盐城市高中数学新教材内容分析材料.doc

盐城市高中数学新教材内容分析材料必修5 第12章 数 列射阳县高中数学新课程研究小组旧教材中，本章有五小节和一个研究性学习课题，即：3.1数列，3.2等差数列，3.3等差数列的前n项和，3.4等比数列，3.5等比数列的前n项和，研究性学习课题：数列在分期付款中的应用；而新教材中，本章有三小节，即：12.1数列的概念和简单表示，12.2等差数列，12.3等比数列。在新教材中，本章内容按照“问题情境数学活动意义建构数学理论数学应用回顾反思”情况的顺序展开，通过列举生活中的大量实例，给出数列的实际背景，使学生了解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数，进而建立起等差数列和等比数列这两种数列模型，并探索了等差数列与等比数列的一些基本数量关系，研究了这两种数列模型的广泛应用。12.1 数列的概念和简单表示执笔人：射阳县教育局教研室 王克亮1. 新旧教材的对比分析1.1内容的增减情况（1）删减的内容：旧教材中有专门的一段内容来介绍数列的递推公式，并配备了1道例题、3道练习题、2道习题，新教材中删去了这一部分内容。（2）增加的内容：新教材中增加了数列的列表表示法，并详细介绍了用EXCEL作数列的散点图、用CALCULATOR计算数列连续各项的方法。（3）相同的内容：数列的概念、通项公式、数列的函数理解、有穷数列和无穷数列的概念、数列的图象、由数列的通项公式写数列的前几项、由数列的前几项写数列的一个通项公式。1.2 课时数的变化情况新旧教材这部分都分配了2个课时，没有变化。1.3 教学要求的变化情况（1）有所变化的教学要求：对数列的概念，旧教材是“理解”，而新教材是“了解”；对数列的通项公式，旧教材是“理解”，而新教材是“理解”；（2）已删去的教学要求：旧教材要求了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，这一点新教材中未作要求；（3）新教材中新增的教学要求：会用列表法表示数列。1.4 教材编写手法上的差异（1）引言：旧教材中从关于国际象棋的传说故事出发，引出了与本章内容有关的问题，使学生对数列、数列的通项公式与前n项和有了一个初步的印象，而且引言中提出的问题可在3.5节里得到解决，由此可激发学生学习的积极性；而新教材是从日常生活中经常会遇到的如存款利息、购房贷款、资产折旧等实际问题谈到本章所要学习的数列知识的，体现了数学的应用价值。（2）数列概念的给出：旧教材是给出了五个实例，然后从中归纳其共性得出数列的定义；而新教材在给出了六个实例之后，先提出了一个问题：“这些问题有什么共同的特点？”然后才给出数列的定义。（3）通项公式概念的给出：旧教材中直接给了定义，然后用函数的观点来加以解释，并指出“数列的通项公式也就是相应函数的解析式”；而新教材中先用函数的观点来理解数列，然后通过一道例题来指出数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，再自然地给出了通项公式的概念。2、新教材的要求与课程标准的比较课程标准中对“数列的概念和简单表示法”的要求是：通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。与课标相比，新教材中对数列是一种特殊函数从“了解”升为“理解”的层次；对数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）都从“了解”上升为“会用”，如通项公式，要会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式等。3、新教材的教学建议3.1本节内容的教学建议建议本节内容上2个课时。在教学中，要让学生充分体验数学知识的形成过程，尽可能地让学生经历观察、分析、猜想、抽象与概括等探索过程。3.2 每一课时的具体教学建议第1课时一、教学目标：了解数列及其有关概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项；培养学生认真观察、分析问题的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力。二、对某些典型例题或习题的处理建议：对于数列定义的得出，最好让学生从几个给出的实例中总结出其规律来。要强调数列中各项的有序性，将序号n与项an逐一对应，并自然地过渡到函数的对应关系上来，进而从函数的角度来看数列。在此不妨回顾一下函数的定义，并将数列与之类比。例1的作用是引出通项公式的概念，在例1的讲解中，要使学生明白由这个第n项的表达式2n1可以得到这个数列的任意一项，只要输入序号，即可输出对应的项，其作用就相当于函数中的解析式。例2是将数列的三种方法与函数的三种方法相类比，从一种表示方法转化到另两种表示法，从而让学生进一步明白数列就是一种特殊的函数而已。但这里需要明确的是，数列的图象不是连续的线，而是一群孤立的点。三、建议讲解的深度：在本节课的教学中，要舍得花时间让学生来观察与归纳和对知识的感悟上。有条件的学校可以用EXCEL作数列的散点图、介绍用CALCULATOR计算数列连续各项的方法。本节课不需要补充例题，若要补充，其难度要控制在书后练习与习题的水平上。这里提供的补充例题为：补例1、根据下面数an的通项公式，写出它的第7项与第10项：（1）an =；（2）an =n(n+2)；（3）an =；（4）an =2n+3；补例2、已知数列an的通项公式为an =n2+2n111，试问48是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由。第2课时一、教学目标：进一步理解数列的通项公式的概念，会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式；进一步理解数列是特殊的函数，能运用函数思想讨论一些数列问题；培养学生的观察、归纳、推理能力。二、对某些典型例题或习题的处理建议：在讲解书中的例3之前，可以补充下面的一道例题，使学生对写通项公式有一个感性认识。补例1、观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：（1）2，4，（ ），16，32，（ ），128（2）（ ），4，9，16，25，（ ），49（3）1，（ ），（ ）（4）1，（ ），2，（ ）， 在补例1与例3的教学中，要注意引导学生观察数列各项的特点，各项的值与项的序与之间的对应关系。同时，应当注意写一个通项的答案可能是不唯一的，只要学生说得对都可以。三、建议讲解的深度：为了使学生进一步从函数的角度来理解数列，可补充的下面的例题：补例2、已知数列an的通项公式为an=n2+2n+3，这个数列所有项中有没有最小的项或最大的项？若有，请写出来；若没有，请说明理由.补例3、已知数列an的通项公式为an=n2+kn，若数列an恒为递增数列，求实数k的取值范围.补例4、已知数列an中，an=(nN*).（1）讨论该数列的单调性；（2）求该数列的最大项与最小项.需要明确的是：在这里没有必要拓展数列的递推公式方面的问题，因为这是新教材与旧教材的一个区别所在。12.2 等 差 数 列执笔人：射阳中学 周德春1. 新旧教材的对比分析：总体来说，新旧教材中关于等差数列这一大节内容、课时数、教学要求变化都不大，内容几乎没有什么删减。但在编写手法上有所不同，对应用性的问题加大了处理力度。原教材中关于等差数列这个内容有两小节共8道例题，其中有2道应用题。而新教材中有三小节（把等差数列的概念从原教材中第一节中分割出来，单独成一小节，其它不变），共有14道例题，其中有6道应用题。另外,等差中项的概念在原教材里出现在正文中,而在新教材里则被移到习题中。由旧到新的变化过程中，差异主要体现在：（1）增加了大量例题，有利于学生自主学习。（2）所增例题难度没有增加，体现了加强基础。（3）等差中项的后移，突显出主干知识的地位，不必在中项问题上大做文章。 (4)与社会生活很相关的应用题大量增加，显现了教学要求中对学生应用意识的培养，也体现了数列知识的广泛应用。2、新教材与课程标准的比较总体来说比较接近。新教材在课程标准的基础上进行了充实和提高，尤其对两个公式（通项与求和）的推导方法以及等差数列的性质都已有明显的要求。3、新教材的教学建议3.1课时的划分建议：新教材数列部分在课程标准上共安排了12课时，而本节安排了4课时，我们就按照4课时实施教学即可。大致情况是这样的：第一课时：等差数列的概念，等差数列通项公式及简单运用。第二课时：等差数列通项公式的综合应用。第三课时：等差数列前n的和的公式及简单运用。第四课时：等差数列前n的和公式的实际应用。3.2 每一课时的具体教学建议：第1课时一、教学目标：体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念。掌握等差数列通项公式，并能用公式解决一些简单的问题，掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法。二、对例题或习题的处理建议：本节课可处理第一节中两个例题以及第二小节中例1,例2,例3。以书上的深浅度即可。无需也没有时间再补充什么新的题型的问题。第2课时一、教学目标：进一步掌握等差数列通项公式的应用。突出从不同侧面对等差数列的本质属性的揭示与解题规律的总结。二、对例题或习题的处理建议：本节课可处理第二小节中例4,例5,例6，以书上的深浅度即可。另外可补充讲解有关等差数列的性质（如：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq）及其应用。第3课时一、教学目标：掌握等差数列前n的和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能用公式解决一些简单的问题。二、对例题或习题的处理建议：本节课可处理第三小节中例1,例2,例3，以书上的深浅度即可。另外再讲解有关等差数列的性质（如：在等差数列中,Sn , S2n - Sn,S3n - S2n也成等差数列）及其应用以及强化Sn与an的关系的应用。第4课时一、教学目标：进一步掌握等差数列前n的和的公式的应用，突出实际问题的应用（如教育储蓄的利息计算）。二、对某些典型例题或习题的处理建议：本节课可处理第三小节中例4,例5,例6，以书上的深浅度即可。尤其对例6的讲解，要透彻才好。12.3 等 比 数 列执笔人: 射阳县第二中学 秦曙东1. 新旧教材的对比分析以往数列的内容比较注重数列中各量之间关系的恒等变形本节中，对等比数列内容的处理突出了函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系日常生活中遇到的许多问题，如贷款、利率、折扣、人口的增长、放射性物质的衰变等都可以用等比数列来刻画等比数列又是指数函数的离散化从函数的观点、模型的观点、连续与离散的关系的角度认识等比数列，更突出了等比数列的本质2. 新教材与课程标准的比较 标准把等差数列和等比数列作为重要内容，强调在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,既突出了问题意识,也有助于对数学本质的认识而体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系的要求则实现了数列与函数的融合 标准要求探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式这里的探索是指学生的自主探索，而教师则起一个指导的作用，这反映了新课程所倡导的新型学习方式 “认识数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力”，“发展学生的数学应用意识”是新课程的基本理念和要求，这种理念、要求贯穿于整个内容之中标准要求，在数列的教学中使学生“能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题” 针对以往的“双基异化”倾向，标准要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，但训练要控制难度和复杂程度这体现了标准在内容处理上的一个原则：删减烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容基于这样的原则，数列教学中要改变传统的在纸上演化题型，花样翻新地搞偏题、怪题的做法，注重应用，关注学生对数列模型的本质的理解，以及运用数列模型解决实际问题的能力 函数思想贯穿于高中数学的始终在其他必修内容中出现的函数基本上是连续函数，本模块中的数列为学生提供了离散函数模型，将等差数列、等比数列与一次函数、指数函数联系起来，有助于学生加深对一次函数、指数函数的认识同时，将函数与方程、不等式相联系从连续与离散的角度认识函数，从函数与方程、不等式的联系中理解函数，有助于提升学生对函数思想的理解水平3. 新教材的教学建议数列是高中数学重要内容之一，等比数列是重要的特殊数列，也是本章的重点。本节课是等比数列的起始课，让学生类比等差数列理解等比数列的概念、等比中项的概念、掌握等比数列的通项公式以及用公式解决简单问题是本节课的重点和难点。学生的数学现实分析：从认知角度看，学生已经学习了数列、等差数列的有关概念，对数列的通项公式有了一定的认识，能从函数的角度研究数列；从能力方面讲，高一学生具备了一定的分析判断、归纳概括能力，具有了一定的类比思维能力；由前边等差数列的学习，学生已初步掌握研究数列的基本思维策略：观察、分析、归纳、猜想，因此教师要为学生创设良好的问题情境，激发学生求知欲，引导学生类比等差数列的研究，自主探究、辨析研讨得出等比数列的概念、通项公式、等比中项公式，初步掌握通项公式的应用。充分发挥学生的主体作用，让学生体会知识的产生和发展过程，进一步使学生体会观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括、类比等思维方法，培养学生的数学应用能力。3.1课时的划分建议等比数列：约2课时；等比数列的前n项和：约2课时.3.2每一课时的具体教学建议:第一课时一、教学目标：体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等比数列的概念。引导学生自主探究、辨析研讨，让学生亲自体验知识的形成过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、类比等逻辑思维能力，掌握函数与方程思想、由特殊到一般的认知规律。类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，掌握求等比数列通项公式的方法，二、 某典型例题或习题的处理建议：让学生举一些等比数列的例子，或教师列举一些数列让学生判定是否是等比数列，加深对概念的理解如：（1）1，2，3，6，12，（2）0，2，4，8，16 （3）0，0，0，0，0，问题1：一个等比数列的第2项与第4项分别是8与18，求它的第3项。解：法1（利用通项公式）设等比数列第1项为，公比为q，则，.（1）若q=，则;（2）若则 .法2（利用定义）设等比数列为，由等比数列的定义得：,则a32=a2a4=188=144,所以a3=12.引导学生进一步思考：（1）若已知等比数列其中任意两项ap、aq，能否求通项an；（2）a3与a2、a4有何关系？进而得出等比数列的等比中项的概念及公式。等比中项的定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，.容易看出，一个等比数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项。思考题、给出两个等比数列： 1、2、4、8 1、3、9、27能否由它们构造新的等比数列。 一般化：已知、为两个项数相同的等比数列，证明：是等比数列。三、 建议讲解的深度:本节课在学习等差数列的基础上引入等比数列的概念，因第一节的内容学生还是比较容易接受的，可将3.2节的内容提上来上,同时引伸习题中的等比中项相关内容.第二课时一、 教学目标：掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问题。 二、对某典型例题或习题的处理建议:在讲解教材的例3时结合P52页练习第5题与第6题得出一般性结论.对教材中P51页中练习中第一题引导学生如何设这三个数使得运算最简单.讲解例4雪花曲线时,让学生去发现第一、第二、第三个图形之间的规律,过后让学生练习第二题.二、 建议讲解的深度:本节课建议不要讲得过深,紧紧围绕课本的例题与习题,让学生对等比数列的通项公式的运用有个初步体会.第三课时一、教学目标：掌握用“错位相减”的方法推导等比数列前N项和公式，掌握等比数列前N项的公式，Sn=（q1）,Sn=na1（q=1）.并能运用公式解决简单的实际问题。 二、对某典型例题或习题的处理建议:在引入方面建议用“国王赏麦的故事” 国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍,直到第64个格子,请给我足够的粮食来实现上述要求”.国王觉得这并不是很难办到的,就欣然同意了他的要求. 由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是1，2，22，23，24263于是发明者要求的麦粒总数就是1+2+22+23+24+263=18446744073709551615可以补充以下练习求和:1) （a1）+（a22）+（ann）2) （2351）+（4352）+（2n35n）解：（1）（a1）+（a22）+（ann）=（a+a2+an）（1+2+n）当a=1时，原式=n当a1时，原式=.（2）（2351）+（4352）+（2n35n）=（2+4+2n）3（51+52+5n）三、 建议讲解的深度：掌握等比数列的前n项和公式，并用公式能知三求一，从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力。第四课时一、 教学目标：通过分期付款等实际问题的解决，让学生经历从实际问题抽象出数学模型的过程，进一步感受数列与现实生活的联系和在现实生活中的具体应用。 二、对某典型例题或习题的处理建议:例5的关键是要使学生弄清分期付款的含义(1)分期付款是按期还贷的含义.(1)分期付款是按期还贷的种贷款还款形式；(2)分期付款每期的利息都按复利计算；(3)分期付款每期还款相同称为等额还款)；(4)“本金”与“每期所还款额”在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；(5)各期所还款与它到最后一次付清时所产生的利息和等于本金与它到最后一次付款时的利息之和这也是本题列式时所要寻求的等量关系例5还可以如下考虑：设商品一次性付款的金额为a元等额付款n次每次期末付款x元，则第1次付款后，贷款余额 a(1十r)一x元；第 2次付款后，贷款余额a(1十r)一x(1+r)-x=a(1十r)2一x(1十r)一x元;第3次付款后,贷款余额a(1十r)2一x(1十r)一x (1十r)一x=a(1十r)3一x(1十r)2一x(1十r)一x元第n次付款后.贷款余额a(1十r)n一x(1十r)n-1一x(1十r)n-2一x(1+r)-x元.由于第n次付款后,贷款余额为0,故a(1十r)n一x(1十r)n-1一x(1十r)n-2一x(1+r)-x=0.即a(1十r)n= x(1十r)n-1+x(1十r)n-2+x(1+r)+x,从而得x=a(1十r)n/(1十r)n-1.三、建议讲解的深度：从例题中着重培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.