第二象限角，其终边上一点为P(m，)，且cos m，则sin 的值为_解析：设P(m，)到原点O的距离为r，则cos m，r2，sin .答案：6已知扇形的圆心角为120，弦长AB12 cm，则弧长l为_解析：设扇形的半径为r cm，如图AOB120，AOB60，AB6，由sin 60，得r4 cm，l|r4(cm)答案： cm第2课时同角三角函数的基本关系与诱导公式1同角三角函数基本关系(1)平方关系：sin2cos21(R)(2)商数关系：tan .2诱导公式 角函数 2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_3.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意角，sin23cos231都成立()(2)对任意角，tan都成立()(3)对任意的角，有sin2cos21.()(4)六组诱导公式中的角可以是任意角()(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化()(6)sin()sin 成立的条件是为锐角()(7)若cos(n)(nZ)，则cos .()(8)已知sin ，cos ，其中，则m5或m3.()(9)角和终边关于y轴对称()(10)若90，则sin2sin21.()考点一同角三角函数关系式的应用命题点1.同角的正、余弦函数关系2.同角的正、余弦与正切函数关系例1(1)已知sin ，则sin(5)sin的值是()A.BC D.解析：sin ，cos .原式sin()(cos )sin cos .答案：B(2)若sin cos ，(0，)，则sin cos 的值为_解析：法一：由sin cos ，得(sin cos )2，sin cos ，(0，)，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos .法二：(0，)，由得sin cos .答案：(3)已知cos，且，则tan ()A. B.C D解析：因为cos，所以sin ，又，cos ，则tan .答案：B(4)已知tan 2，则sin cos _.解析：tan 2sin cos .答案：方法引航(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化.,(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二.,(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.1若本例(1)中，去掉条件，结果如何？解：由sin 可得cos ，(在一、四象限为正，在二、三象限为负)原式sin cos .2若本例(2)改为sin cos ，求tan .解：由sin cos 得(sin cos )2.sin cos 0，又，sin 0，cos 0.sin cos .联立得tan .3若本例(4)改为，tan 2，求sin2sin cos 2cos2的值解：sin2sin cos 2cos2.考点二诱导公式的应用命题点1.给角求值2.给值求值3.化简三角函数式例2(1)sin 600tan 240_.解析：sin 600tan 240sin(54060)tan(18060)sin 60tan 60.答案：(2)已知tan，则tan_.解析：，tantantan.答案：(3)已知f(x)，化简f(x)的表达式并求f的值解：f(x)cos xtan xsin x，fsinsinsinsin.方法引航1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为去负脱周化锐2(1)利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：a.分析结构特点，选择恰当公式；b.利用公式化成单角三角函数；c.整理得最简形式化简要求：a.化简过程是恒等变形；b.结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值(2)巧用相关角的关系会简化解题过程常见的互余关系有与；与；与等，常见的互补关系有与；与等1cossin的值是_解析：原式cossincossin.答案：2已知sin，则cos_.解析：，coscossin.答案：3已知tan 2，则_.解析：原式2.答案：2方法探究小“1”能起大作用由于sin2cos21恒成立，故在三角函数化简与求值中巧妙利用“1”的代换，sin2cos2即为1，看到“1”就联想到sin2cos2.典例(1)sin21sin22sin289_.解析原式(sin21sin289)(sin22sin288)(sin244sin246)sin245(sin21cos21)(sin22cos22)(sin244cos244)44.答案44(2)若tan 3，则sin的值为()AB.C. D.解析sin 22sin cos ，又cos 2cos2sin2，sinsin 2cos 2.答案高考真题体验1(2015高考福建卷)若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()A.BC. D解析：选D.因为sin ，且为第四象限角，所以cos ，所以tan .2(2016高考全国乙卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.解析：因为sin，所以cossinsin，因为为第四象限角，所以2k2k，kZ，所以2k2k，kZ，所以sin，所以tan.答案：3(2016高考四川卷)sin 750_.解析：sin 750sin(236030)sin 30.答案：4(2013高考课标全国卷)设为第二象限角，若tan，则sin cos _.解析：tan，解得tan .为第二象限角，tan 1，2k2k，(sin cos )2.sin cos 0，sin cos .答案：课时规范训练A组基础演练1已知为第二象限角，且sin ，则tan()的值是()A.B.C D解析：选D.因为为第二象限角，cos ，tan()tan .2sin2()cos()cos()1的值为()A1 B2sin2C0 D2解析：选D.原式(sin )2(cos )cos 1sin2cos212.3若sin，则cos()A B.C. D解析：选B.coscossin.4已知sin()cos(2)，|，则等于()A BC. D.解析：选D.sin()cos(2)，sin cos ，tan .|，.5已知sin，0，则cos的值是()A. B.C D1解析：选C.由已知得cos ，sin ，coscos sin .6若sin cos ，则tan _.解析：tan 2.答案：27若cos()，则的值为_解析：由cos()，得cos .则cos .答案：8若2，则sin(5)sin_.解析：由2，得sin cos 2(sin cos )，两边平方得：12sin cos 4(12sin cos )，故sin cos ，sin(5)sinsin cos .答案：9已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()1，求sin 的值_解析：由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 1，联立，解得tan 3，3，cos sin ，sin2sin21为锐角，sin .答案：10已知sin ，.(1)求tan 的值；(2)求的值解：(1)sin2cos21，cos2.又.cos .tan .(2)由(1)知，.B组能力突破1若cos ，sin ，则角的终边所在的直线方程为()A3x4y0B4x3y0C3x4y0 D4x3y0解析：选B.依题意得tan ，因此所求的直线的斜率是，其方程是yx，即4x3y0.2已知sin cos ，则sin2()A. B.C. D.解析：选B.sin cos ，(sin cos )212sin cos ，sin 2，sin2.3若，sin 2，则sin ()A. B.C. D.解析：选D.，2，故cos 20，cos 2.又cos 212sin2，sin2.又sin 0，sin ，故选D.4在ABC中，已知2cos2A3cos(BC)2，则A_.解析：由2cos2A3cos(BC)2，得2cos2A3cos(A)2，即2cos2A3cos A20，得cos A或cos A2(舍去)，则在ABC中，A.答案：5已知sin ，cos 是关于x的方程x2axa0(aR)的两个根，求cos3sin3的值解：由已知原方程的判别式0，即(a)24a0，a4或a0.又，(sin cos )212sin cos ，则a22a10，从而a1或a1(舍去)，因此sin cos sin cos 1.cos3sin3sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)(1)1(1)2.第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式cos()cos_cos_sin_sin_(C()cos()cos_cos_sin_sin_(C()sin()sin_cos_cos_sin_(S()sin()sin_cos_cos_sin_(S()tan()(T()tan()(T()(2)公式变形tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan()(1tan tan )2二倍角公式(1)公式sin 22sin_cos_，cos 2cos2sin22cos2112sin2，tan 2.(2)公式变形cos2，sin2；1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(3)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定()(4)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(6)存在角，使得sin 22sin 成立()(7)若，则(1tan )(1tan )2.()(8)不存在实数，使得cos()sin cos .()(9)存在实数，使tan 22tan .()(10)y的x无意义()考点一三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值例1(1)求值：sin 10；解：原式sin 10sin 10sin 102cos 10.(2)化简：sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2.解：法一：(复角单角，从“角”入手)原式sin2sin2cos2cos2(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2cos21.法二：(从“名”入手，异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos2cos 2cos 2cos2sin2(cos2sin2)cos 2cos 2cos2sin2cos 2cos 2cos 2cos2cos 2cos 2cos 2.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式cos 2cos 2(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2.1求值sin 50(1tan 10)解：sin 50(1tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)sin 50sin 501.2在ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tantantantan的值为_解析：因为三个内角A，B，C成等差数列，且ABC，所以AC，tan，所以tantantantantantan tan tantan .考点二三角函数式的给值求值命题点1.已知某角的三角函数值求其它的三角函数值2.已知某角的三角函数值，求三角函数的值3.已知三角函数式的值，求三角函数值例2(1)(2016高考全国丙卷)若tan ，则cos 2()ABC. D.解析：法一：cos 2cos2sin2.故选D.法二：由tan ，可得sin ，因而cos 212sin2.答案：D(2)已知tan，且0，则等于()A BC D.解析：由tan，得tan .又0，所以sin .故2sin .答案：A(3)已知，且2sin2sin cos 3cos20，则_.解析：2sin2sin cos 3cos20则(2sin 3cos )(sin cos )0，由于，sin cos 0，则2sin 3cos .又sin2cos21，cos ，.答案：1在本例(1)中，已知条件不变，求tan的值解：tan.2在本例(1)中，已知条件不变，求2sin2sin cos 3cos2的值解：原式.3已知cossin，则cos_.解析：由cossin，得sin sincos cos sin sin cos ，即sin，sin，因此cos12sin2122.答案：考点三已知三角函数式的值求角命题点1.利用弦函数值求角2.利用切函数值求角例3(1)已知cos ，cos()，0，则_.解析：cos ，0.sin .又cos()，且0.0，则sin().则cos cos()cos cos()sin sin()由于0，所以.答案：(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_解析：tan tan()0，0.又tan 20，02，tan(2)1.tan 0，20，2.答案：方法引航1.解决给值求角问题应遵循的原则(1)已知正切函数值，选正切函数(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好2解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值(2)确定角的范围(3)根据角的范围写出所求的角1设，为钝角，且sin ，cos ，则的值为()A.B.C. D.或解析：选C.，为钝角，sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin 0.又(，2)，.2已知tan ，cos ，求tan()的值，并求出的值解：由cos ，得sin ，tan 2.tan()1.，.方法探究三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形典例某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213cos217sin 13cos 17；(2)sin215cos215sin 15cos 15；(3)sin218cos212sin 18cos 12；(4)sin2(18)cos248sin(18)cos 48；(5)sin2(25)cos255sin(25)cos 55.()试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；()根据()的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解()选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.()法一：三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.法二：三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.高考真题体验1(2016高考全国甲卷)若cos，则sin 2()A.B.C D解析：选D.因为coscoscos sinsin (sin cos )，所以sin cos ，所以1sin 2，所以sin 2，故选D.2(2016高考全国丙卷)若tan ，则cos22sin 2()A. B.C1 D.解析：选A.法一：由tan ，cos2sin21，得或，则sin 22sin cos ，则cos22sin 2.法二：cos22sin 2.3(2015高考课标全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()A B.C D.解析：选D.sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.4(2014高考课标全国卷)设，且tan ，则()A3 B2C3 D2解析：选B.由条件得，即sin cos cos (1sin )，sin()cos sin，因为，0，所以，所以2，故选B.5(2015高考四川卷)已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_解析：由sin 2cos 0，得tan 2.所以2sin cos cos21.答案：16(2016高考四川卷)cos2sin2_.解析：由二倍角公式，得cos2sin2cos.答案：课时规范训练A组基础演练1tan 15()A2B2C4 D.解析：选C.法一：tan 154.法二：tan 154.2.的值是()A. B.C. D.解析：选C.原式.3已知(0，)，且sin，则tan 2()A. B.C D.解析：选C.由sin，得(sin cos )，所以sin cos .解方程组，得或.因为(0，)，所以sin 0，所以不合题意，舍去，所以tan ，所以tan 2，故选C.4若，sin 2，则sin 等于()A. B.C. D.解析：选D.由sin 2和sin2cos21得(sin cos )212，又，sin cos .同理，sin cos ，sin .5已知sin 2()nsin 2，则的值为()A. B.C. D.解析：选D.由已知可得sin()()nsin()()，则sin()cos()cos()sin()nsin()cos()cos()sin()，即(n1)cos()sin()(n1)sin()cos()，所以，故选D.6若sin，则cos 2_.解析：sincos ，cos 22cos21221.答案：7若点P(cos ，sin )在直线y2x上，则sin 22cos 2_.解析：点P(cos ，sin )在直线y2x上sin 2cos ，于是sin 22cos 22sin cos 2(2cos21)4cos24cos222.答案：28设sin 2sin ，则tan 2的值是_解析：sin 2sin ，2sin cos sin .，sin 0，cos .又，tan 2tantantan.答案：9化简：(0)解：由(0，)，得0，cos0，2cos.又(1sin cos )2cos2coscos .故原式cos .10已知，且sincos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解：(1)因为sin cos ，两边同时平方，得sin .又，所以cos .(2)因为，所以，故.又sin()，得cos().cos cos()cos cos()sin sin().B组能力突破1已知sin cos ，则12sin2()A.B.C D解析：选C.由sin cos ，得12sin cos ，sin 2.因此12sin2cos2sin 2.2已知f(x)2tan x，则f的值为()A4 B.C4