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函数周期性分类解析一定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使恒成立则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。二重要结论1、,则是以为周期的周期函数;2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、 若函数,则是以为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)= (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、,则是以为周期的周期函数.7、,则是以为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)= (xR,a0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且2(b-a)是它的一个周期。10、函数的图象关于两点、都对称,则函数是以为周期的周期函数;11、函数的图象关于和直线都对称,则函数 是以为周期的周期函数;12、 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,则f(x)为周期函数且2是它的一个周期。13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,则f(x)为周期函数且4是它的一个周期。14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(xR,T0),则f()=0.函数的周期性练习题高一一选择题(共15小题)1定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x),f(x2)=f(x+2)且x(1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=()A1BC1D2设偶函数f(x)对任意xR,都有f(x+3)=,且当x3,2时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A10BC10D3设偶函数f(x)对任意xR都有f(x)=且当x3,2时f(x)=4x,则f(119.5)=()A10B10CD4若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=3,则f(8)f(4)的值为()A1B1C2D25已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,当x(0,2时,f(x)=2x+log2x,则f(2015)=()A2BC2D56设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,如图表示该函数在区间(2,1上的图象,则f(2014)+f(2015)=()A3B2C1D07已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足:,当2x3,f(x)=x,则f(5.5)=()A5.5B5.5C2.5D2.58奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x(0,1)时,f(x)=3x+,则f(log354)=() A2BCD29定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x)=0,且周期是4,若f(1)=5,则f(2015)()A5B5C0D310f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=5,则f(f(5)=() A5B CD511已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=f(x5),且0x5时,f(x)=4x,则f(1003)=() A1B0C1D212函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,当0x2时f(x)=x2x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为()A6B7C8D913已知函数f(x)是定义在(,+)上的奇函数,若对于任意的实数x0,都有f(x+2)=f(x),且当x0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(2014)+f(2015)+f(2016)的值为()A1B2C2D114已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当 x0,3)时,f(x)=|2x24x+1|,则方程 f(x)=在3,4解的个数()A4B8C9D1015已知最小正周期为2的函数f(x)在区间1,1上的解析式是f(x)=x2,则函数f(x)在实数集R上的图象与函数y=g(x)=|log5x|的图象的交点的个数是()A3B4C5D6二填空题(共10小题)16已知定义在R上的函数f(x),满足f(1)=,且对任意的x都有f(x+3)=,则f(2014)=17若y=f(x)是定义在R上周期为2的周期函数,且f(x)是偶函数,当x0,1时,f(x)=2x1,则函数g(x)=f(x)log5|x|的零点个数为18定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,则f(2013)的值为19定义在R上的函数f (x)的图象关于点(,0)对称,且满足f (x)=f (x+),f (1)=1,f (0)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+f (2010)的值为=20定义在R上的函数f(x)满足:,当x(0,4)时,f(x)=x21,则f(2011)=21 定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)当3x1时,f(x)=(x+2)2,当1x3时,f(x)=x则 f(1)+f(2)+f(3)+f(2012)=22若函数f(x)是周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(8)f(14)=23设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(2)1,f(2014)=,则实数a的取值范围是24设f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=2x(1x),则=25若f(x+2)=,则f(+2)f(14)=三解答题(共5小题)26设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒有f(x+2)=f(x),当x0,2时,f(x)=2xx2(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x2,4时,求f(x)的解析式;(3)计算:f(0)+f(1)+f(2)+f(2004)27函数f(x)是以2为周期的偶函数,且当x0,1时,f(x)=3x1(1)求f(x)在1,0上的解析式;(2)求的值28已知定义域为R的函数f(x)为奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x0,1时,f(x)=2x1(1)求f(x)在1,0)上的解析式;(2)求f(24)的值29已知函数f(x)既是奇函数又是周期函数,周期为3,且x0,1时,f(x)=x2x+2,求f(2014)的值30 定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2, 且当x(0,1)时,f(x)=2x+2x(1)求f(x)在1,0)上的解析式;(2)判断f(x)在(2,1)上的单调性,并给予证明函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析一选择题(共15小题)1【解答】解:定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x),函数f(x)为奇函数又f(x2)=f(x+2)函数f(x)为周期为4是周期函数又log232log220log2164log2205f(log220)=f(log2204)=f(log2)=f(log2)=f(log2)又x(1,0)时,f(x)=2x+,f(log2)=1 故f(log220)=1 故选C2【解答】解:因为f(x+3)=,故有f(x+6)=f(x)函数f(x)是以6为周期的函数f(107.5)=f(617+5.5)=f(5.5)= 故选B3【解答】解:函数f(x)对任意xR都有f(x)=,f(x+3)=,则f(x+6)=f(x),即函数f(x)的周期为6,f(119.5)=f(2060.5)=f(0.5)=,又偶函数f(x),当x3,2时,有f(x)=4x,f(119.5)=故选:C4【解答】解:f(x)是R上周期为5的奇函数,f(x)=f(x),f(1)=f(1),可得f(1)=f(1)=1,因为f(2)=f(2),可得f(2)=f(2)=3,f(8)=f(85)=f(3)=f(35)=f(2)=3,f(4)=f(45)=f(1)=1,f(8)f(4)=3(1)=2,故选C;5【解答】解:f(x)的周期为4,2015=45041,f(2015)=f(1),又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(2015)=f(1)=21log21=2,故选:A6【解答】解:由图象知f(1)=1,f(1)=2,f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,f(2014)+f(2015)=f(1)+f(1)=1+2=3,故选:A7【解答】解:,=f(x)f(x+4)=f(x),即函数f(x)的一个周期为4f(5.5)=f(1.5+4)=f(1.5)f(x)是定义在R上的偶函数f(5.5)=f(1.5)=f(1.5)=f(1.5+4)=f(2.5)当2x3,f(x)=xf(2.5)=2.5f(5.5)=2.5 故选D8【解答】解:f(x+2)+2=f(x+2)=f(x),f(x)是以4为周期的奇函数,又,f(log354)=2,故选:A9【解答】解:在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x)=0则:f(x)=f(x)所以函数是奇函数由于函数周期是4,所以f(2015)=f(50441)=f(1)=f(1)=5 故选:B10【解答】解:f(x+2)=f(x+2+2)=f(x)f(x)是以4为周期的函数f(5)=f(1+4)=f(1)=5f(f(5)=f(5)=f(5+4)=f(1)又f(1)=f(f(5)= 故选B11【解答】解:f(x+5)=f(x5),f(x+10)=f(x),则函数f(x)是周期为10的周期函数,则f(1003)=f(1000+3)=f(3)=43=1, 故选:C12【解答】解:当0x2时,f(x)=x2x=0解得x=0或x=1,因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,故f(x)=0在区间0,6)上解的个数为6,又因为f(6)=f(0)=0,故f(x)=0在区间0,6上解的个数为7,即函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为7,故选:B13【解答】解:f(x+2)=f(x),f(2014)=f(2016)=f(0)=log21=0,f(x)为R上的奇函数,f(2015)=f(2015)=f(1)=1f(2014)+f(2015)+f(2016)=01+0=1故选A14【解答】解:由题意知,f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x0,3)时,f(x)=|2x24x+1|,在同一坐标系中画出函数f(x)与y=的图象如下图:由图象可知:函数y=f(x)与y=在区间3,4上有10个交点(互不相同),所以方程 f(x)=在3,4解的个数是10个,故选:D15【解答】解:函数f(x)的最小正周期为2,f(x+2)=f(x),f(x)=x2,y=g(x)=|log5x|作图如下:函数f(x)在实数集R上的图象与函数y=g(x)=|log5x|的图象的交点的个数为5,故选:C二填空题(共10小题)16【解答】解:对任意的x都有f(x+3)=,f(x+6)=f(x),函数f(x)为周期函数,且周期T=6,f(2014)=f(3356+4)=f(4)=f(1+3)=5 故答案为:517【解答】解:当x0,1时,f(x)=2x1,函数y=f(x)的周期为2,x1,0时,f(x)=2x1,可作出函数的图象;图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|函数y=g(x)的零点,即为函数图象交点横坐标,当x5时,y=log5|x|1,此时函数图象无交点,如图:又两函数在x0上有4个交点,由对称性知它们在x0上也有4个交点,且它们关于直线y轴对称,可得函数g(x)=f(x)log5|x|的零点个数为8;故答案为8;18【解答】解:由分段函数可知,当x0时,f(x)=f(x1)f(x2),f(x+1)=f(x)f(x1)=f(x1)f(x2)f(x1),f(x+1)=f(x2),即f(x+3)=f(x),f(x+6)=f(x),即当x0时,函数的周期是6f(2013)=f(3356+3)=f(3)=f(0)=log2(80)=log28=3,故答案为:319【解答】解:由f (x)=f (x+)得f (x+3)=f(x+)+=f (x+)=f (x).所以可得f (x)是最小正周期T=3的周期函数;由f (x)的图象关于点(,0)对称,知(x,y)的对称点是(x,y)即若y=f (x),则必y=f (x),或y=f (x)而已知f (x)=f (x+),故f (x)=f (x+),今以x代x+,得f (x)=f (x),故知f (x)又是R上的偶函数于是有:f (1)=f (1)=1;f (2)=f (23)=f (1)=1;f (3)=f (0+3)=f (0)=2;f (1)+f (2)+f (3)=0,以下每连续3项之和为0而2010=3670,于是f (2010)=0;故答案为020【解答】解:由题意知,定义在R上的函数f(x)有 ,则令x=x+2代入得,f(x+4)=f(x),函数f(x)是周期函数且T=4,f(2011)=f(4502+3)=f(3),当x(0,4)时,f(x)=x21,f(3)=8即f(2011)=8故答案为:821【解答】解:当3x1时,f(x)=(x+2)2,f(3)=1,f(2)=0,当1x3时,f(x)=x,f(1)=1,f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,又f(x+6)=f(x)故f(3)=1,f(4)=0,f(5)=1,f(6)=0,又2012=3356+2,故f(1)+f(2)+f(3)+f(2 012)=335f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(1)+f(2)=335+1+2=338,故答案为:33822【解答】解:由题意可得,f(8)=f(810)=f(2)=f(2)=2,f(14)=f(1415)=f(1)=f(1)=1,故有f(8)f(14)=2(1)=1,故答案为123【解答】解:解:由f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,则f(x+3)=f(x),f(x)=f(x),f(2014)=f(36722)=f(2)=f(2),又f(2)1,f(2014)1,即1,即为0,即有(3a2)(a+1)0,解得,1a,故答案为:24【解答】解:f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=2x(1x),=f( )=f()=2 (1 )=,故答案为:25【解答】解:由题意可得f(+2)=sin=sin(6)=sin=,同理可得f(14)=f(16+2)=log216=4,f(+2)f(14)=4=,故答案为:三解答题(共5小题)26【解答】(1)证明:f(x+2)=f(x),f(x+4)=f(x+2)=f(x),f(x)是周期为4的周期函数;(2)解:当x2,0时,x0,2,由已知得f(x)=2(x)(x)2=2xx2,又f(x)是奇函数,f(x)=f(x)=2xx2,f(x)=x2+2x,又当x2,4时,x42,0,f(x4)=(x4)2+2(x4),又f(x)是周期为4的周期函数,f(x)=f(x4)=(x4)2+2(x4)=x26x+8,从而求得x2,4时,f(x)=x26x+8;(3)解:f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=1,又f(x)是周期为4的周期函数,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 000)+f(2 001)+f(2 002)+f(2 003)=0f(0)+f(1)+f(2)+f(2 004)=0+f(2004)=027【解答】解:(1)当x1,0时,x0,1,又f(x)是偶函数则,x1,0(2),1log320,1,即28【解答】解:(1)令x1,0),则x(0,1,f(x)=2x1又f(x)是奇函数,f(x)=f(x),f(x)=f(x)=2x1,(2)f(x+4)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数,29【解答】解:函数f(x)的周期为3,f(2014)=f(67131)=f(1),函数f(x)是奇函数,f(1)=f(1)=(121+2)=2,f(2014)=230【解答】解;(1)因为奇函数f(x)的定义域为R,周期为2,所以f(1)=f(1+2)=f(1),且f(1)=f(1),于是f(1)=0(2分)当x(1,0)时,x(0,1),f(x)=f(x)=(2x+2x)=2x2x(5分)所以f(x)在1,0)上的解析式为(7分)(2)f(x)在(2,1)上是单调增函数(9分)先讨论f(x)在(0,1)上的单调性设0x1x21,则因为0x1x21,所以,于是,从而f(x1)f(x2)0,所以f(x)在(0,1)上是单调增函数(12分)因为f(x)的周期为2,所以f(x)在(2,1)上亦为单调增函数(14分)
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